郭晴 葉會(huì)英

摘 ?要： 構(gòu)建光反饋?zhàn)曰旌细缮胬碚撃Ｐ停ㄟ^Matlab仿真分析驗(yàn)證理論模型的正確性。利用奇異值分解的方法確定Hankle矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，構(gòu)造逼近矩陣對(duì)含噪自混合干涉信號(hào)進(jìn)行降噪處理。在適度反饋機(jī)制下，選取不同的光反饋水平因子[C]值進(jìn)行仿真。對(duì)降噪前后信號(hào)波形進(jìn)行仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明奇異值分解改善了信號(hào)的光滑性，起到了降噪的效果;通過對(duì)降噪前后所測(cè)位移精度的對(duì)比，精度的提高表明奇異值分解的降噪方法在自混合干涉信號(hào)噪聲處理方面的有效性。

關(guān)鍵詞： 光反饋; 自混合干涉; 奇異值分解; 降噪; OFSMI信號(hào); 條紋計(jì)數(shù)法

中圖分類號(hào)： TN247?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2019）09?0026?05

Singular value decomposition based denoising method of self?mixing interference signal

GUO Qing1， 2， YE Huiying1

（1. College of Information Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China;

2. College of Information and Electronic Engineering， Shangqiu Institute of Technology， Shangqiu 476000， China）

Abstract： The theoretical model of optical feedback self?mixing interference （OFSMI） system is constructed， and its correctness is verified with Matlab simulation analysis. The method based on singular value decomposition （SVD） is used to denoise the self?mixing interference signal with noise by means of determination of the Hankle matrix， SVD of matrix and construction of approximation matrix. By means of moderate feedback mechanism， the different optical feedback level factor [C ]values are selected for simulation， and the simulation analysis is carried out for the signal waveforms before and after denoising. The experimental results show that the SVD can improve the smoothness of the signal， and denoise the signal; in comparison with the measured displacement accuracy before and after signal denoising， the effectiveness of SVD?based denoising method is verified by accuracy improvement in the aspect of noise processing of self?mixing interference signal.

Keywords： optical feedback; self?mixing interference; singular value decomposition; denoising; OFSMI signal; fringe counting method

0 ?引 ?言

激光器輸出的光在傳播途中由于外部物體的阻擋，會(huì)出現(xiàn)反射或散射現(xiàn)象，導(dǎo)致一部分光再次折回到激光器的內(nèi)腔，這部分光與激光器腔內(nèi)的光相混合，影響激光器輸出功率、頻率，這種現(xiàn)象稱為光反饋?zhàn)曰旌细缮妫∣ptical Feedback Self?Mixing Interference，OFSMI），產(chǎn)生的信號(hào)稱為OFSMI信號(hào)。弱反饋機(jī)制下，OFSMI信號(hào)呈現(xiàn)類正弦波形狀;適度反饋機(jī)制下，OFSMI信號(hào)為類鋸齒波形狀，波形向哪個(gè)方向傾斜是由目標(biāo)物體向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)決定的;強(qiáng)反饋機(jī)制下，半導(dǎo)體激光器處在不穩(wěn)定的工作狀態(tài)，類鋸齒波出現(xiàn)變形，一些干涉條紋消失不見。

OFSMI信號(hào)帶有外部振動(dòng)物體以及激光器的信息，因而可以利用這種現(xiàn)象測(cè)量物體的振動(dòng)、位移[1]、距離[2]、速度[3]、加速度[4]以及激光器線寬展寬因數(shù)[5]。OFSMI實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、緊湊性強(qiáng)、準(zhǔn)直性高、而且成本很低，易于做成小型化產(chǎn)品，方便攜帶，所以在工業(yè)方面[6]的應(yīng)用越來(lái)越多。OFSMI信號(hào)受到外部環(huán)境干擾常帶有噪聲，本文采用奇異值分解的降噪方法對(duì)OFSMI信號(hào)進(jìn)行處理，經(jīng)過Matlab仿真分析驗(yàn)證奇異值分解降噪方法在OFSMI信號(hào)噪聲處理方面的有效性。

1 ?自混合干涉基本理論

OFSMI經(jīng)典測(cè)量模型[7]如下：

式（1）～式（3）中參數(shù)的定義如表1所示。其中，[C]是光反饋水平因子，是反映外部光反饋強(qiáng)弱程度的物理量[8]。根據(jù)[C]值大小，把OFSMI系統(tǒng)分成3類不同的反饋機(jī)制：當(dāng)[C<1]時(shí)，為弱反饋機(jī)制;當(dāng)1≤[C]<4.6 時(shí)，為適度反饋機(jī)制;當(dāng)4.6≤[C]<7.8 時(shí)，為強(qiáng)反饋機(jī)制。

表1 ?參數(shù)定義

有光反饋時(shí)激光器外腔的相位，[φF（n）=2πvFτ] [τ] [τ=2Lc]，[L]為激光外腔長(zhǎng)度，c為光速 [v0] 激光器無(wú)光反饋時(shí)的發(fā)射功率 [vF] 激光器有光反饋時(shí)的發(fā)射功率 [g（n）] 歸一化自混合干涉信號(hào) [P0] 無(wú)光反饋時(shí)激光器的輻射功率 [P（n）] 有光反饋時(shí)激光器的輻射功率 [m] 調(diào)制系數(shù)，通常取[m]=10-3 [C] 光反饋水平因子 [α] 激光器的線寬展寬因子 ]

依據(jù)理論模型，設(shè)[α]=5時(shí)，仿真出3種反饋機(jī)制下不同反饋因子[C]的自混合干涉信號(hào)的波形，如圖1所示。

圖1 ?不同反饋因子[C]下OFSMI信號(hào)

從圖1中可以觀察到，弱反饋機(jī)制下，自混合干涉信號(hào)呈現(xiàn)類正弦波形狀，這與傳統(tǒng)干涉信號(hào)相似，如圖1a）所示。適度反饋機(jī)制下，自混合干涉信號(hào)為類鋸齒波形狀，波形向哪個(gè)方向傾斜是由目標(biāo)物體向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)決定的，如圖1b）所示。強(qiáng)反饋機(jī)制下，半導(dǎo)體激光器處在不穩(wěn)定的工作狀態(tài)，類鋸齒波出現(xiàn)變形，一些干涉條紋消失不見，如圖1c）所示?？梢姡瑘D1給出的不同反饋機(jī)制下的光學(xué)輸出信號(hào)的模擬波形與以往的理論分析結(jié)果相吻合，表明仿真結(jié)果是正確的。

2 ?基于奇異值分解的自混合干涉信號(hào)降噪算法分析

2.1 ?奇異值分解的算法步驟

假設(shè)測(cè)量序列信號(hào)為[X={x1，x2，…，xN}]，可進(jìn)一步表示為[Xk=Sk+Wk]，[k=1，2，…，N，Sk]表示真實(shí)信號(hào)，[Wk]表示噪聲信號(hào)，[N]為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。

奇異值分解的降噪算法的詳細(xì)步驟如下：

1） 將上述測(cè)量數(shù)據(jù)構(gòu)造為[m×n]階Hankel矩陣的步驟為：

① 選定重構(gòu)矩陣的維數(shù)[n];

② 從原序列中抽取[x1，x2，…，xn]作為矩陣的首行;

③ 向后延遲一個(gè)采樣間隔，抽取[x2，x3，…，xn+1]作為矩陣的第二行;

④ 以此類推，直到第[m]行的最后一個(gè)元素是[xN]，即矩陣的最后一行。構(gòu)造的矩陣如下所示：

式中：[N=m+n-1];[S]是真實(shí)信號(hào)構(gòu)成的[m×n]維矩陣;[W]是噪聲信號(hào)構(gòu)成的[m×n]維矩陣。在確定矩陣行數(shù)和列數(shù)時(shí)，依據(jù)原則[9]為：若[N]為偶數(shù)，構(gòu)造的Hankel矩陣的行數(shù)取[m=N2+1]，列數(shù)取[m=N2];若[N]為奇數(shù)，構(gòu)造的Hankel矩陣的行列數(shù)均取[m=（N+1）2]。

下面分別選取偶數(shù)采樣點(diǎn)[N=]2 048和奇數(shù)采樣點(diǎn)[N=]2 049進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)仿真，對(duì)上面的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。如圖2，圖3所示，其中，[m]是行數(shù)，[n]是列數(shù)。對(duì)于偶數(shù)采樣點(diǎn)，當(dāng)矩陣行數(shù)取[m=N2+1]，列數(shù)取[m=N2]，如[N=]2 048時(shí)對(duì)應(yīng)行數(shù)1 025，列數(shù)1 024。從圖2仿真分析可以看出，在同一采樣點(diǎn)時(shí)，此時(shí)矩陣重構(gòu)信號(hào)比其他的光滑。

對(duì)于不同的奇數(shù)采樣點(diǎn)，當(dāng)矩陣行、列數(shù)取[m=（N+1）2]，如[N=]2 049時(shí)對(duì)應(yīng)行數(shù)1 025，列數(shù)1 025。從圖3仿真分析可以看出，在同一采樣點(diǎn)時(shí)，此時(shí)重構(gòu)信號(hào)比其他的光滑。

圖2 ?[N=]2 048不同矩陣行列重構(gòu)信號(hào)

圖3 ?[N=]2 049不同矩陣行列重構(gòu)信號(hào)

2） 對(duì)[B]進(jìn)行奇異值分解，則[B=UΣVH]。其中，[U]和[V]分別為[m×m]維和[n×n]維的酉陣，分別稱為[B]左奇異陣和右奇異陣;上標(biāo)[H]表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，[Σ]是一個(gè)[m×n]維對(duì)角陣，其主對(duì)角線上的元素[σi]稱為[B]的非零奇異值，且以非增順序排列，即[σ1]≥[σ2]≥…≥[σi]。

3） 確定奇異值對(duì)角陣[Σ]的有效秩，即前[p]個(gè)最大的奇異值，然后重構(gòu)[B]的逼近矩陣[Yp]，即不受噪聲干擾的信號(hào)分量組成的矩陣。

式中：[Up]是前[p]個(gè)較大奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量;[Vp]是前[p]個(gè)較大奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量;[Σp]為前[p]個(gè)較大奇異值對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣：

4） 將得到的矩陣[Yp]中不受噪聲干擾的信號(hào)分量按照Hankel矩陣的形式構(gòu)造矩陣：

即對(duì)矩陣[Yp]中反對(duì)角線上的元素求平均得到真實(shí)信號(hào)的一種估計(jì)，即降噪后的信號(hào)。

綜上所述，基于SVD的自混合干涉信號(hào)的降噪算法流程如圖4所示。

圖4 ?SVD的降噪算法流程圖

2.2 ?奇異值分解在OFSMI信號(hào)的仿真分析

假設(shè)外部物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為[x0（t）=am0+][am?sin（2πft）]，其中，[am0=30]，[am=19]，[f=ftfs]，[ft=195]，[fs=200 ?000]，[n=2 ?000]。

在適度反饋下，固定線寬展寬因子[α=5]，水平因子[C=2.8]，依據(jù)自混合干涉理論模型并對(duì)其加入高斯白噪聲，其信噪比為10 dB，對(duì)應(yīng)的時(shí)域頻域如圖5所示。

圖5 ?含噪信號(hào)時(shí)域頻域圖

從圖5中可以看到，原始信號(hào)的時(shí)域特征明顯，頻域非常干凈;含噪信號(hào)時(shí)域特征被噪聲淹沒，而頻域中信號(hào)比較集中，噪聲均勻地分布在頻域中。

經(jīng)過奇異值分解進(jìn)行降噪之后的信號(hào)波形時(shí)域頻域如圖6所示。將圖5～圖7進(jìn)行對(duì)比分析，從直觀圖中可以看出，降噪后時(shí)域信號(hào)的毛刺變少了，波形變得平滑，頻域圖中噪聲部分的含量減小了，表明起到了降噪的效果。

圖6 ?降噪后信號(hào)時(shí)域頻域圖

圖7 ?降噪前后誤差信號(hào)波形

取采樣點(diǎn)[n=]2 000，故重構(gòu)Hankel矩陣的行數(shù)[m]取1 001，列數(shù)[n]取1 000。對(duì)構(gòu)造的矩陣進(jìn)行奇異值分解得到以奇異值為對(duì)角線的對(duì)角陣，通過實(shí)驗(yàn)調(diào)試選取前若干個(gè)較大的奇異值構(gòu)造成Hankel矩陣，對(duì)反對(duì)角線上的元素求平均得到真實(shí)信號(hào)的估計(jì)。在適度反饋下，選取[α=4]，[C=1.5];[α=3.5]，[C=2.5]對(duì)含噪自混合干涉信號(hào)的降噪處理仿真如圖8，圖9所示。

從圖中可以看出：

1） 對(duì)適度反饋下的含噪OFSMI信號(hào)進(jìn)行奇異值分解降噪處理后得到的OFSMI信號(hào)的高頻部分有了較大改善，波形變得較為平滑，表明噪聲在信號(hào)中的含量有所減少，基于奇異值分解的降噪方法在含噪OFSMI信號(hào)的噪聲處理方面起到了一定的作用，對(duì)含噪OFSMI信號(hào)有一定的濾波效果。

圖8 ?[α]=4，[C=]1.5降噪前后信號(hào)波形圖

圖9 ?[α]=3.5， [C=]2.5降噪前后信號(hào)波形圖

2） 奇異值分解降噪處理后的信號(hào)與降噪前的信號(hào)波形形狀相吻合，保留了有用信號(hào)的特征，而且不存在偏移現(xiàn)象。

3 ?奇異值分解降噪方法在位移測(cè)量中的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證奇異值分解降噪方法在位移測(cè)量中的有效性，本文參照條紋計(jì)數(shù)法精確測(cè)量外腔振動(dòng)位移的方法，如表2所示。

表2 ?條紋計(jì)數(shù)法對(duì)奇異值分解降噪前后的位移測(cè)量結(jié)果

選取10組信號(hào)進(jìn)行仿真分析，用條紋計(jì)數(shù)法測(cè)出無(wú)降噪時(shí)各信號(hào)的相對(duì)位移，計(jì)算出相對(duì)誤差;再計(jì)算出利用奇異值分解降噪后信號(hào)的相對(duì)位移，得出相對(duì)誤差。假定[C=2.5]，[α=]3，疊加10 dB的噪聲，進(jìn)行位移測(cè)量，測(cè)量相對(duì)誤差平均為0.47%左右;在相同條件下，先利用奇異值分解的降噪方法對(duì)OFSMI信號(hào)進(jìn)行降噪處理，之后利用條紋計(jì)數(shù)法精確測(cè)量外腔振動(dòng)位移的方法進(jìn)行位移測(cè)量，測(cè)量相對(duì)誤差平均為0.22%左右。

從表2中可以看出，降噪后的相對(duì)誤差是0.22%左右，降噪前是0.47%左右，相對(duì)誤差有所減小，進(jìn)而達(dá)到了提高測(cè)量精度的目的。進(jìn)一步從側(cè)面說(shuō)明奇異值分解降噪的有效性。

4 ?結(jié) ?語(yǔ)

本文在自混合干涉的理論基礎(chǔ)上利用Matlab仿真出自混合干涉信號(hào)，并通過奇異值分解的降噪方法對(duì)含噪自混合干涉信號(hào)進(jìn)行降噪，經(jīng)過Matlab仿真分析可知，奇異值分解的降噪方法實(shí)現(xiàn)了含噪OFSMI信號(hào)的降噪，達(dá)到了抑制噪聲、重構(gòu)有用信號(hào)的目的。

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