康傳利,陳 洋,顧峻峰,周 呂,徐駿平

(1.桂林理工大學(xué) a.測繪地理信息學(xué)院; b.廣西空間信息與測繪重點實驗室, 廣西 桂林 541006;2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院, 武漢 430079; 3.東華理工大學(xué) 江西省數(shù)字國土重點實驗室, 南昌 330013; 4.湖北天尚土地勘測規(guī)劃設(shè)計有限公司,武漢 430071)

提高預(yù)測精度需要對誤差的來源進行分類并加以改正。在數(shù)據(jù)處理方面,灰色Verhulst模型未知參數(shù)的求解常在最小二乘(least squers,LS)條件下進行。事實上,當(dāng)觀測值包含誤差時,由觀測值累加而形成的白化微分方程系數(shù)矩陣同樣包含誤差,此時,灰色Verhulst模型的最小二乘解是有偏的[1]。路基沉降前期,沉降速率大,前期數(shù)據(jù)預(yù)測擬合精度對最終沉降預(yù)測值影響巨大。鑒于此,本文提出了一種基于灰色Verhulst模型總體最小二乘(total least squares,TLS)計算新方法。該方法顧及系數(shù)矩陣誤差及特殊結(jié)構(gòu), 減少了未知參數(shù)個數(shù), 并對初始預(yù)測值進行了最優(yōu)求解。 以貴廣高鐵路基沉降預(yù)測為例, 對路基沉降常用預(yù)測模型進行預(yù)測精度對比分析, 驗證了本文新方法預(yù)測精度高, 可以廣泛用于路基沉降預(yù)測。

1 估計方法

1.1 灰色Verhulst-LS估計

灰色Verhulst模型常用于具有飽和狀態(tài)過程的實際問題,其一階白化非線性微分方程為[2]

dX(1)/dt=-aX(1)+b·(X(1))2。

(1)

(2)

式中：A為系數(shù)矩陣；L為觀測向量。若觀測值的協(xié)因數(shù)陣為Q, 在最小二乘條件下可求出未知參數(shù)a、b的最優(yōu)解：

C=(ATQ-1A)-1ATQ-1Y。

(3)

1.2 灰色Verhulst-TLS估計

受外界環(huán)境、 儀器因素、 人為條件的影響,觀測數(shù)據(jù)X(0)(k)不可避免的會包含誤差[3-4]，則由X(0)(k)經(jīng)過一次累加并取平均值形成的系數(shù)矩陣A中同樣包含誤差。 TLS估計兼顧系數(shù)矩陣和觀測向量誤差[5], 因此常用于系數(shù)矩陣和觀測向量同時包含誤差的方程求解。 根據(jù)式(1)的灰色Verhulst的變量誤差模型(errors-in-variables,EIV)為[6]

L+VL=(A+EA)C,

(4)

式中:EA表示系數(shù)矩陣的改正數(shù);VL表示觀測向量改正數(shù),其隨機模型為

(5)

其中， vec(·)表示拉直運算。 需要注意: 一般情況下, 常未考慮系數(shù)誤差矩陣EA中各誤差分量之間的相互關(guān)系,EA中未知參數(shù)的個數(shù)為2(n-1)。

總體最小二乘算法的平差準(zhǔn)則為

vec(EA)T·vec(EA)+VLTVL=min。

(6)

1.3 顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS估計

(7)

根據(jù)系數(shù)矩陣誤差特點,可令

VA=DVa,

(8)

(9)

(10)

其中: vec-1(·)表示vec(·)的逆運算。可寫成間接平差形式

(11)

式中: ?為矩陣的克羅內(nèi)克積。進一步可以表示為

V′=B′X′-L′。

(12)

根據(jù)最小二乘平差原理。未知參數(shù)的解為

X′=(B′TB′)-1B′TL′。

(13)

1.3.2 初始值優(yōu)化 顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS估計可以計算出灰色Verhulst模型白化方程未知參數(shù)最佳估值a、b。 在工程上,常直接令白化方程解的初值為x(0)(1)。 事實上, 最優(yōu)預(yù)測曲線不一定經(jīng)過x(0)(1)點,并且第1期路基沉降預(yù)測值對最終路基沉降預(yù)測值影響巨大。為提高模型的預(yù)測精度,需要對初值進行優(yōu)化。根據(jù)灰色Verhulst模型求解原理,設(shè)灰色Verhulst模型白化方程的解為[10]

(14)

(15)

根據(jù)極限定理,令dQ/ds=0,即可得唯一駐點:

(16)

(17)

其中，k=1,2,…,n-1。

2 工程實例比較分析

貴廣高速鐵路是 “十一五”規(guī)劃的重點項目,高速鐵路建設(shè)需嚴(yán)格控制工后沉降,路基沉降觀測是確保高速鐵路正常運營的重要部分。路基評估要求在路基填筑完成或堆載預(yù)壓后不少于3個月的實際觀測,并根據(jù)觀測數(shù)據(jù)作多種回歸曲線,當(dāng)曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不低于0.92時,預(yù)測方程方可用于沉降預(yù)測[2]。因此,如何提高預(yù)測精度是沉降數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容。鋪軌前6個月對路基進行路基沉降觀測,沉降數(shù)據(jù)取至路基沉降中后期,每7天為1個周期。采用TrimbleDi Ni03 電子水準(zhǔn)儀按國家二等水準(zhǔn)要求對沉降板進行沉降觀測,監(jiān)測點位于路基中央。由于本段路基沉降觀測數(shù)據(jù)沉降變化基本相同,選具有代表性的監(jiān)測點A進行沉降預(yù)測分析。沉降點A監(jiān)測期為1年,共獲得了52期觀測數(shù)據(jù),其沉降觀測值和總沉降量見圖1。

圖1 沉降點A本期沉降觀測值和總沉降量變化Fig.1 Sedimentation observations and total settlement changes in settlement Point A

沉降點A開始監(jiān)測時下沉速率較快, 后期趨于穩(wěn)定, 具有飽和發(fā)展過程。 受測量儀器、 環(huán)境和人為影響, 觀測數(shù)據(jù)中不可避免會存在誤差[7], 因此, 在路基沉降觀測后期, 觀測值仍在不斷波動。 觀測數(shù)據(jù)存在誤差, 則由觀測數(shù)據(jù)一次累加而形成的白化非線性微分方程系數(shù)矩陣同樣存在誤差, 此時最小二乘解是有偏的, 因此, 如何建立一個更符合客觀實際的數(shù)學(xué)模型來求解路基下沉真實沉降曲線就顯得十分重要。 為綜合比較本文新算法的有效性和可靠性, 本文選用灰色Verhulst模型的LS估計, TLS估計和顧及系數(shù)矩陣TLS估計對A點前12期數(shù)據(jù)進行建模, 預(yù)測后40期數(shù)據(jù),并綜合比較各模型的擬合精度和預(yù)測精度。

2.1 灰色verhulst模型不同估計方法比較

使用前12期數(shù)據(jù)進行建模時, 若使用LS估計, 式(1)中有2個未知數(shù)a、b; 當(dāng)使用TLS估計方法, 式(4)中共有26個未知數(shù); 若使用顧及系數(shù)矩陣的TLS估計, 式(10)共有14個未知參數(shù)。 因此, 總體最小二乘估計會成倍增加未知參數(shù)個數(shù), 若使用顧及系數(shù)矩陣的TLS估計, 將會減少未知方程個數(shù)。 上述3種不同估計的擬合精度見表1。

表1 不同估計方法擬合數(shù)據(jù)精度

Table 1 Accuracy of model fitting data mm

在灰色Verhulst模型建模中常令預(yù)測初始值為觀測數(shù)據(jù)的第1個值, 在本文中LS估計、 TLS估計未對初值進行改正。 而顧及系數(shù)矩陣TLS估計初值是在殘差平方和最小的條件下求出, 可知,對初值進行最優(yōu)求解有利于提高整體的擬合精度。 LS估計、 TLS估計和顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)TLS估計殘差平方和分別為18.819 1、 16.938 0、 1.130 1,殘差變化見圖2, 顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)TLS估計預(yù)測殘差圍繞零點上下波動, 殘差較小。 綜合比較上述3種估計方法的預(yù)測殘差可知: 在灰色Verhulst模型的不同估計方法中, 顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)TLS估計擬合精度高于LS、 TLS估計。 TLS估計擬合精度高于LS估計, 說明灰色Verhulst模型系數(shù)矩陣中包含誤差, 對系數(shù)矩陣進行誤差改正有利于提高擬合精度。但TLS估計和LS估計擬合預(yù)測值基本相同,表明觀測值中所含噪聲較少,系數(shù)矩陣改正量少。而顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)TLS估計擬合精度高于TLS估計,說明在觀測方程數(shù)和顧及誤差來源不變的情況下,減少未知參數(shù)個數(shù)、進行初值優(yōu)化有利于提高擬合預(yù)測精度。

圖2 灰色Verhulst模型不同估計方法殘差變化Fig.2 Residual changes in different estimation methods in Gray Verhulst model

圖3為3種不同估計方法預(yù)測值變化?？芍?，灰色Verhulst模型的LS估計、 TLS估計和顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的TLS估計預(yù)測值在15期后預(yù)測下沉量基本趨于零,且預(yù)測精度都靠近真實數(shù)據(jù)。 試驗表明, LS估計、 TLS和顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的TLS估計都不會改變灰色Verhulst模型的含有飽和狀態(tài)的性質(zhì), 預(yù)測穩(wěn)定、精度高。 LS估計、 TLS估計和顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的TLS估計預(yù)測的最終沉降量分別為20.935、 20.913、 21.136 mm。 顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的TLS估計預(yù)測值最接近最終路基沉降量, 表明兼顧系數(shù)矩陣和觀測向量誤差、減少未知參數(shù)個數(shù)、進行初值優(yōu)化有利于提高預(yù)測精度。

圖3 灰色Verhulst模型不同估計方法擬合數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)變化Fig.3 Gray Verhulst model predict data graphs change in different estimation methods

2.2 不同曲線擬合方法比較

為比較顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS估計和常用預(yù)測模型GM(1,1)、 雙曲線模型[11]在高鐵路基沉降中的預(yù)測精度, 本次試驗仍選用沉降監(jiān)測A點的前12期數(shù)據(jù)建立模型, 然后預(yù)測后40期, 預(yù)測值見圖4。雙曲線模型擬合精度和預(yù)測精度最差, 在預(yù)測后期仍以較大的增長速率增長, 明顯不符合路基沉降規(guī)律, 說明雙曲線法的線性變化受擬合數(shù)值的影響較大。GM(1, 1)預(yù)測值雖然在擬合期具有較高的擬合精度, 但在預(yù)測后期仍以一定速率增長, 預(yù)測精度低。因此, GM(1,1)可以用于短期路基沉降預(yù)測, 但長期預(yù)測不可靠。GM(1,1)和雙曲線模型都沒有將路基沉降具有飽和發(fā)展過程納入模型予以考慮, 預(yù)測精度低。顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS估計具有灰色Verhulst模型包含飽和發(fā)展過程的特性, 并且在數(shù)據(jù)處理時考慮多種誤差的影響, 同時又適當(dāng)?shù)臏p少了未知參數(shù), 具有較高的預(yù)測精度。

圖4 GM(1,1)、雙曲線法和本文方法預(yù)測數(shù)值對比Fig.4 Predictive numerical comparison in GM (1,1), hyperbolic method and the new method

3 結(jié) 論

本文提出的顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的灰色Verhulst-TLS估計, 并用新算法同灰色Verhulst模型LS估計、 灰色Verhulst模型TLS估計、 GM(1,1)、 雙曲線法進行預(yù)測值比較,通過各模型精度對比分析得出如下結(jié)論:

(1)路基沉降觀測數(shù)據(jù)包含測量誤差時,灰色Verhulst模型中白化微分方程的系數(shù)矩陣同樣包含誤差,TLS估計顧及系數(shù)矩陣和觀測向量誤差在數(shù)據(jù)處理方面考慮誤差較LS估計全面,同時,預(yù)測精度高于LS估計。

(2)TLS估計會成倍地增加白化微分方程中的未知參數(shù), 這不僅會增加計算量, 還會降低模型的穩(wěn)定性?；疑玍erhulst模型系數(shù)矩陣的誤差分布具有一定的規(guī)律,運用顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS估計方法,可以有效減少未知參數(shù),提高預(yù)測精度。

(3)若直接令灰色Verhulst模型預(yù)測初值為觀測值時,會造成預(yù)測數(shù)據(jù)整體偏離真值,因此預(yù)測初值應(yīng)在殘差平方和最小條件下求取。通過將顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS方法同GM(1,1)模型、 雙曲線法預(yù)測精度對比發(fā)現(xiàn): 雙曲線法和GM(1,1)模型都不包含飽和發(fā)展過程, 不符合高鐵路基沉降變化趨勢, GM(1,1)不適合作長期預(yù)測；顧及系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)灰色Verhulst-TLS算法線性變化符合路基沉降變化趨勢,參數(shù)少,預(yù)測精度高,能夠快速準(zhǔn)確的識別路基沉降真實曲線,可以廣泛應(yīng)用于路基沉降預(yù)測。