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安徽省合肥市廬陽區(qū)教研室 安徽省合肥市第四十五中學(xué)

每年的中考幾何壓軸題都是老師和學(xué)生們關(guān)注的焦點(diǎn)，中考幾何壓軸題綜合性強(qiáng)，考查的知識點(diǎn)多，圖形紛繁復(fù)雜、千變?nèi)f化，對學(xué)生們的思維能力和數(shù)學(xué)思想方法要求都比較高.學(xué)生在解題過程中往往因?yàn)楸嫖霾怀鰡栴}的本質(zhì)，找不到解決問題的突破口而造成丟分.在中考幾何壓軸題的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，老師要幫助學(xué)生學(xué)會分析問題的本質(zhì)，抓住幾何圖形的變化規(guī)律，從本源出發(fā)，順藤摸瓜，通過變式探究，解決疑難問題.

下面以一道中考題為例，從一個(gè)簡單基本圖形入手，層層遞進(jìn)，為讀者們剖析簡單圖形到復(fù)雜圖形的演變過程，希望對我們平時(shí)的幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)有所啟發(fā).

1 原題呈現(xiàn)

2016年安徽省中考數(shù)學(xué)第23題如下：

圖1

如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn).

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長PC，QD交于點(diǎn)R：

圖2

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

圖3

②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON的大小和AB∶PQ的值.

本題綜合考查了相似、中位線、直角三角形的性質(zhì)，考查圖形之間的變化及內(nèi)在聯(lián)系，綜合性強(qiáng)，特別是圖形線條較多，關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生們看不懂圖，讀不懂題.眼花繚亂的圖形讓學(xué)生們找不到解決問題的突破口，這也是失分的關(guān)鍵原因.

但真的沒有章法可循嗎？要想認(rèn)識本題，我們先從一個(gè)基本圖形說起.

圖4

2 追根溯源

問題1 如圖4，△ABC中，AC=BC，過點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P，E是AB的中點(diǎn)，連接PE、QE.求證：PE=QE.

證明因?yàn)锽P⊥AC，所以∠APB=90°.在Rt△ABP中，

事實(shí)上，由于等腰三角形是軸對稱圖形，PE=QE是顯然的，不僅如此，根據(jù)對稱性，還能得到∠1=∠2.

上述關(guān)于線段長度和角度的關(guān)系是基于一類特殊的三角形——等腰三角形，于是可以作出大膽的猜想，在一般三角形中，此結(jié)論是否也成立呢？

圖5

問題2如圖5，△ABC中，過點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P，E是AB的中點(diǎn)，連接PE、QE.求證：PE=QE，∠1=∠2.

證明與問題1證法同，得PE=QE.

在△AOP和△BOQ中，因?yàn)椤螦PO=∠BQO=90°,∠AOP=∠BOQ，所以∠1=∠2.

無論是在等腰三角形，還是一般三角形中，∠1=∠2這個(gè)結(jié)論都是成立的.現(xiàn)在換一個(gè)角度來分析這個(gè)問題，也就是說，若先假設(shè)∠1=∠2，那么PE=QE是否依然成立呢？

3 引申探究

依然從特殊的三角形——等腰三角形著手.

圖6

問題3 如圖6，△ABC中，AC=BC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠1=∠2，過O點(diǎn)分別作AC、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)P、Q，E是AB的中點(diǎn)，連接PE、QE.求證：PE=QE.

由等腰三角形的軸對稱性，易得PE=QE.也可以借助全等三角形的相關(guān)知識加以證明.

探究之一

思考在一般的三角形中，結(jié)論P(yáng)E=QE是否依然成立？

圖7

問題4 如圖7，△ABC中，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠1=∠2，過O點(diǎn)分別作AC、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)P、Q，E是AB的中點(diǎn)，連接PE、QE.求證：PE=QE.

證明分別取OA、OB的中點(diǎn)F、D，連接PF、EF、QD、ED.

所以四邊形ODEF是平行四邊形，從而∠OFE=∠ODE.

因?yàn)椤螾FO=2∠1，∠ODQ=2∠2，∠1=∠2，所以∠PFO=∠ODQ，從而∠PFE=∠EDQ.

所以PF=ED,EF=QD，從而△PFE≌△EDQ，故PE=QE.

探究之二

思考圖中的∠PEQ與∠1、∠2有什么樣的數(shù)量關(guān)系.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

圖8

特殊情況1 當(dāng)∠1=∠2=30°時(shí)，如圖8所示，運(yùn)用幾何畫板，測量出∠PEQ=60°、即△PEQ是等邊三角形.

圖9

特殊情況2 當(dāng)∠1=∠2=45°時(shí)，如圖9所示，運(yùn)用幾何畫板，測量出∠PEQ=90°，即△PEQ是等腰直角三角形.

猜想∠PEQ=2∠1.

下面借助于圖9，給出詳細(xì)的證明過程.

證明因?yàn)椤螾EQ=∠DEF-(∠PEF+∠QED)， ∠DEF=∠AFE，

所以∠PEQ=∠AFE-(∠PEF+∠QED)=∠AFE-(∠PEF+∠EPF)

=∠AFE-(180°-∠PFE)

=∠AFE-(180°-∠PFO-∠EFO)

=∠AFE+∠EFO-180°+∠PFO

=∠PFO=2∠1.

4 試題形成

圖10

在探究的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，四邊形CPOQ對于結(jié)論的推導(dǎo)是沒有任何幫助的，在保證∠PAO=45°的基礎(chǔ)上，把線段CP、CQ隱藏，就得到了圖10所示的圖形.

圖11

如果把圖10繞點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到圖11，也就是2016年安徽省中考題的第23題的圖1.在此基礎(chǔ)上增加一些條件，就可以得到這道中考題的后面兩個(gè)問題.2016年的安徽省中考第23題壓軸題也就產(chǎn)生了.

2016年安徽省中考第23題，第(1)問證明兩個(gè)三角形全等，學(xué)生找兩條等邊并不困難，難點(diǎn)在于如何找一對等角，而文中借助圖9的探究之二證明的∠PEQ=2∠1的解題思路和第(1)問找等角，以及第(3)問求∠MON的度數(shù)，過程與方法是完全一致的.也就是說，如果我們在平時(shí)的課堂教學(xué)中，能重視基本圖形的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生注重圖形之間的變化，那么這道壓軸題解決起來就會輕松很多.

5 幾點(diǎn)思考

關(guān)于中考前壓軸類習(xí)題的教學(xué)，有以下幾點(diǎn)需要老師們關(guān)注.

(1)關(guān)注學(xué)生們的最近思維發(fā)展區(qū)

“最近發(fā)展區(qū)”這一概念是由前蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的，它指的是現(xiàn)有水平和潛在發(fā)展水平之間的幅度，也叫做“教學(xué)的最佳期”.“最近發(fā)展區(qū)”的“最近”是基點(diǎn)，“發(fā)展”是目標(biāo)．維果茨基認(rèn)為至少可以確定學(xué)生有兩個(gè)發(fā)展水平：第一個(gè)是現(xiàn)有發(fā)展水平，是由已經(jīng)完成的發(fā)展程序的結(jié)果形成的心理機(jī)能的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學(xué)生能獨(dú)立地、自如地完成教師提出的智力任務(wù)；第二個(gè)是潛在發(fā)展水平，是那些尚處于形成狀態(tài)，表現(xiàn)為學(xué)生還不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但在教師幫助下，在集體活動中，通過訓(xùn)練和自己的努力才能完成的智力任務(wù).在課堂教學(xué)活動中，關(guān)注學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)，就是在學(xué)生最需要的時(shí)候給予指點(diǎn)、鼓勵和幫助，從學(xué)生已有的知識儲備出發(fā)，通過教師合理的引導(dǎo)、指導(dǎo)，尊重知識的形成過程，通過觀察、猜想、驗(yàn)證、證明等思維過程獲取知識與能力，進(jìn)而形成思想與方法.這也是以人為本教育理念的核心內(nèi)容.

(2)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的獲得

這里所說及的經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生們把現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程中，所經(jīng)歷的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、猜想、驗(yàn)證、推理證明等方法，進(jìn)而形成的抽象概括的能力，也包括在解決某些數(shù)學(xué)問題中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析并解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在處理某些一般性的結(jié)論時(shí)，往往先把問題特殊化，在特殊狀態(tài)下去尋找某些結(jié)論，獲得一些經(jīng)驗(yàn)，再在一般狀態(tài)下去思考特殊狀態(tài)下的結(jié)論是否仍然成立.本文分析的2016安徽省中考第23題的研究過程就是反復(fù)運(yùn)用了特殊到一般的研究思路.

(3)學(xué)會研究動態(tài)問題中某些內(nèi)在的規(guī)律

圖形的變化紛繁復(fù)雜，點(diǎn)的運(yùn)動、線的運(yùn)動亦或是圖形的運(yùn)動，勢必造成線段的長短變化、角度的大小變化、乃至圖形的形狀、位置等發(fā)生變化.在這些變化過程中有可能有某些亙古不變的內(nèi)在規(guī)律，我們要帶領(lǐng)學(xué)生們學(xué)會發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律、研究這些規(guī)律、提出合理的觀點(diǎn)與結(jié)論，進(jìn)而推導(dǎo)證明這些結(jié)論與規(guī)律，這也既是數(shù)學(xué)教育的核心素養(yǎng)所在，也是幾何教學(xué)的魅力所在.

波利亞曾說過：“解題的成功，要靠正確地轉(zhuǎn)化.”教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題回顧與反思，幫助學(xué)生梳理、提煉基本圖形，遇到問題時(shí)分離出基本圖形，基本圖形殘缺時(shí)，構(gòu)造基本圖形，這樣可以以這些基本圖形為載體，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、分析推理能力. 實(shí)踐證明：它是一種非常重要的，而且是行之有效的方法. 可以說：一張基本圖形勝似千言萬語！