邵毅明，陳亞偉，束海波

(1. 重慶交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，重慶 400074； 2. 重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車(chē)輛工程學(xué)院，重慶 400074)

軌跡跟蹤控制是實(shí)現(xiàn)車(chē)輛自動(dòng)駕駛的基礎(chǔ)。目前大多數(shù)自動(dòng)駕駛汽車(chē)的軌跡跟蹤控制算法都是基于假設(shè)車(chē)輛在低速穩(wěn)定工況下行駛的情況，沒(méi)有考慮到高速行駛及地面附著力不足等狀況[1-4]。當(dāng)高速行駛的車(chē)輛在緊急轉(zhuǎn)向或低附著路面急速轉(zhuǎn)彎時(shí)，輪胎附著力往往達(dá)到飽和，側(cè)偏力接近附著極限，容易出現(xiàn)前軸側(cè)滑失去轉(zhuǎn)向能力或者后軸側(cè)滑而甩尾的險(xiǎn)情。如果車(chē)輛在滿足側(cè)偏、滑移等動(dòng)力學(xué)約束情況下，快速準(zhǔn)確的沿期望軌跡行駛，則能避免此類(lèi)險(xiǎn)情的發(fā)生。

筆者針對(duì)現(xiàn)有軌跡跟蹤控制器在車(chē)速較高時(shí)跟蹤效果不理想這一問(wèn)題，以車(chē)輛四自由度車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，結(jié)合輪胎魔術(shù)公式和模型預(yù)測(cè)理論，考慮輪胎側(cè)偏角對(duì)車(chē)輛穩(wěn)定性的影響，設(shè)計(jì)了線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制器，并基于該控制器進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明：該控制器在車(chē)速較高時(shí)仍能平穩(wěn)準(zhǔn)確地跟蹤參考軌跡，具備一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)及輪胎模型

1.1 車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

在進(jìn)行軌跡跟蹤控制之前，首先要建立車(chē)輛的動(dòng)力學(xué)模型。車(chē)輛是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，在保證模型盡可能準(zhǔn)確的同時(shí)，要對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，故在建立模型之前做如下假設(shè)[5-8]：

1)假設(shè)車(chē)輛沒(méi)有俯仰和側(cè)傾運(yùn)動(dòng)；

2)不考慮懸架垂直運(yùn)動(dòng)；

3)忽略空氣動(dòng)力學(xué)影響；

4)認(rèn)為汽車(chē)行駛過(guò)程中輪胎特性及回正力矩不變。

根據(jù)以上假設(shè)，筆者將非線性的車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化為能反映縱向速度、橫向速度、橫擺角速度及前輪轉(zhuǎn)角的四自由度車(chē)輛模型，如圖1。

圖1 車(chē)輛四自由度模型Fig. 1 Vehicle four-degree-of-freedom model

根據(jù)牛頓第二定律和力矩平衡公式，可得如下方程：

(1)

(2)

F′x2-Fx3+Fx4)

(3)

慣性坐標(biāo)系OXYZ中質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)方程為：

(4)

(5)

在車(chē)輛坐標(biāo)系中沿x軸和y軸輪胎受到的縱向力Fxi和橫向力Fyi，它們與輪胎側(cè)偏力Fci及輪胎縱向力Fli之間存在一定關(guān)系，其關(guān)系式為

Fxi=Flicosδ-Fcisinδ

(6)

Fyi=Flisinδ+Fcicosδ

(6)

由于輪胎側(cè)偏力Fci和輪胎縱向力Fli與輪胎側(cè)偏角αi、垂直載荷Fzi、路面摩擦系數(shù)ui、滑移率κi有關(guān)，可由多參數(shù)的函數(shù)表示：

Fli=fl(αi,κi,ui,Fzi)

(8)

Fci=fc(αi,κi,ui,Fzi)

(9)

結(jié)合式(1)～(9)，即可得車(chē)輛非線性動(dòng)力學(xué)模型，其模型由如下微分方程表示為：

(10)

1.2 輪胎模型

地面產(chǎn)生的作用力通過(guò)輪胎施加到車(chē)輛上，輪胎的力學(xué)特性與車(chē)輛的操縱穩(wěn)定性有密切聯(lián)系，因此建立一個(gè)精準(zhǔn)的輪胎模型對(duì)研究車(chē)輛動(dòng)力學(xué)特性十分必要[9]。

輪胎的側(cè)偏特性對(duì)車(chē)輛操縱穩(wěn)定性及轉(zhuǎn)向有相當(dāng)大的影響。在某些極限工況下，如車(chē)輛進(jìn)行高速轉(zhuǎn)彎或行駛在低附著系數(shù)路面時(shí)，由于地面無(wú)法提供輪胎所需的附著力，車(chē)輛操作穩(wěn)定性會(huì)變差甚至出現(xiàn)危險(xiǎn)工況，為了保證車(chē)輛的穩(wěn)定性，必須研究輪胎力學(xué)模型。

輪胎結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜且具有非線性特征，故筆者引入魔術(shù)公式輪胎模型。該模型通過(guò)組合三角函數(shù)公式對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，只用一套公式就能反映輪胎的橫向力、縱向力、滑移特性和側(cè)偏特性[10-13]，如式(11)。

Y=Dsin{Carctan[Bx-E(Bx-arctanBx)]}+Sv

(11)

式中：Y為輪胎側(cè)偏力或者縱向力；B為剛度因子；C是曲線形狀因子；Sv為曲線垂直方向漂移；D為峰值因子；x=(κ+Sh)或x=(α+Sh)，Sh為曲線水平方向上的漂移。

因?yàn)镃arsim也是采用魔術(shù)公式構(gòu)建輪胎模型，由其中的輪胎力數(shù)據(jù)可得輪胎側(cè)偏特性，如圖2。

圖2 輪胎的側(cè)偏特性Fig. 2 Lateral deviation of the tire

由圖2可見(jiàn)：隨著側(cè)偏角不斷變大，側(cè)偏力也逐漸增大，最后達(dá)到極限值，此后側(cè)偏角繼續(xù)增大時(shí)，側(cè)偏力不會(huì)增加，而是有所減小。為確保車(chē)輛的穩(wěn)定性，應(yīng)使側(cè)偏角在線性區(qū)內(nèi)，防止車(chē)輛側(cè)滑。

2 線性時(shí)變MPC控制器設(shè)計(jì)

2.1 建立預(yù)測(cè)模型

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)具有滾動(dòng)的優(yōu)化策略，因而對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制有著良好效果。同時(shí)，MPC可對(duì)輸出量進(jìn)行反饋校正，減小輸出誤差，提高系統(tǒng)控制魯棒性[14]。

模型預(yù)測(cè)控制(MPC)一般分為3個(gè)步驟：首先根據(jù)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)車(chē)輛狀態(tài)；然后根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)及預(yù)測(cè)模型在采樣周期內(nèi)按照控制時(shí)域的跟蹤目標(biāo)，在輸入允許范圍內(nèi)計(jì)算預(yù)測(cè)輸入，并優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；最后，將優(yōu)化問(wèn)題的第一個(gè)元素作用于系統(tǒng)上[15-17]。

車(chē)輛的非線性動(dòng)力學(xué)模型微分方程如式(12):

(12)

t時(shí)刻將式(12)在點(diǎn)[ξ(t),μ(t-1)]處線性化，可得如下線性時(shí)變系統(tǒng)如式(13)：

(13)

將式(12)進(jìn)行離散化處理，得到離散線性時(shí)變系統(tǒng)為：

ξk+1=Ak,tξk,t+Bk,tμk,t+dk,t

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

At,t=I+TAt,Bt,t=TBt

(19)

根據(jù)以上線性化過(guò)程，式(12)所描述的車(chē)輛非線性模型可化為如下離散模型：

ξ(k+1)=f[ξ(k),μ(k)]

(20)

u(k)=μ(k-1)+Δμ(k)

(21)

2.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件設(shè)計(jì)

設(shè)置目標(biāo)函數(shù)為：

(22)

2.3 求解目標(biāo)函數(shù)

在t時(shí)刻，車(chē)輛當(dāng)前狀態(tài)量為ξ(t)和μ(t-1)，求解下列優(yōu)化問(wèn)題：

(23)

為便于計(jì)算機(jī)編程求解，可將其轉(zhuǎn)化為如下的標(biāo)準(zhǔn)二次型形式：

(24)

s.t.

(25)

式中：ΔUmin和ΔUmax分別為控制增量的最小值和最大值。

在控制周期內(nèi)對(duì)上述優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，得到最優(yōu)解序列：

(26)

將最優(yōu)控制增量序列的第一個(gè)控制增量作用于系統(tǒng)，即：

(27)

在每個(gè)周期內(nèi)反復(fù)循環(huán)該過(guò)程，即可實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制。

3 仿真分析

為驗(yàn)證控制器的效果，筆者在20 m/s的速度下分別使用最優(yōu)預(yù)瞄控制和MPC控制器對(duì)雙移線工況進(jìn)行仿真。通過(guò)對(duì)比車(chē)輛在行駛過(guò)程中的某些參數(shù)，可知道兩種控制器的軌跡跟蹤性能的優(yōu)劣。

3.1 最優(yōu)預(yù)瞄跟蹤控制仿真

圖3為實(shí)際位置與參考路徑對(duì)比結(jié)果。由圖3可知：在車(chē)速為20 m/s時(shí)，最優(yōu)預(yù)瞄控制跟蹤雙移線路徑在79 m以后出現(xiàn)了嚴(yán)重的偏移，說(shuō)明在此車(chē)速下軌跡跟蹤控制不理想。

圖3 實(shí)際位置與參考路徑對(duì)比Fig. 3 Comparison of actual position and reference trajectory

圖4為前輪轉(zhuǎn)角δ隨時(shí)間變化趨勢(shì)。由圖4可知：5 s以后前輪轉(zhuǎn)角急速變化，僅僅靠前輪轉(zhuǎn)動(dòng)已經(jīng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制。

圖4 前輪轉(zhuǎn)角δ隨時(shí)間變化Fig. 4 Variation of front wheel angle changing with time

圖5 車(chē)輛橫擺角速度變化Fig. 5 Variation of vehicle yaw angular velocity

圖6為輪胎側(cè)偏角α隨時(shí)間變化的情況。由圖6可知：輪胎側(cè)偏角變化范圍超過(guò)10 deg。表1為最優(yōu)預(yù)瞄跟蹤器的輸出值跟蹤誤差。由表1可知：軌跡跟蹤誤差數(shù)值較大。

參 數(shù)數(shù) 值參 數(shù)數(shù) 值x·/(m·s-1)20ΔYmax/m5.16ΔYrms/m2.26Δψmax/deg26.01Δψrms/deg9.52Δψmax/( deg·s-1)28.32Δψrms/( deg·s-1)10.13

綜上所述，在車(chē)速為20 m/s時(shí)，最優(yōu)預(yù)瞄跟蹤控制跟蹤雙移線工況，軌跡跟蹤能力較差，不能很好地沿著期望路徑行駛。

3.2 線性時(shí)變MPC控制器仿真

圖7為實(shí)際位置與參考軌跡的比較情況。由圖7可知：由于車(chē)速的增加使得車(chē)輛實(shí)際位置與參考軌跡之間出現(xiàn)了一定偏差，但與預(yù)瞄跟蹤控制器相比(圖3)，線性時(shí)變MPC控制器沒(méi)有出現(xiàn)嚴(yán)重偏移，仍能較好地完成軌跡跟蹤控制任務(wù)。

圖7 實(shí)際位置與參考軌跡對(duì)比Fig. 7 Comparison of actual position and reference trajectory

圖8為輪胎側(cè)偏角隨時(shí)間的變化情況。由圖8可知：輪胎側(cè)偏角的變化較小，最大輪胎側(cè)偏角的數(shù)值不超過(guò)3 deg，表明線性時(shí)變MPC控制器對(duì)輪胎側(cè)偏角進(jìn)行了限制，使其在一個(gè)小范圍內(nèi)波動(dòng)。

圖8 前輪轉(zhuǎn)角δ隨時(shí)間變化Fig. 8 Variation of front wheel angle changing with time

圖9為車(chē)輛橫擺角速度的變化。由圖9可知：雖然實(shí)際橫擺角速度與參考值有一定偏差，但與最優(yōu)預(yù)瞄控制相比，線性時(shí)變MPC控制器跟蹤雙移線工況時(shí)，誤差相對(duì)較小，整體上的控制效果較好。

圖9 車(chē)輛橫擺角速度變化Fig. 9 Variation of vehicle yaw angular velocity

圖10為輪胎側(cè)偏角隨時(shí)間的變化情況。由圖10可知：在側(cè)偏角軟約束限制下，輪胎側(cè)偏角保持在±3 deg內(nèi)，使得輪胎側(cè)偏角一直處于線性區(qū)內(nèi)，保證了車(chē)輛的穩(wěn)定性。

圖10 輪胎側(cè)偏角α隨時(shí)間變化Fig. 10 Variation of tire sideslip angle changing with time

表2為MPC控制器的輸出量跟蹤誤差。

表2 MPC控制器的輸出量跟蹤誤差Table 2 Output value tracking error of MPC controller

綜上所述，與最優(yōu)預(yù)瞄控制方法相比，帶有側(cè)偏角軟約束的線性時(shí)變MPC控制器在跟蹤參考軌跡方面有更好的表現(xiàn)，而且對(duì)車(chē)速變化、路面附著條件和參考軌跡具有良好的適應(yīng)性。

4 結(jié) 語(yǔ)

筆者建立了車(chē)輛四自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型，然后基于該模型設(shè)計(jì)了線性時(shí)變MPC軌跡跟蹤控制器，最后在搭建的Simulink/Carsim平臺(tái)上對(duì)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明：筆者設(shè)計(jì)的帶有側(cè)偏角軟約束的線性時(shí)變MPC控制器能保證輪胎側(cè)偏角處于線性區(qū)，從而防止車(chē)輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)因前軸側(cè)滑而失去軌跡跟蹤能力或者因后軸側(cè)滑而出現(xiàn)甩尾等危險(xiǎn)工況。對(duì)比兩種控制器的跟蹤能力，線性時(shí)變MPC控制器的控制能力明顯優(yōu)于最優(yōu)預(yù)瞄控制器，而且對(duì)車(chē)速變化具有良好的適應(yīng)性，能在保證車(chē)輛穩(wěn)定性的前提下實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤。