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江蘇省江陰市第一初級中學(xué) 江蘇省江陰市夏港實驗學(xué)校

縱觀全國各地的數(shù)學(xué)中考試題，因地域的不同而各具特色，如天津市的格點畫圖問題、北京市的閱讀理解型壓軸題、無錫市的尺規(guī)作圖問題等都成為地區(qū)中考試題的名片和標(biāo)簽.歷經(jīng)傳承和發(fā)展的這些試題凝聚了命題者的智慧，彰顯了試題的特色和創(chuàng)新，而對這些試題特色的研究，有利于一線教師精準(zhǔn)把握教學(xué)方向，最大限度地提高學(xué)生的思維能力.本文主要闡述無錫市數(shù)學(xué)中考尺規(guī)作圖題的特色和教學(xué)啟示，以期引起同行的深入探討.

1 試題特色

1.1 作圖與推理“嫁接”

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的學(xué)科，蘇聯(lián)教育家托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)(思維)活動的教學(xué).”可見培養(yǎng)思維能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位.其中，“推理能力”被規(guī)定為在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)該注重發(fā)展學(xué)生的“十個核心關(guān)鍵詞”之一，作為數(shù)學(xué)學(xué)科初中階段的培養(yǎng)目標(biāo).

圖1

案例1 (2018·無錫)如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知點B的坐標(biāo)為(6，4).

(1) 請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.(作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡)

(2) 問：(1)中這樣的直線AC是否惟一？若惟一，請說明理由；若不惟一，請在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達式.

圖2

整個題目以推理立意，學(xué)生必須在分類的基礎(chǔ)上，全面地考慮問題，把問題所有情形都要畫出來，要求學(xué)生思維有較強的縝密性.解決此問題思維深刻性體現(xiàn)在要根據(jù)條件△ABC與△AOC的面積相等迅速得出直線AC始終經(jīng)過OB中點的結(jié)論，抓住了這個本質(zhì)問題進行深入細致的分析，實際上是直線AC繞OB的中點旋轉(zhuǎn)，需要空間想象能力，善于運用集中思維，把思考方向集中到∠ABC=90°，運用交軌法分析才能解決問題.試題以畫圖為依托，在限制了面積相等和直角的條件下，通過分析才能找到作圖的方向，其本質(zhì)還是回歸到幾何圖形的性質(zhì)和幾何圖形之間的聯(lián)系.

1.2 作圖與數(shù)學(xué)活動“鏈接”

史寧中教授認為：作為創(chuàng)新能力思維基礎(chǔ)的歸納能力，是建立在實踐的基礎(chǔ)上的，更多地依賴于過程，依賴于經(jīng)驗的積累.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)(以下簡稱《課標(biāo)》(2011年版))指出，教師教學(xué)應(yīng)使學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識和技能，體會和運用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并提出了“四基”的基本理念.數(shù)學(xué)實驗、操作、推理等數(shù)學(xué)活動是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的絕佳途徑，而實際教學(xué)中很多教師忽視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程價值，尺規(guī)作圖考查數(shù)學(xué)活動和探究過程，試題較好地體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的思想.

圖3

案例2 (2014·無錫)(1)如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC．現(xiàn)以C為圓心、CB為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心，AD長為半徑畫弧交邊AB于E．

(2)如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫作黃金三角形．請以以圖4中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形ABC.(注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并對作圖中涉及的點用字母進行標(biāo)注)

圖4

分析

1.3 作圖與數(shù)學(xué)實驗“融合”

《課標(biāo)》(2011年版)把創(chuàng)新意識放在突出重要的位置，而數(shù)學(xué)實驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意思的有效途徑.在教學(xué)中，很多教師僅僅滿足于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)和數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)并沒有引起足夠的重視，教學(xué)還沒有提高到育人的高度，而研究能夠考查學(xué)生創(chuàng)新能力的試題對教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和、提高數(shù)學(xué)教育的育人價值是很有益的.

圖5

案例3 (2106·無錫)如圖5，OA=2，以點A為圓心，1為半徑畫⊙A與OA的延長線交于點C，過點A畫OA的垂線，垂線與⊙A的一個交點為B，連接BC.

(1)線段BC的長等于___________；

(2)請在圖中按下列要求逐一操作，并回答問題：

分析此題也可以看作是數(shù)學(xué)實驗題，難點和亮點在第(2)②題，問題的實質(zhì)就是把線段OD三等分，所以聯(lián)結(jié)CD，過點A作CD的平行線即可，這是考試中考生普遍作法.也有考生是運用平行線分線段成比例定理或三角形重心性質(zhì)來完成作圖.當(dāng)然最為簡潔的作法是過點A作OD的垂線，垂足為P，則點P就是所求作的點.問題的解法入口較寬，但都要求學(xué)生善于對數(shù)學(xué)問題進行轉(zhuǎn)化，即能運用所學(xué)的知識把一條線段三等份，對問題的特征和隱含的關(guān)系進行具體的分析.不同的作法，體現(xiàn)了學(xué)生扎實的幾何基礎(chǔ)，強大的幾何構(gòu)圖能力，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想高度自動化的運用能力.這樣的考查方式不同于一般的證明題，已知條件來證明結(jié)論，思考方向明確，而需要學(xué)生根據(jù)已知條件自己探究到達結(jié)論的路徑，需要思維靈活.多種解法能啟迪學(xué)生多方向、多角度思考，體現(xiàn)思維的廣闊性.學(xué)生的多種創(chuàng)新解法顯示學(xué)生思維活躍、多謀善變，其思維具有發(fā)散性和直覺性.

2 教學(xué)啟示

2.1 擯棄模型教學(xué)

2.2 凸顯思維方法

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)思維能力的學(xué)科，而尺規(guī)作圖恰好能夠考查學(xué)生思考問題的方法，展示思維的過程，強調(diào)思維的開放性、深刻性、靈活性、發(fā)散性.這些試題的出現(xiàn)對教師的教學(xué)提出了更高的要求，如果平時的教學(xué)就題論題，不注重思維方式的引導(dǎo)和培養(yǎng)，學(xué)生在考場中就很難適應(yīng)此類試題，從無錫地區(qū)近幾年的中考來看，學(xué)生在此類問題上的失分是比較嚴(yán)重的.從思維方式來看，一般的思維方式有：比較、分析、綜合、抽象、概括等，而對于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，歸納推理和演繹推理是最為重要的思維方式，類比和聯(lián)想，一般化和特殊化的思維方法是教學(xué)中必須要教會學(xué)生使用.尺規(guī)作圖問題，表面來看是作圖，實際上考查的就是學(xué)生的思維方式和思維能力，很多問題都適合用分析法來解決問題，即假設(shè)圖形已經(jīng)做好，需要滿足何種條件，再轉(zhuǎn)化為基本作圖來解決問題，當(dāng)然對于思維能力較強的學(xué)生，用綜合法也未嘗不可，很多問題雖然作圖的結(jié)果(結(jié)論)是一定的，但問題成立的條件卻有很多，問題的開放程度高，需要有較強的逆向思維能力，如果教師平時教學(xué)沒有真正重視思維能力的教學(xué)，考場失分是理所當(dāng)然的事情.案例1中的第(2)題發(fā)現(xiàn)圓心必在OB的垂直平分線上，得出OA=BA，這是典型的運用分析法解題，即由果索因.如果學(xué)生缺少這些思維方法，思路就會受阻，思維就缺乏廣闊性和靈活性，可見數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)把數(shù)學(xué)思維方式、方法的教學(xué)放在突出重要的位置.

2.3 重視核心素養(yǎng)

隨著社會和經(jīng)濟的發(fā)展，學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)將會成為學(xué)科教學(xué)的重點，從數(shù)學(xué)學(xué)科的特點來看，可以在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的6大素養(yǎng)即：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析.2011版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、符號意識、創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識.縱觀無錫市中考數(shù)學(xué)試題的尺規(guī)作圖問題，很好地契合了上述要求，如案例3第(2)題的②，從閱卷的結(jié)果來看，學(xué)生的作法就有二十多種，其中過點A作OD的垂線，就很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想、幾何直觀能力，以及強大的創(chuàng)新意識，思維深刻而又簡潔.案例1的第(2)題，要證明直線AC的不惟一性，需要學(xué)生有較強的邏輯推理能力，試題的難度和考查點，都集中于此，就是以尺規(guī)作圖為載體，考查學(xué)生的邏輯推理能力.這些試題引導(dǎo)教師在平時的教學(xué)中要立意高遠，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，以培養(yǎng)思維能力為核心，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.