(郵編：432000)

湖北省孝感高級(jí)中學(xué)

課本是最重要的教學(xué)資源，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)地.如何充分挖掘課本習(xí)題的豐富內(nèi)涵，揭示解題思想，滲透核心素養(yǎng)，并利用它解決新問(wèn)題，是數(shù)學(xué)教師重要的課題.開展課本典型問(wèn)題的研究性學(xué)習(xí)，不但有利于引導(dǎo)學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中重視課本的再學(xué)習(xí)，而且可以讓學(xué)生看到課本題與高考題之間內(nèi)在的聯(lián)系，讓學(xué)生消除對(duì)高考試題的神秘感，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，看清問(wèn)題的本質(zhì).本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，研究課本中的一個(gè)習(xí)題，并利用它簡(jiǎn)解一道2019年北京高考理科試題，以期對(duì)如何高效組織高考復(fù)習(xí)有所啟迪.

1 課本習(xí)題解答

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2》第124頁(yè)第5題是：已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證此圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

從以上兩種解法可以看出，直接法單刀直入，需要將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用因式分解得到最終結(jié)論；而利用軌跡思想求圓的方程，曲徑通幽，可有效減少運(yùn)算量.通過(guò)本題的解答可以得到一個(gè)實(shí)用的結(jié)論.

2 結(jié)論的應(yīng)用

(2019北京卷理科18題)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)，(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M、N，直線y=-1分別交直線OM、ON于點(diǎn)A和B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

解析(1)C的方程為x2=-4y,準(zhǔn)線方程為y=1(過(guò)程略).

得x2+4kx-4=0,

令x=0,則(y+1)2=4,解得y=1或-3,故以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).

點(diǎn)評(píng)本題雖然是一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題，但是利用課本上的結(jié)論，縮短了解題的思維流程，簡(jiǎn)潔明了，比參考答案要簡(jiǎn)潔的多.本題易推廣得到如下結(jié)論：

3 高考試題的推廣

證明設(shè)直線l的方程為y+m=kx(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

證明設(shè)直線l的方程為x-m=ty,M(x1,y1),N(x2,y2).

4 一點(diǎn)感悟

從以上可以看出，教材是數(shù)學(xué)能力與思想的載體，教師要引導(dǎo)學(xué)生扎根教材，用好課本.課本是命題的源泉，也是解決問(wèn)題的依據(jù)；另外課本是幾代人集體智慧的結(jié)晶，它具有相當(dāng)完備的知識(shí)體系和能力架構(gòu)系統(tǒng)，其中的例題和習(xí)題是學(xué)生解題能力的核心生長(zhǎng)點(diǎn)，開展課本典型例習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)有利于減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，使學(xué)生跳出題海，起到事半功倍的效果.隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念不斷強(qiáng)化，新高考改革不斷推進(jìn)，將來(lái)不分文理科的趨勢(shì)逐漸形成，相信會(huì)有更多的高考題取材于課本，經(jīng)過(guò)加工改造后又高于課本，這能充分體現(xiàn)高考命題依綱靠本，源于教材又高于教材的指導(dǎo)思想.