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浙江省麗水中學(xué)
2019年浙江高考結(jié)束后,關(guān)于數(shù)學(xué)試題偏難的消息鋪天蓋地.學(xué)生普遍認為解析幾何題難入手,變元之間難轉(zhuǎn)化,甚至有種解析幾何“白學(xué)”的感覺.浙江高考卷向來重視學(xué)生的數(shù)學(xué)能力考查,我覺得2019年第21題是對學(xué)生解析幾何基本能力的很好考查,是讓學(xué)生理解解析幾何是坐標幾何的經(jīng)典例題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).下面我們一起來欣賞這道題的風采.
圖1
(2019年高考浙江卷第21題)過焦點F(1, 0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,點C在拋物線上,△ABC的重心P在x軸上,直線AC交x軸于點Q(點Q在點F右側(cè)).
(1)求拋物線的方程及準線方程;
條件分析由焦點坐標可以求得拋物線方程是y2=4x,準線方程是x=-1.
第二問是求兩塊面積之比,由于A,B,C三個點都是動點,所以學(xué)生在考場里面就覺得題目難入手,找不到問題的突破口.波利亞在著作《怎樣解題》中提出了一個有名的解題理論表:
下面我們將根據(jù)波利亞的解題理論表展開解題策略探究.
策略一設(shè)點參數(shù)建立單參數(shù)函數(shù)模型
點評策略一是由焦點弦性質(zhì)得到A,B兩點的坐標關(guān)系,由重心坐標關(guān)系進而得到A,B,C三點的縱坐標之間的關(guān)系. 通過直線的點參數(shù)方程,代數(shù)化的面積比表達式中每一個量都可以用y1表示,最終建立關(guān)于y1的目標函數(shù),需要學(xué)生具備很好的轉(zhuǎn)化與化歸能力.在消元的過程中需要有很好的數(shù)學(xué)運算能力,我們在平時的教學(xué)過程中更多的要讓學(xué)生動手計算,體驗解析幾何中坐標間的相互轉(zhuǎn)化,這與解析幾何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的初衷是一致的.點參數(shù)的思想方法與解析幾何是坐標幾何的本質(zhì)相吻合.但是這種策略計算量大,考試的有限時間內(nèi)需要我們進一步挖掘題目的幾何背景.
策略二挖掘幾何背景構(gòu)建單參數(shù)函數(shù)模型
解析由于點P是△ABC的重心,連接BP,則SAPB=SAPC,
圖2
目標函數(shù)處理策略一
目標函數(shù)處理策略二
目標函數(shù)是關(guān)于y1的高次分式函數(shù),通過拋物線方程降次,因為y12=4x1
點評策略二是在挖掘題目幾何背景后巧妙地得到面積比的函數(shù)模型,解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何關(guān)系與性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支,利用重心這一幾何性質(zhì)得到面積相等,可以用縱坐標表示底邊之比,進而建立面積比的函數(shù)模型,幾何代數(shù)相得益彰,與解析幾何的思想方法相輔相成.解析幾何的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)幾何背景,善于化歸幾何關(guān)系,善于幾何關(guān)系代數(shù)化.
策略三借助幾何性質(zhì)構(gòu)建雙參數(shù)函數(shù)模型
故P(2,0).
點評多元最值問題常用的方法是消元,同時也要分析題目條件與目標的結(jié)構(gòu),積定平方和最小這樣的不等式思想引導(dǎo)我們建立二元目標函數(shù),這也體現(xiàn)了不等式是處理解析幾何目標函數(shù)的重要方法,與解析幾何韋達定理設(shè)而不求的思想相輔相成!
策略四設(shè)直線構(gòu)建單參數(shù)函數(shù)模型
解析設(shè)直線lAB:x=ty+1,則
點評設(shè)斜率參數(shù)求解表達式最后的結(jié)果是關(guān)于y1和t雙元函數(shù),通過韋達定理容易消去t,得到與策略一一樣目標函數(shù),問題最后還是回歸到點參數(shù)上,與命題者的初衷一致.
策略五借助平面向量基本定理構(gòu)建單參數(shù)函數(shù)模型
點評平面向量在幾何問題中有獨特的優(yōu)勢,用向量基本定理構(gòu)建面積比函數(shù)模型,感悟“基”的思想,正是數(shù)學(xué)知識融會貫通的體現(xiàn).通過分析發(fā)現(xiàn)策略四解題過程中并沒有用到拋物線的方程以及性質(zhì).由圖形可知這道題明顯考察直線與拋物線綜合問題,為什么可以離開拋物線解題?P點坐標又怎么求?帶著疑問進一步挖掘題目的命制背景.
深度挖掘題目命制背景
點評命題背景其實是三角形中有關(guān)重心面積比最值的問題,這個問題與拋物線沒有任何關(guān)系,只是通過將三角形置于拋物線中,探究△ABC三點坐標間的關(guān)系求解重心坐標,考查了直線與拋物線相交弦性質(zhì),這也是命題者一定要求解重心坐標的原因.
條件分析將拋物線改為橢圓,A、B仍然滿足焦點弦性質(zhì),點C在拋物線上,沒有改變問題的本質(zhì),弄清了題目的本質(zhì),其實點C在什么位置是沒有關(guān)系的.
圖3
變式2 (2019湖州三校聯(lián)考)已知拋物線L:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點M(5,0)的動直線l與拋物線L交于A,B兩點,直線AF交拋物線L于另一點C,|AC|的最小值為4.
(1)求拋物線方程;
(2)記△ABC,△AMF的面積分別為S1,S2,求S1·S2的最小值.
條件分析A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),y1·y2=-20,
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)點M(t,0),N(2t,0)(t為正常數(shù)),直線PM,PN分別交拋物線C于A、B兩點,求△ABP面積取最小值時點P的坐標.
圖4
條件分析C:y2=4x,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),可求得
實現(xiàn)了三個點坐標間的相互轉(zhuǎn)化.下面解法同理2019年浙江卷21題.
點評變式2與變式3坐標間相互轉(zhuǎn)化的思想與高考題的思想是一致的,只是高考題幾何味道濃一點,需要學(xué)生利用重心化歸面積比函數(shù)模型,更加體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì).
設(shè)點與設(shè)線是處理直線與圓錐曲線綜合問題最基本的方法,本道拋物線與直線的綜合問題需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的幾何背景并且厘清題目中三個動點之間的關(guān)系,用點參數(shù)建立模型比斜率參數(shù)建立模型容易處理,這與學(xué)生的一貫思維有所區(qū)別,啟示學(xué)生不能思維定式,要具備分析問題,解決問題的能力.很好地體現(xiàn)了解析幾何是坐標幾何這一重要特征.題目注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).重視解析幾何本質(zhì)問題的探究,體現(xiàn)了想的多一點的命題理念.有利于引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視學(xué)生對數(shù)學(xué)的探究;有利于落實新課程改革精神,實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的高質(zhì)量運行,進一步推動中學(xué)的素質(zhì)教育.