龔文鑫

（清華大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100084）

在我國基礎(chǔ)建設(shè)日益蓬勃的今天，配套建設(shè)高壓線塔等供電設(shè)施的需求也在不斷擴大。本文以高壓線塔的鋪設(shè)為例，討論如何在已知每一地點線塔造價（不同地理位置下的線塔架設(shè)難度不一）且路程足夠遠(yuǎn)的情況下確定能使高壓線塔總造價最小的線塔建造軌跡。由于單純從各地線塔造價入手難以解決，文章通過借助費馬原理轉(zhuǎn)化，在線塔軌跡和幾何光學(xué)三大定律之間建立聯(lián)系，以便通過相對簡單的數(shù)學(xué)計算和幾何光學(xué)推論確定線塔架設(shè)軌跡。

1 模型建立

我們考慮的問題是在A 地和B 地建造一系列的高壓線塔，并且總造價最少。在問題的考慮過程中，每一個線塔的造價成本與建造地點有關(guān)，記作n（x，y），相鄰兩線塔之間的距離始終不變，記作L，線塔數(shù)目記作N，則總費用p 為：

式中，ni為建造第i 個線塔所需成本。

由于相對實際路線長度，線塔之間的距離L 可以認(rèn)為接近于0，所以在模型中，兩地之間線路軌跡可看作平滑曲線，求和可以轉(zhuǎn)化為積分。在轉(zhuǎn)化的過程中將，由于L 很小且為定值，利用建設(shè)線塔過程中每一點鋪設(shè)成本分布函數(shù)n（x，y）可以得知

2 使用光學(xué)方法求解模型

2.1 模型轉(zhuǎn)化為光學(xué)問題

通過觀察總費用p 的表達(dá)式，可以看出∫ ndl 和費馬原理里面的光程表達(dá)式很類似。如果我們認(rèn)為造價成本分布函數(shù)就是折射率，則光從點A 沿著實際的線塔設(shè)計路線射至點B，時長t 為

2.2 幾何光學(xué)解法

由于費馬原理和幾何光學(xué)三大基本定律是相互等價的[1]，也即有：

（1）光線在均勻介質(zhì)中沿直線傳播。

（2）光的反射定律：光線在界面上的反射，入射角必須等于出射角。

（3）光的折射定律：n sin θ 為一個常數(shù)。

因此模型可以使用幾何光學(xué)的三大基本定律求解，將結(jié)論代入模型，為滿足總造價p 最小化，有如下推論：

（1）線塔在造價成本與建造地點無關(guān)的情況下應(yīng)沿直線建造。

（2）在線塔規(guī)劃路線中某區(qū)域不可建造（即費用無限大時）需要沿反射路徑。

（3）在兩造價不同區(qū)域相交時線塔路徑滿足n sin θ 是一個常數(shù)，其中θ 表示的是折射角，在模型中的含義是路徑的切線方向和n（x，y）的等值面法線方向之間的夾角。

3 一個特殊情形

我們考慮在原點A（0，0）和終點B（xB，yB）之間的線塔造價分布函數(shù)n（x，y）以一次函數(shù)的形式遞增，也即可以表達(dá)為函數(shù)n=ax+b（a，b 為常數(shù)且n>0恒成立）。

由于n sin θ 為定值，通過與文獻(xiàn)[2]對比，可以得到實際光線軌跡方程：

式中，θ0代表的是入射光線與x 軸正方向的夾角，也即入射光線的折射角。

由于軌跡經(jīng)過B（xB，yB），所以需要滿足可解得θ0，將θ0的結(jié)果重新代入可得軌跡方程。

我們畫出a>0的軌跡方程的示意圖，如圖1。

圖1

圖2

可以看出，軌跡的斜率越來越小，這也和預(yù)期是一致的，因為此時的折射率隨著x 的增加而增加，折射角θ 應(yīng)該越來越小，而θ 角正是軌跡的切線方向和x 軸正方向的夾角。

我們畫出a<0的軌跡方程的示意圖，如圖2。假設(shè)B 點的橫坐標(biāo)為0，則圖示中的曲線只是一條備選軌跡，還有一條真實的光線為直線x=0，具體的軌跡選哪一條，還需要對比兩條軌跡的工程造價，這是因為，在直線x=0的情形中，軌跡的長度較短，所造線塔的數(shù)目較少，而在圖2所示的情形中，軌跡的長度較長，所造線塔的數(shù)目較多，但是每個線塔的造價會低一些。

這種情況可以推廣到n 只和x 有關(guān)的情形，記作n（x），此時軌跡y（x）的導(dǎo)數(shù)為

式中，C 是待定系數(shù)。

求出該函數(shù)的原函數(shù)為

代入B 點坐標(biāo)，使用y（xB）=yB能夠求出來待定系數(shù)C 的取值，即可得到軌跡。

4 一般情形的討論

一般情況下，我們設(shè)計的線塔路線規(guī)劃有如下結(jié)論：

（1）如果軌跡經(jīng)過造價特別大的地方，一定要以直線的方式快速通過，這是因為在該處n 特別大，此時θ≈0°，這也就意味著，該處的軌跡切線方向和該處的折射率等值面的法線方向是一致的，也就意味著軌跡在該區(qū)域內(nèi)部的長度盡量小。

（2）如果軌跡經(jīng)過造價特別小的地方，那么此時光線的n sin θ 值一定比較小，而經(jīng)過該處時，θ≈90°，這也就意味著該處的軌跡切線方向和折射率等值面基本上相切，也就意味著軌跡在該區(qū)域的長度盡量長。

一般情形下的求解方案還可以轉(zhuǎn)化為一個實驗物理過程，設(shè)空間中各點的折射率由造價分布函數(shù)已知，現(xiàn)在由A 點出射一條光線，隨著出射方向的改變，這條光線的軌跡也會發(fā)生改變，可以通過實驗來看到光線隨著出射方向的變化規(guī)律。在這些光線中，其中軌跡經(jīng)過B 點的光線可能有若干條，因此可以作為備選的軌跡，在比較這些備選光線對應(yīng)的造價p，取其中p 最小的光線即可得到問題的答案。

5 結(jié)束語

本文通過對路線規(guī)劃問題建模，結(jié)合費馬原理轉(zhuǎn)化為了一個可求解的光學(xué)問題。需要注意的是，求解方案中光線的軌跡實際上取得是極值，而不是最小值[1，3]，所以該方法有一定的局限性。需要在實際計算中與另一條直線光路進(jìn)行對比。本文詳細(xì)介紹了線塔造價線性規(guī)律上升時的軌跡求解過程，同時提及了n 是一元函數(shù)時的推廣情況。在幾何光學(xué)基本定律的基礎(chǔ)上可以通過諸多數(shù)學(xué)手段或者物理實驗手段來尋找更廣泛，更普適的高壓線塔架設(shè)規(guī)律。希望日后能有更多拓展。