趙文忠，康 健，梁 棟

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401； 2. 河北省高速公路曲港籌建處，河北 定州 073099)

0 引 言

索因其質(zhì)量輕、強度高、阻尼小的優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)，索梁組合體系作為斜拉橋的重要組成結(jié)構(gòu)，非線性問題較為突出。鑒于現(xiàn)代工程輕型預(yù)制化的發(fā)展方向，主梁會在車輛或風(fēng)雨等激勵下出現(xiàn)大幅振動的現(xiàn)象，大柔度的斜拉索受其影響，同樣發(fā)生劇烈振動，短時間使索間碰撞，部件連接失效，長時間引起拉索的保護(hù)層脫落或疲勞破壞，對斜拉橋整體安全與耐久性能十分不利。法國布魯東納大橋、加拿大安納西斯大橋、美國伯靈頓大橋與阿根廷瓜渚大橋等都曾觀測到外部激勵與參數(shù)激勵的現(xiàn)象[1]。

眾多學(xué)者對索梁間的非線性耦合振動相關(guān)問題進(jìn)行了不同程度探索。Y. FUJINO等[2]基于Gimsing觀察到斜拉橋整體模態(tài)與局部模態(tài)的研究成果提出了三自由度索梁組合結(jié)構(gòu)模型，同時進(jìn)行了索橫向振動頻率、梁橫向與豎向振動頻率滿足1∶1∶2的縮尺模型試驗，觀察到全局模態(tài)和局部模態(tài)線性耦合的模態(tài)失真現(xiàn)象；J. M. W. BROWNJOHN等[3]以全尺寸試驗和分析模型研究了曲線斜拉橋的動力特性，發(fā)現(xiàn)上部結(jié)構(gòu)的相互作用會使索產(chǎn)生不同的振動形式；汪至剛等[4]將索簡化為弦，同時考慮橋面質(zhì)量與剛度的作用，通過數(shù)值積分得到了斜拉索會與主梁在規(guī)定條件下發(fā)生參數(shù)共振的結(jié)論；在此基礎(chǔ)上，趙躍宇等[5]建立了與實際更相近的多自由度索-懸臂梁模型，利用連接與邊界條件得到索梁結(jié)構(gòu)的耦合運動方程與離散化動力學(xué)方程，使用攝動方法進(jìn)行非線性響應(yīng)分析與共振模式的數(shù)值模擬，分析各參數(shù)變化對耦合系統(tǒng)的影響，并以試驗的方式驗證；近年來，WEI Minghai等[6]探討了索梁耦合體系在參數(shù)激勵與外部激勵下的非線性響應(yīng)；馮維明等[7]研究了完全參數(shù)激勵下柔性拉索與彈性懸臂梁耦合結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)問題，得到離散的常微分方程，進(jìn)而探索阻尼參數(shù)對耦合系統(tǒng)的影響；吳慶雄等[8]進(jìn)行了單索-梁結(jié)構(gòu)和雙索-梁結(jié)構(gòu)模型振動試驗，采用斜拉橋整體動力分析有限元方法建立了索梁結(jié)構(gòu)有限元模型，并推導(dǎo)得到了多索-梁結(jié)構(gòu)固有振動的頻率方程和振型函數(shù)。

上述研究大多關(guān)注單根拉索或單自由度的基本模態(tài)與索梁共振特性研究，缺乏對多根拉索高階振動模態(tài)及其相互影響的綜合考量。因此，筆者將著重分析索-梁組合結(jié)構(gòu)的非線性耦合振動響應(yīng)，改進(jìn)索梁模型，進(jìn)而探究該組合結(jié)構(gòu)的耦合機理。

1 單梁多索結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析

建立如圖1所示索梁模型以模擬成橋，3根索的一端與主梁耦合，另一端與固定橋塔鉸接，梁的兩側(cè)鉸支。分析過程中的基本假定為[9]：索的變形關(guān)系服從胡克定律且各點受力均勻；認(rèn)為索的重力垂度曲線是拋物線；不計索的抗彎剛度、抗扭剛度及抗剪剛度；在弦向方向拉索只受沿索長均勻分布的自重荷載；不計橋塔振動影響。

圖1 斜拉橋單梁多索模型Fig. 1 Single beam multi-strip cable model of cable-stayed bridge

其中，斜拉索O1A1、O2A2與O3A3的面內(nèi)運動分別由坐標(biāo)系x1O1y1、x2O2y2、x3O3y3描述，主梁在豎直面內(nèi)的運動以坐標(biāo)系XOY描述。圖中L為主梁長度，l1、l2、l3分別為索O1A1、O2A2與O3A3弦長。假設(shè)各拉索具有相同的單位長度質(zhì)量m、彈性模量E、橫截面面積A與阻尼系數(shù)c，根據(jù)Hamilton原理分別建立它們的面內(nèi)徑向運動微分方程為(3根拉索方程相似，因此不再贅述)

(1)

式中：T1為斜拉索O1A1某一振動時刻的初始軸向張力；x1、y1分別為索O1A1在平面內(nèi)索弦向和徑向的振動方向；v1為索O1A1在坐標(biāo)系的平面內(nèi)y方向振動的動位移；s1為索O1A1長度；θ1為索O1A1弦向與水平方向的夾角(忽略振動時的角度變化)。

代入軸向與弦向張力關(guān)系、重力平衡關(guān)系可將式(1)表示為

(2)

式中：H11中的H為與軸向張力T對應(yīng)的弦向張力，第1個角標(biāo)1為索O1A1，第2個角標(biāo)1為構(gòu)成索軸向張力的靜張力， 2為構(gòu)成索軸向張力的由斜拉索振動引起的動拉力， 3為構(gòu)成索軸向張力的由主梁豎向位移引起的動拉力。

斜拉索拉力部分表示為

(3)

式中：f1為索O1A1的垂度；V1為索O1A1與主梁結(jié)合處梁的振動位移。

由于斜拉橋中索的質(zhì)量遠(yuǎn)小于主梁的質(zhì)量，為進(jìn)一步簡化，不考慮拉索振動對主梁振動的影響，把索對主梁的作用等效為施加于主梁上的彈性支撐和一個軸向壓力[10]。

圖2 彈性支撐簡支梁Fig. 2 Simply supported beam with elastic support

圖2中，K是索對梁作用的彈簧剛度，K1=EAsin2θ1/l1，K2=EAsin2θ2/l2，K3=EAsin2θ3/l3。

根據(jù)Hamilton原理，雙索梁模型中梁的運動微分方程為

(4)

式中：M為梁沿水平方向分布的每延米質(zhì)量；cb為梁的阻尼系數(shù)；EbIb為梁的抗彎剛度。

綜合式(2)～式(4)即為索梁耦合振動的運動微分方程。

索梁連接處的變形協(xié)調(diào)條件為

(5)

體系的邊界條件為

(6)

2 單梁多索結(jié)構(gòu)離散分析

為了簡化主梁與斜拉索的振型曲線，將主梁豎向、索徑向與面外的振動模態(tài)進(jìn)行變量分離。根據(jù)體系邊界條件假設(shè)主梁的振動模態(tài)為[11]

(7)

根據(jù)索梁連接處位移一致的原則，同時考慮二階模態(tài)對耦合振動的影響，索O1A1、O2A2與O3A3面內(nèi)徑向的振動模態(tài)可設(shè)為

(8)

(9)

(10)

忽略結(jié)構(gòu)阻尼，對體系進(jìn)行Galerkin離散分析，可以得到振動方程為

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

通過式(11)可以看出，在斜拉索與主梁振動方程中均包含有線性項、二次項與三次項，這表明結(jié)構(gòu)存在非線性振動。在忽略阻尼而考慮垂度的情況下，單根斜拉索的振動與其垂度、面內(nèi)振動、一二階模態(tài)、主梁振動等參數(shù)均有關(guān)，而多根斜拉索也經(jīng)由梁間接地聯(lián)系在一起。將通過合理控制工況條件進(jìn)行數(shù)值模擬，以探究該組合體系耦合振動過程中的索梁響應(yīng)與影響原理。

3 數(shù)值模擬

參考現(xiàn)行規(guī)范并結(jié)合實際工程，擬定斜拉索O1A1、O2A2與O3A3基本參數(shù)為：E=1.95×1011Pa，l1=260 m，l2=225 m，l3=200 m，A=0.001 2 m2，f1=1.2 m，f2=1.1 m，f3=1 m，θ1=28°，θ2=32°，θ3=35°，m=100.8 kg/m，T11=6.5×106N，T21=4.86×106N，T31=3.82×106N；主梁的基本參數(shù)為：Ib=8.5 m4，Eb=7.5×109Pa，M=1×105kg/m，L=300 m，L1=260 m，L2=217.12 m，L3=190.14 m。

既有研究表明[12]，當(dāng)主梁振動頻率與索面內(nèi)一階固有頻率相同時二者會諧波振動，由此確定文中頻率比：索O1A1面內(nèi)一階固有頻率ω1、索O2A2一階頻率ω3、索O3A3一階頻率ω5與主梁固有頻率ω7相等，索O1A1面內(nèi)二階頻率ω2、索O2A2二階頻率ω4與索O3A3二階頻率ω6均為其二倍。假設(shè)了5種初速度均為0而初始激勵不同的振動工況，如表1。

表1 索梁振動工況Table 1 Working condition of cable-beam vibration m

將以上參數(shù)代入離散后的振動方程，通過四階-五階Runge-Kutta法，得到不同工況下體系無阻尼振動時的時間位移曲線，結(jié)果如圖3～圖13。

圖3 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 3 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅰ)

圖4 索O1A1與梁結(jié)合處梁的時程曲線(Ⅰ)Fig. 4 Time-history curve of beam at the junction of cable O1A1and beam(Ⅰ)

圖5 索O1A1中點二階時程曲線(Ⅰ)Fig. 5 Second-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅰ)

圖6 索O2A2中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 6 First-order time-history curve at the midpoint of cableO2A2(Ⅰ)

圖7 索O3A3中點一階時程曲線(Ⅰ)Fig. 7 First-order time-history curve at the midpoint of cableO3A3(Ⅰ)

圖8 主梁不同初始擾動下索O1A1跨中一階模態(tài)最大振幅Fig. 8 First-order maximum amplitude at the midpoint of cableO1A1 with different initial disturbance of beam

圖3、圖6與圖7分別表示梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1、O2A2與O3A3中點一階振動模態(tài)時程曲線。圖4、圖5分別為同樣工況下對應(yīng)索梁結(jié)合處梁的時間位移曲線與索O1A1中點二階振動模態(tài)時程曲線(各索梁連接處梁的時程曲線、各索二階時程曲線均類似)。圖8為工況I條件下改變主梁初始位移，對應(yīng)索O1A1跨中一階模態(tài)振動最大振幅。在工況I的振動過程中，索的一階模態(tài)振動位移由初位移開始同步周期性地增大、減小，而索的二階位移和梁的位移也存在相似現(xiàn)象，由最初位移周期變化，且短時間內(nèi)最大振幅變化不明顯。不同的是，斜拉索一階模態(tài)與主梁振動均為同步增減，而相應(yīng)二階模態(tài)正負(fù)方向最大振幅交叉呈現(xiàn)。在頻率滿足條件的情況下，當(dāng)兩條索面內(nèi)一階模態(tài)位移減小時，對應(yīng)時刻梁的位移增大，振幅周期性地“互補”，表明梁與索一階模態(tài)存在能量交換，即為明顯耦合現(xiàn)象。索二階模態(tài)正方向的最大振幅對應(yīng)負(fù)方向的最小振幅，與索一階最大振幅、梁的最小振幅同時出現(xiàn)，且“拍”頻是它們的二倍，說明索二階模態(tài)與一階模態(tài)、主梁振動的耦合程度不高。由于結(jié)構(gòu)頻率比不同，索的一階模態(tài)振動與主梁發(fā)生諧波共振，二階模態(tài)與主梁發(fā)生超諧共振現(xiàn)象。因為索一階模態(tài)在主梁不同初始撓度下出現(xiàn)超過初位移100倍的大幅振動，在主梁位移為0.55 m附近還發(fā)生了“跳躍”現(xiàn)象，表現(xiàn)為不穩(wěn)定的非線性，而二階模態(tài)的最大振幅僅為初撓度的二倍左右，因此在小擾動與特定頻率條件下，索梁耦合振動中主要考慮一階模態(tài)是合理的。

圖9、圖10與圖11表示梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1、O2A2與O3A3分別單獨與主梁耦合情況下索中點一階振動模態(tài)的時程曲線。表2為前4種工況下拉索面內(nèi)一階模態(tài)的最大振幅。類似多索單梁的耦合關(guān)系，單索單梁的耦合振動也存在周期性地變化，但索的面內(nèi)一階模態(tài)振幅較三索耦合有明顯降低，降幅達(dá)97%，且“拍”頻加快，三者比較，振幅變化幅度愈顯著，變化速率愈緩慢，表示在多索結(jié)構(gòu)中，某根拉索的大幅振動可能是由附近或更遠(yuǎn)處的索導(dǎo)致的，同時，單根索的能量也會通過主梁傳遞給其他拉索，以振幅與頻率變化的形式表現(xiàn)出來。因此，大跨度斜拉橋的拉索間并不孤立，而是通過與主梁的耦合振動連接成一個整體。還應(yīng)該注意到的是，對于三索與梁耦合振動的情況，索O2A2面內(nèi)一階振幅最大，索O1A1振幅最小，這是由于索O1A1、O2A2與O3A3在與主梁結(jié)合處受到的激勵依次增大，而初始弦向張力依次減小。這也表明拉索振幅不一定與拉索長度成比例，處于梁段中部的索振幅有可能最大，對于實際斜拉橋還應(yīng)綜合考慮環(huán)境激勵等其他因素。

表2 不同工況下拉索一階模態(tài)最大振幅Table 2 First-order maximum amplitude of cable under differentworking conditions

圖9 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅱ)Fig. 9 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅱ)

圖10 索O2A2中點一階時程曲線(Ⅲ)Fig. 10 First-order time-history curve at the midpoint of cableO2A2(Ⅲ)

圖11 索O3A3中點一階時程曲線(Ⅳ)Fig. 11 First-order time-history curve at the midpoint of cableO3A3(Ⅳ)

圖12為不考慮拉索二階模態(tài)振動情況下，梁中點的初始位移為0.01 m、索面內(nèi)一階模態(tài)受到初始擾動為0.001 m且初始速度均為0時索O1A1中點面內(nèi)一階模態(tài)振動的時程曲線。圖13為類似工況下考慮拉索二階模態(tài)，但索O1A1二階模態(tài)初始位移為0.001 m，其余索二階模態(tài)沒有受到初始擾動時索O1A1中點一階模態(tài)的時程曲線。經(jīng)對比可以看出，在相同的時間內(nèi)，考慮二階振動模態(tài)的拉索周期性的最大振幅無明顯變化，2 000 s左右的最大振幅為0.816 3 m，而沒有考慮二階模態(tài)的拉索一階模態(tài)振幅卻出現(xiàn)減小趨勢，同一時刻的最大振幅為0.700 9 m。由此可見，二階模態(tài)振動對持續(xù)性的索梁耦合振動有顯著影響，拉索長時間的大幅振動有可能造成其疲勞破壞，因此，在進(jìn)行拉索疲勞性破壞研究時應(yīng)將二階模態(tài)納入考量。

圖12 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅴ)Fig. 12 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅴ)

圖13 索O1A1中點一階時程曲線(Ⅵ)Fig. 13 First-order time-history curve at the midpoint of cableO1A1(Ⅵ)

4 結(jié) 論

在忽略系統(tǒng)阻尼而考慮垂度的條件下建立了單梁多索結(jié)構(gòu)面內(nèi)運動微分方程與非線性離散方程，重點探討了在特定頻率條件下主梁和3根斜拉索以及索面內(nèi)一、二階模態(tài)間的耦合振動關(guān)系，得到以下結(jié)論：

1)在單梁多索組合體系中，索與梁、索面內(nèi)一階與二階模態(tài)振動互相影響，當(dāng)索面內(nèi)一階模態(tài)固有振動頻率與主梁相同，二階模態(tài)頻率為其二倍時，受擾動均會發(fā)生不同程度耦合振動現(xiàn)象。與單梁單索結(jié)構(gòu)相比，三索耦合時的振幅與拍頻明顯不同，表示索與索之間存在能量傳遞，這種耦合作用將多根索通過主梁間接聯(lián)系在一起。對類似多索結(jié)構(gòu)而言，索間作用不可忽視。

2)索梁耦合振動過程中，拉索一階模態(tài)出現(xiàn)遠(yuǎn)超初始擾動100倍以上的大幅振動，同時表現(xiàn)出不穩(wěn)定的非線性特征，對結(jié)構(gòu)安全造成威脅。

3)索二階模態(tài)耦合振動的最大振幅僅為初始擾動的二倍，在小擾動條件下可以忽略其短時影響。但由于二階模態(tài)振動會造成耦合中的索持續(xù)大幅振動，因此研究拉索疲勞問題時應(yīng)考慮其作用。