楊育偉，蔡 洪

(國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

電動(dòng)力繩系是一種由兩個(gè)衛(wèi)星和一條柔性可導(dǎo)電的系繩組成的空間飛行器系統(tǒng)。其中，衛(wèi)星連接于系繩的兩端[1]。在與地磁場(chǎng)及電離層的作用下，電動(dòng)力繩系能夠感應(yīng)產(chǎn)生洛倫茲力，從而用于軌道機(jī)動(dòng)[2]。由于具有不消耗燃料、質(zhì)量輕及功率大等優(yōu)點(diǎn)，電動(dòng)力繩系技術(shù)在空間碎片清除和廢棄衛(wèi)星降軌等空間任務(wù)中具有非常廣闊的應(yīng)用前景[3-8]。而在當(dāng)前的理論研究中，電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)研究是重點(diǎn)關(guān)注的問題。

在對(duì)電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究中，周期擺動(dòng)是關(guān)注最多的問題[9-14]。Peláez等[11- 12]首先提出了啞鈴模型且推導(dǎo)了在圓軌道和橢圓軌道上運(yùn)行的電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。該方程具有非常強(qiáng)的非線性，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)存在周期解。通過Poincaré映射法[11]和Legendre偽譜法[13]等數(shù)值方法可以求解得到方程的周期解。由于電動(dòng)力繩系是處于電動(dòng)力的周期激勵(lì)下，周期擺動(dòng)從本質(zhì)上是不穩(wěn)定的。通過計(jì)算周期解遷移矩陣的特征值，Peláez和Andrés[12]發(fā)現(xiàn)不穩(wěn)定性隨著電動(dòng)力參數(shù)和軌道偏心率的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。

降軌動(dòng)力學(xué)是研究電動(dòng)力繩系軌道動(dòng)力學(xué)的重要問題之一[15-19]。胡長(zhǎng)偉等[15]研究了系統(tǒng)與空間等離子體之間的接觸電阻對(duì)離軌特性的影響。張健等[16]通過系繩結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了系繩穩(wěn)定與軌道機(jī)動(dòng)控制的解耦，并研究了氣動(dòng)阻力作用下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)及控制特性。文獻(xiàn)[17]中運(yùn)用高斯擾動(dòng)方程對(duì)繩系-納星的軌道動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了建模。文獻(xiàn)[18-19]對(duì)保證快速、穩(wěn)定的飛行器降軌的電流控制進(jìn)行了研究，通過比較不同軌道傾角下的降軌時(shí)間得出：電動(dòng)力繩系的降軌效率與軌道傾角和系繩擺動(dòng)相關(guān)。

在擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)方程中，存在系統(tǒng)參數(shù)：主星質(zhì)量、子星質(zhì)量、系繩質(zhì)量和系繩中電流。在所有對(duì)電動(dòng)力繩系動(dòng)力學(xué)的研究中，上述系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響的研究較少。Wang等[20]研究了系統(tǒng)總質(zhì)量與主星質(zhì)量的比和子星質(zhì)量與總質(zhì)量的比對(duì)降軌穩(wěn)定性和效果的影響。然而，每個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響并沒有研究。因此，本文將研究：1)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響；2)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響。

1 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響

1.1 坐標(biāo)系統(tǒng)

下面介紹文中用到的兩個(gè)坐標(biāo)系。

1)地心慣性坐標(biāo)系EXYZ：該坐標(biāo)系以地心E為原點(diǎn)，EX軸指向第一升交點(diǎn)，EZ與地球自轉(zhuǎn)軸重合，EY符合右手定則。

2)軌道坐標(biāo)系Oxyz：該坐標(biāo)系以電動(dòng)力繩系的質(zhì)心O為原點(diǎn)，Ox軸沿當(dāng)?shù)卮咕€并指向天頂，Oz軸沿軌道動(dòng)量矩的方向，Oy軸符合右手定則。

1.2 擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和周期解

文中僅研究在留位狀態(tài)階段系統(tǒng)參數(shù)對(duì)電動(dòng)力繩系擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響。本階段中，系統(tǒng)的系繩處于張緊狀態(tài)，繩長(zhǎng)保持不變。因此，將電動(dòng)力繩系假設(shè)為啞鈴模型，該模型將系繩視為非彈性且無(wú)柔性的細(xì)桿[11-12]。雖然在空間運(yùn)行的電動(dòng)力繩系的系繩長(zhǎng)度可達(dá)幾千米，但與軌道半徑相比仍然是小量。因此，在建模過程中，假定沿系繩周圍空間的地磁場(chǎng)是均勻的，且取系統(tǒng)質(zhì)心處的值。為了計(jì)算作用于系繩上的電動(dòng)力，需要對(duì)地磁場(chǎng)B建模。本文使用了最簡(jiǎn)單的地磁場(chǎng)模型—非傾斜偶極子模型。在軌道坐標(biāo)系Oxyz中，該模型的各分量(Bx,By,Bz)可表示為

(1)

式中：r為軌道半徑，μm為磁偶極子強(qiáng)度，i為軌道傾角，為近心點(diǎn)角距，f為真近點(diǎn)角。

定義系繩在軌道坐標(biāo)系的平面Oxy內(nèi)的投影與Ox軸的夾角為面內(nèi)角θ，系繩與平面Oxy的夾角為面外角φ，用θ和φ來描述電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)。對(duì)于電動(dòng)力繩系，主星及子星的尺寸與繩系的長(zhǎng)度相比很?。涣硗?，主星與繩系之間、子星與繩系之間的連接均為柔性連接?；谶@兩個(gè)因素，系統(tǒng)的主星與子星的姿態(tài)對(duì)系統(tǒng)擺動(dòng)的影響在本文中忽略不計(jì)?？臻g中電動(dòng)力繩系模型和各坐標(biāo)系如圖1所示。

基于啞鈴模型和非傾斜偶極子磁場(chǎng)模型的假設(shè)，運(yùn)行于橢圓軌道上的電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為[14]

圖1 電動(dòng)繩系啞鈴模型和坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Dumbbell model of EDT and coordinate systems

(2)

其中，e為軌道偏心率。在式(2)的推導(dǎo)過程中，將變量對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)變換為了對(duì)真近點(diǎn)角f的求導(dǎo)，即式中求導(dǎo)符號(hào)(·)表示d( )/df。另外，在推導(dǎo)中，引入了電動(dòng)力參數(shù)ε，其表達(dá)式為

(3)

在電動(dòng)力繩系的運(yùn)行過程中，雖然在洛倫茲力作用下，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生軌道機(jī)動(dòng)，但是與系統(tǒng)的擺動(dòng)相比，軌道元素如偏心率、軌道傾角及近地點(diǎn)高度的變化非常緩慢。因此，本文中在研究擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)時(shí)，假設(shè)系統(tǒng)的軌道保持不變。此時(shí)，式(2)中包含參數(shù)ε的激勵(lì)項(xiàng)具有周期性，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，其具有周期解。但由于式(2)具有很強(qiáng)的非線性，只能采用數(shù)值方法來對(duì)其進(jìn)行研究。

采用數(shù)值方法進(jìn)行研究時(shí)，需令

(4)

將擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程(2)表示為一階形式。

圖2 不同ε值對(duì)應(yīng)的周期解Fig.2 Periodic solution of libration dynamic equation for different ε

擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的周期解，可以通過Poincaré映射等數(shù)值方法求解得到[11]。擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的周期解對(duì)電動(dòng)力繩系具有非常重要的意義，其表示系統(tǒng)能量輸入為零的狀態(tài)，且可以作為空間操作的參考軌道。因此，本文研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的周期解及其特性的影響。

在擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中，各系統(tǒng)參數(shù)通過ε來影響該方程。圖2為當(dāng)i=40°，e=0.2，=0°時(shí)，不同ε值對(duì)應(yīng)的周期解。為了不失一般性，算例中i和e的值是隨機(jī)選取的，并沒有特殊含義。

圖2顯示，對(duì)于不同的軌道參數(shù)，隨著ε的增長(zhǎng)，擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程周期解的擺動(dòng)幅度也在增大。電動(dòng)力繩系擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的周期解是不穩(wěn)定的[12]。周期解的不穩(wěn)定性越強(qiáng)，在無(wú)控制狀態(tài)下，當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，周期擺動(dòng)狀態(tài)會(huì)越快地發(fā)生偏離，變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。而將非周期擺動(dòng)控制為周期擺動(dòng)時(shí)，此時(shí)各參數(shù)對(duì)應(yīng)的周期解不穩(wěn)定性越強(qiáng)，控制越難實(shí)現(xiàn)。非線性動(dòng)力學(xué)方程周期解的不穩(wěn)定性可以通過周期解的遷移矩陣的特征值的模來表征。

1.3 穩(wěn)定性分析理論

令

(5)

為基于參量σ的n維自治系統(tǒng)的非線性微分方程。當(dāng)σ=σ0時(shí)，如果系統(tǒng)(5)存在周期解，則周期解的局部穩(wěn)定性由該系統(tǒng)的線性化方程決定，即

(6)

式中：A(t)=?f(x,σ)/?x|x=x0(t),σ=σ0為雅閣比矩陣。由于x=x0(t)具有周期性，A(t)為周期時(shí)變矩陣。

此時(shí)，將非線性系統(tǒng)(5)的周期解穩(wěn)定性判斷近似轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)(6)的周期解局部穩(wěn)定性判斷問題。而線性系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性可通過Floquet理論來判斷[21-22]。設(shè)n×n的非奇異矩陣Φ(t)為系統(tǒng)(6)的基解矩陣(Fundamental matrix)，即

(7)

另外，存在周期為T的n×n非奇異矩陣P(t)和n×n常值矩陣R滿足

Φ(t)=P(t)etR

(8)

而遷移矩陣(Monodromy matrix)Φ(T)為當(dāng)t=T、初值條件Φ(0)=I(I為單位陣)時(shí)Φ(t)的值；Φ(T)的特征值稱為Floquet特征乘子。

參考文獻(xiàn)[21-22]中有以下結(jié)論：方程(6)的周期解漸近穩(wěn)定的必要條件是方程(6)的特征乘子的模都小于1(所有的特征乘子在復(fù)平面的單位圓內(nèi))。否則，周期解是不穩(wěn)定的。另外，模大于單位1的特征乘子的模越大，周期解的不穩(wěn)定性越強(qiáng)。

對(duì)于擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，周期解的遷移矩陣有兩對(duì)特征值。其中至少有一個(gè)特征值的模大于單位1[12]。本文用遷移矩陣特征值的模即周期解的不穩(wěn)定性來衡量系統(tǒng)參數(shù)對(duì)電動(dòng)力繩系擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響。在仿真中采用了文獻(xiàn)[23]介紹的基于精細(xì)積分的遷移矩陣計(jì)算方法。

1.4 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響仿真

仿真中，分別計(jì)算了不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)應(yīng)的周期解以及周期解遷移矩陣特征值的模隨系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系。圖3給出了周期解遷移矩陣的特征值的模隨各系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系。針對(duì)每個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的仿真中，該系統(tǒng)參數(shù)的變化范圍如圖3中對(duì)應(yīng)各子圖中的橫坐標(biāo)所示，而其余參數(shù)的值保持恒定，且取表1中的值。本文假設(shè)系繩的長(zhǎng)度與質(zhì)量呈正比，因此圖3(c)中存在兩個(gè)橫坐標(biāo)：系繩質(zhì)量mt，以及對(duì)應(yīng)的繩長(zhǎng)L。另外，在所有的仿真中，軌道元素設(shè)為e=0.1，i=25°，=0°。

表1 參考系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)的值Table 1 Values of system parameters of the baseline system

由圖3可知，對(duì)于所有的系統(tǒng)參數(shù)，均存在模大于單位1的特征值λ3,4，說明對(duì)應(yīng)的周期解均是不穩(wěn)定的。

2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響

2.1 軌道動(dòng)力學(xué)方程

為了避免當(dāng)軌道偏心率或者軌道傾角非常小時(shí)造成的奇異性，航天器的軌道運(yùn)動(dòng)可以用春分點(diǎn)軌道元素的形式來描述。春分點(diǎn)軌道元素和經(jīng)典軌道元素之間的關(guān)系可表示為

圖3 周期解遷移矩陣特征值的模與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系Fig.3 Moduli of eigenvalues of monodromy matrix as functions of system parameters

(9)

其中，a為軌道長(zhǎng)半軸，Ω為軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)，λ為平經(jīng)度，M為平近點(diǎn)角；h，k，p和q分別為用來代替經(jīng)典軌道元素e，i，Ω和的對(duì)應(yīng)變量。則以春分點(diǎn)軌道元素描述的系統(tǒng)軌道動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

(11)

作用在系繩上的洛倫茲力FL可以表示為

(12)

其中，t為與系繩相切的單位向量，它在軌道坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

t=cosθcosφi+sinθcosφj+sinφk

(13)

本文僅考慮洛倫茲力和重力作用于系統(tǒng)上，則由洛倫茲力引起的擾動(dòng)加速度(S,T,W)為

(14)

將式(1)、(14)和(13)代入式(15)，可得

(15)

在洛倫茲力的作用下，電動(dòng)力繩系可進(jìn)行降軌。本文通過系統(tǒng)參數(shù)對(duì)降軌過程的影響來研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響。在降軌時(shí)，軌道長(zhǎng)半軸的變化率可表征電動(dòng)力繩系的效率。在式(10)中，da/dt依賴于加速度分量S和T。令Ta表示項(xiàng)(1+ecosf)T在一個(gè)軌道周期內(nèi)的平均值。在一個(gè)軌道周期內(nèi)，項(xiàng)esinfS的積分遠(yuǎn)小于Ta的積分。因此，分量T為決定軌道長(zhǎng)半軸變化率的最主要因素。

令

(16)

式(15)中計(jì)算T時(shí)，地磁場(chǎng)分量Bx所占的比重遠(yuǎn)大于分量Bz。則T主要依賴于項(xiàng)-Bzcosθcosφ和ζ。從而，da/dt主要由-Bzcosθcosφ和ζ決定。本文降軌過程中系繩的擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)也被考慮進(jìn)軌道動(dòng)力學(xué)方程中，且系繩以第2節(jié)中的周期解為初始擺動(dòng)狀態(tài)。第2節(jié)顯示，對(duì)于相同的軌道元素，擺動(dòng)角θ和φ的幅度均隨著ε的增大而增大。因此，項(xiàng)-Bzcosθcosφ的絕對(duì)值隨著ε的增大而減小，從而造成T的幅值隨著ε的增大而減小。而T與ζ的關(guān)系為正比例關(guān)系。因此，Ta與ε呈反比例關(guān)系，與ζ呈正比例關(guān)系。其中，ε對(duì)Ta的影響表示了系繩的擺動(dòng)對(duì)Ta的影響。而Ta的變化趨勢(shì)則可反映降軌時(shí)間的變化趨勢(shì)。下面通過仿真算例來研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響仿真

首先，在考慮了系繩擺動(dòng)情況下，對(duì)運(yùn)行于橢圓軌道上的電動(dòng)力繩系的降軌過程進(jìn)行仿真。本算例中，選取的系統(tǒng)參數(shù)的值與表1中所示相同；初始近地點(diǎn)高度為800 km，目標(biāo)近地點(diǎn)高度為500 km，初始軌道偏心率為0.1，初始軌道傾角為25°。系繩的初始擺動(dòng)狀態(tài)為對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)參數(shù)和初始軌道元素的周期解，降軌過程中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)則由擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程積分得到。圖4給出了降軌過程中軌道近地點(diǎn)高度、偏心率及軌道傾角隨時(shí)間的變化關(guān)系。圖5給出了降軌期間系繩面內(nèi)和面外擺動(dòng)角的變化。

圖4顯示，電動(dòng)力繩系的降軌過程需要約9天的時(shí)間。在降軌過程中，軌道偏心率呈增大趨勢(shì)，軌道傾角呈減小趨勢(shì)。但是與近地點(diǎn)高度的明顯變化相比，這兩個(gè)軌道元素的變化幅度均很小。

圖5顯示，降軌過程中電動(dòng)力繩系的擺動(dòng)周期約為1.5～2.0 h。在仿真過程中，繩系的擺動(dòng)考慮了軌道元素的變化，即圖5中擺動(dòng)角的計(jì)算中計(jì)入了軌道元素的實(shí)時(shí)變化。在擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程(2)中，軌道近點(diǎn)高度的變化對(duì)該方程沒有影響，只有軌道傾角和軌道偏心率的變化對(duì)周期解產(chǎn)生擾動(dòng)。在一個(gè)擺動(dòng)周期內(nèi)，圖4中的軌道傾角變化約0.00375°，軌道偏心率變化約0.0000225；即在整個(gè)降軌過程中，軌道偏心率和軌道傾角的變化非常小且非常緩慢。雖然周期解是不穩(wěn)定的，但圖5的結(jié)果顯示，在降軌過程中軌道元素存在小的擾動(dòng)下，繩系在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)仍然為近似周期擺動(dòng)。這也反過來說明，在單獨(dú)研究系統(tǒng)的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)過程中將軌道元素假設(shè)為不變是合理的。

圖4 軌道近地點(diǎn)高度、偏心率及軌道傾角隨時(shí)間的變化關(guān)系Fig.4 Time histories of the orbital altitude of the perigee, eccentricity and inclination of EDT during deorbit

圖5 降軌期間擺動(dòng)角的變化Fig.5 Time histories of the in-plane and out-of-plane libration angles during deorbit

然后，利用仿真算例來研究各系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響。目前電動(dòng)力繩系最主要的應(yīng)用是對(duì)廢棄衛(wèi)星進(jìn)行降軌，降軌效率是最重要、最需要考察的因素，軌道高度是最明顯的變化量。因此，本文中僅關(guān)注近地點(diǎn)高度的變化，用系統(tǒng)的近地點(diǎn)高度從800 km降到500 km所耗時(shí)間來衡量降軌效率。

圖6給出了降軌時(shí)間隨各系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系。各子圖中橫坐標(biāo)為所研究的系統(tǒng)參數(shù)的變化范圍，而其余參數(shù)的值與表1中所示相同。所有的仿真中，初始的e和i設(shè)為e=0.1，i=25°；且在飛行過程中考慮繩系的擺動(dòng)。初始的擺動(dòng)狀態(tài)則為對(duì)應(yīng)于初始e,i及ε的周期解。

圖6(a)顯示，降軌時(shí)間隨m1的增大而增大。m1的增大導(dǎo)致擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中的ε增大，在軌道動(dòng)力學(xué)方程中，ζ的值隨m1的增大而減小，因此分別正比于ζ和反比于ε的Ta的值隨著m1的增大而減??；在減小的Ta作用下，降軌過程中的da/dt的絕對(duì)值減小，即降軌效率變慢。圖6(a)中結(jié)果說明，增長(zhǎng)的m1對(duì)系統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)具有消極的影響。

圖6 降軌時(shí)間隨各系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系Fig.6 Values of deorbit time as functions of system parameters

圖6(b)顯示，降軌時(shí)間隨m2的增大先減小后增大。這是因?yàn)殡S著m2的增大，擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中ε的值減?。欢壍绖?dòng)力學(xué)方程中ζ的值則隨著m2的增大而減?。贿@兩個(gè)因素導(dǎo)致Ta的絕對(duì)值隨著m2的增大先減小后增大。Ta的絕對(duì)值越大，降軌效率越高，降軌時(shí)間越短；Ta的絕對(duì)值越小，降軌效率越低，降軌時(shí)間越長(zhǎng)。圖6(b)中的結(jié)果說明，增長(zhǎng)的m2對(duì)系統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)的影響為先積極后消極。

圖6(c)顯示，降軌時(shí)間隨mt的增大而變短。這是因?yàn)殡S著mt的增大，擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中的ε減小，而軌道動(dòng)力學(xué)方程中的ζ則增大，從而導(dǎo)致Ta的絕對(duì)值隨著mt的增大而增大。圖6(c)結(jié)果說明，增長(zhǎng)的mt對(duì)系統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)的影響為積極的。本質(zhì)上，這是因?yàn)閙t的增大意味著系繩的增長(zhǎng)，從而提高了降軌效率。

3 討 論

本節(jié)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響進(jìn)行綜合討論，給出了關(guān)于每個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)建議并提出了降軌策略。系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響總結(jié)于表2中。

表2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響Table 2 Summary of effects of the system parameters on libration dynamics and orbital dynamics

綜合仿真結(jié)果可知，增長(zhǎng)的m1對(duì)系統(tǒng)的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)均有消極的影響。另外，增大的m1意味著發(fā)射成本的增加。因此，主星質(zhì)量m1設(shè)計(jì)得越小越好。

而m2較小的增長(zhǎng)就會(huì)造成擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性很大程度地降低，且在所有的系統(tǒng)參數(shù)中，增長(zhǎng)的m2對(duì)于減小周期解的不穩(wěn)定性效果最為明顯。盡管增長(zhǎng)的m2對(duì)于軌道動(dòng)力學(xué)的影響為先積極后消極，但是最長(zhǎng)的降軌時(shí)間與最短的降軌時(shí)間的差僅僅為3天，相較其他參數(shù)對(duì)降軌動(dòng)力學(xué)的影響，是非常小的。相比其對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的積極的影響，其對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)消極的影響可以忽略。另外，能夠?qū)[動(dòng)動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生明顯效果的增長(zhǎng)的m2也僅僅幾千克的量級(jí)，這對(duì)于發(fā)射成本的產(chǎn)生的影響也比較小。因此，綜合考慮，當(dāng)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，子星質(zhì)量m2越大越好。

mt的增長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)的擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)均有積極的影響。其中，隨著mt的增長(zhǎng)降軌時(shí)間明顯減少。mt的增長(zhǎng)對(duì)降軌動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生的影響相對(duì)較小，在考慮發(fā)射成本時(shí)可以忽略。但是，mt的增長(zhǎng)意味著系繩長(zhǎng)度的增加，這樣就增加了系統(tǒng)的展開難度。因此，在不影響系統(tǒng)展開的前提下，系繩的質(zhì)量mt設(shè)計(jì)得越大越好。

電動(dòng)力繩系最主要的功能是進(jìn)行降軌，因此有必要綜合考慮各種對(duì)降軌產(chǎn)生影響的因素，對(duì)應(yīng)于降軌的整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，并提出合理的降軌策略。

在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，主星的質(zhì)量設(shè)計(jì)要盡量小；子星的質(zhì)量設(shè)計(jì)在滿足發(fā)射成本約束、質(zhì)量小于主星質(zhì)量約束以及其它約束的情況下，質(zhì)量盡可能大；繩系長(zhǎng)度的設(shè)計(jì)則是在滿足展開機(jī)構(gòu)約束條件下，長(zhǎng)度盡可能長(zhǎng)。三個(gè)因素中，繩系長(zhǎng)度的變化對(duì)降軌的影響最為明顯，且最具有可行性，因此，在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，繩系的長(zhǎng)度為最主要的設(shè)計(jì)變量。

在降軌過程中，繩系中的電流和繩系的姿態(tài)擺動(dòng)均對(duì)系統(tǒng)的軌道動(dòng)力學(xué)具有影響。因此，降軌策略的制定需主要考慮這兩個(gè)因素。首先，由于常值電流情況下，系統(tǒng)存在規(guī)律的周期姿態(tài)擺動(dòng)，因此降軌過程中需將繩系中電流控制為常值。而常值電流的大小則需要綜合考慮姿態(tài)擺動(dòng)的不穩(wěn)定性以及電流產(chǎn)生能力來確定。在滿足穩(wěn)定性控制等約束范圍內(nèi)，電流的值越大越好。當(dāng)系統(tǒng)的各組件質(zhì)量、繩系中的電流大小確定后，以對(duì)應(yīng)的周期解為初始擺動(dòng)狀態(tài)。在運(yùn)行的過程中，當(dāng)干擾力和軌道元素?cái)z動(dòng)等因素使得繩系的擺動(dòng)偏離周期解達(dá)到一定的程度時(shí)，對(duì)繩系的擺動(dòng)進(jìn)行控制，使其回到此時(shí)對(duì)應(yīng)的周期解上。繩系擺動(dòng)的控制可通過控制繩系中的電流，或者安裝在子星上的小推力發(fā)動(dòng)機(jī)等方法實(shí)現(xiàn)。當(dāng)繩系擺動(dòng)恢復(fù)到周期解上時(shí)，停止控制；而當(dāng)繩系擺動(dòng)再次偏離周期解達(dá)到一定程度時(shí)，再次施加控制，這樣直到降軌過程完成。

4 結(jié) 論

本文研究了主星質(zhì)量、子星質(zhì)量、系繩質(zhì)量以及系繩中的電流對(duì)電動(dòng)力繩系擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響。通過各系統(tǒng)參數(shù)對(duì)周期解不穩(wěn)定性的影響研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響。通過各系統(tǒng)參數(shù)對(duì)降軌時(shí)間的影響研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響。分析結(jié)果表明：主星質(zhì)量的增大對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)均有消極的影響；子星質(zhì)量的增大對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)具有積極的影響，而對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的影響則為先積極后消極；系繩質(zhì)量的增大對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)均有積極的影響；增大的電流對(duì)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)具有消極的影響，而對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)則有積極的影響。綜合考慮各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)擺動(dòng)動(dòng)力學(xué)和軌道動(dòng)力學(xué)的影響程度，以及實(shí)際的發(fā)射、空間的展開等因素，可為各系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)以及降軌策略的制定提供理論參考和建議。