【摘要】線性規(guī)劃（LP）是運籌學中較早發(fā)展起來并已經(jīng)廣泛地應用于各個領域的一個重要數(shù)學理論和方法。在高中數(shù)學教學中，線性規(guī)劃問題最優(yōu)解是很重要的一部分，本文研究和討論了線性規(guī)劃最優(yōu)解的幾種情形及其判定，彌補和優(yōu)化了教材和專著在這方面的不足，為用線性規(guī)劃解決實際問題提供了理論依據(jù)。同時，對高中學生在學習數(shù)學時如何靈活的運用課本素材，以及學生創(chuàng)新思維的形成及培養(yǎng)方面起到了很好的示范作用。

【關鍵詞】高中數(shù)學 線性規(guī)劃 最優(yōu)解

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）33-0134-02

一、可行域中最優(yōu)解的確定問題

先來看一道例題：

例1 已知變量x，y滿足下列條件

X≥0，Y≥0，X+3Y≤15，X+Y≤6， 3X+Y≤15

求目標函數(shù)Z=3X+2Y的最優(yōu)解。

解：滿足這個不等式組的（X，Y）所存在的范圍即可行域如下圖所示

∵目標函數(shù)為Z=3X+2Y

∴作直線L：3X+2Y=t（t∈R），則是直線在X軸上的截距。

∴L向右平移？圳則變大？圳t變大，但這里的問題是將直線3X+2Y=t向右平移時，它究竟是在經(jīng)過M點，還是經(jīng)過N點時，t取得最大值呢？這就需要比較目標函數(shù)所表示直線的斜率和相關直線的斜率的大小。

∵目標函數(shù)z=3x+2y的斜率是-，而相關直線3x+y=15的斜率是-3.

x+3y=15的斜率是-. x+y=6的斜率是-1.

又∵-3<-<-1<-.

最優(yōu)點在斜率為-3和斜率為-1的直線的交點M處，聯(lián)立對應的方程得方程組

3x+y=15x+y=6 解得M（）.

Zmax=3×+2×=16.5 ， 顯然Zmax=3×0+2×0

解題反思：目標函數(shù)在可行域中最優(yōu)解的位置與目標函數(shù)所表示的直線的斜率及其相關直線的斜率有關，當最優(yōu)解的位置不能從圖形中明顯看出來時，可在局部范圍比較它們斜率的大?。ó斝甭什淮嬖跁r可比較其傾斜角的大小）。

二、初始等值線的選擇問題

例2 設z=2y-2x+4 ，式中x，y滿足條件 0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1， 求z的最大值和最小值。

解：作出滿足不等式組0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，的可行域如下圖陰影所示。

再作出一組z=2y-2x+4的平行直線系，即等值線2y-2x=t，我們選t=2，就是說讓初始等值線過M點，即x=1，y=2時得t=2，作出2y-2x=2，這就是這里所選的初始等值線，有了這條初始等值線作參照，可明顯看出，平行直線過點A（0，2）時，t取得最大值，過點B（1，1）時，t有最小值，相應地Zmin=2×1-2×1+4=4，Zmax=2×2-2×0+4=8。

解題反思：按慣例，作目標函數(shù)等值線時，一般先作Ax+By=0 再作它的平行直線系找出最優(yōu)解，但在實際問題中，究竟哪一點是我們所尋找的最優(yōu)解的位置呢？事實上，最優(yōu)解的確定與目標函數(shù)對應直線的斜率，以及相關直線的斜率有關，這在前面已經(jīng)說到。這里所說的是初始等值線的選擇問題，根據(jù)本例可得出結論：在作目標函數(shù)初始等值線時，可靈活選擇其為Ax+By=Z′，而對Z′的選擇，原則是Z′與系數(shù)A，B有關，且在數(shù)形結合時，可明顯比較出相關直線斜率或傾斜角的大小，進而直觀的在可行域確定最優(yōu)解的位置，如上例所選Z′=2就是很好的例證。

三、 關于整數(shù)點的最優(yōu)解

求目標函數(shù)整數(shù)最優(yōu)解，可利用可行域中整數(shù)網(wǎng)格的交點，但是利用此法對作圖要求較高，所以，有時也利用其它方法調(diào)整最優(yōu)解，如通過限制一個變量的范圍，找到橫坐標（或縱坐標）中的整數(shù)，再加以比較、驗證而得到。

例3 X，Y滿足不等式組x+y≥122x+y≥15x+3y≥27x≥0，y≥0 （x，y∈Z）

求目標函數(shù)z=x+2y的最小值。

解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如右圖所示。

比較目標函數(shù)與相關直線的斜率得：

∵ -2<-1<-<， ∴ 由方程組x+y=12x+3y=27得A點坐標為（），但x，y∈z，∴A點不是整數(shù)最優(yōu)解，需要調(diào)整。可令x=5，此時結合圖形，y的約束條件是x+3y≥27，∴y≥∵y∈z，∴y=8 得一整數(shù)點（5，8），再令y=8，此時，約束條件為2x≥15x+y≥12？圯 x≥4x≥.∴x=4.又得一整點（4，8），比較（4，8）與（5，8），顯然，可行域中使目標函數(shù)取得最小值的整數(shù)解是（4，8），即Zmin=4+2×8=20.

作者簡介：

牛郁宇（1971.5-），女，漢族，甘肅省蘭州市人，本科，中教一級，研究方向：中學數(shù)學教育。