姜歌東,王爽,梅雪松,張弦,張豪

(1.西安交通大學(xué)陜西省智能機器人重點實驗室,710049,西安; 2.西安交通大學(xué)機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安; 3.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院,710049,西安)

諧波齒輪傳動是20世紀(jì)50年代誕生的一種傳動技術(shù)。根據(jù)諧波齒輪傳動原理構(gòu)建的傳動裝置(即諧波減速器)具有傳動比大、回轉(zhuǎn)精度高、體積小等特點,適用于對精密傳動有較高要求的場合,被廣泛應(yīng)用在機器人、航空航天、精密儀器等領(lǐng)域。

在諧波齒輪傳動中,齒形會對傳動嚙合性能有很大的影響。最初Musser發(fā)明諧波傳動使用的是直線齒形[1],后來由工藝性較好的漸開線齒形代替,逐漸發(fā)展到更符合嚙合原理的新齒形[2];日本學(xué)者Ishikawa提出通過齒條近似法得到基本實現(xiàn)連續(xù)接觸的“S齒形”[3];辛洪兵在圓弧齒廓的基礎(chǔ)上提出柔輪和剛輪雙圓弧基本齒廓設(shè)計方法[4]。目前國內(nèi)所研究的雙圓弧齒形如圖1所示,其工作齒廓由兩段圓弧段構(gòu)成,中間通過公切線段平滑連接。

圖1 雙圓弧齒形及嚙合運動

圖2 雙圓弧共軛齒廓

(a)雙共軛(b)二次共軛(c)交叉圖3 共軛齒廓分布情況

本文根據(jù)雙圓弧齒形的分段特點,提出了一種將柔輪和剛輪的齒形進(jìn)行聯(lián)合共軛計算的雙向共軛設(shè)計方法,該方法解決了單向共軛法存在的剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,同時減少所需的設(shè)計變量,為諧波齒輪傳動雙圓弧齒形設(shè)計提供了一種新的思路。

1 雙向共軛齒形設(shè)計方法

本文提出的雙向共軛法在進(jìn)行雙圓弧齒形設(shè)計時的流程如圖4所示。

圖4 雙向共軛法設(shè)計流程

1.1 諧波傳動坐標(biāo)系與幾何關(guān)系

諧波傳動平面嚙合計算時滿足以下假設(shè)[14]:①原始曲線不伸長;②柔輪變形后的各特征曲線均視為原始曲線的等距曲線;③柔輪輪齒不變形并沿原始曲線均布;④將波發(fā)生器視為剛體。

建立波發(fā)生器坐標(biāo)系{OXY},柔輪輪齒坐標(biāo)系{o1x1y1},剛輪坐標(biāo)系{o2x2y2},如圖5所示。此時,變形前的柔輪中性層半徑rm為

圖5 諧波傳動各坐標(biāo)系

(1)

式中:Db為柔性軸承外徑;δf為柔輪齒根處壁厚。變形后的原始曲線的矢徑為

ρ(φ)=rm+ω(φ)

(2)

式中:φ為位置角參數(shù),即與波發(fā)生器長軸的夾角;ω為原始曲線徑向位移,由波發(fā)生器外廓線確定。根據(jù)柔輪變形[14]可以得到

(3)

式中:υ為中性層周向位移;μ為中性層法向轉(zhuǎn)角。根據(jù)柔輪中性層曲線不伸長假設(shè)和幾何關(guān)系可知

(4)

式中:φ1為柔輪變形端轉(zhuǎn)角;φ2為剛輪轉(zhuǎn)角;z1、z2分別為柔輪和剛輪的齒數(shù);γ為柔輪與剛輪的轉(zhuǎn)角差;φ為柔輪坐標(biāo)系與剛輪坐標(biāo)系的y軸夾角。

1.2 通過參數(shù)預(yù)設(shè)確定柔輪凸圓弧齒廓

圖6 柔輪凸圓弧齒廓

完成參數(shù)預(yù)設(shè)后,開始計算柔輪凸圓弧齒廓參數(shù)。諧波減速器柔輪內(nèi)壁與柔性軸承配合,其內(nèi)徑直接選用標(biāo)準(zhǔn)柔性軸承的外徑,柔輪的節(jié)圓直徑為

d1=Db+2δf+2hf1

(5)

節(jié)圓齒厚為

Sa=πd1/[(1+K)z1]

(6)

柔輪凸圓弧半徑為

ρa=(ha1-hl)/sinβ

(7)

凸圓弧圓心在節(jié)圓上,其到對稱軸的距離為

la=ρa/cosβ-Sa/2

(8)

在柔輪輪齒坐標(biāo)系{o1x1y1}中,以到齒頂點A的弧長s為參數(shù)將柔輪凸圓弧齒廓坐標(biāo)表示為

(9)

式中:參數(shù)s的范圍為[0,ρa(α1-β)];α1為齒頂A的壓力角;(xOa,yOa)為柔輪凸圓弧圓心坐標(biāo)。

1.3 求解剛輪齒形

根據(jù)幾何關(guān)系,將柔輪齒廓點轉(zhuǎn)換到剛輪坐標(biāo)系下

(10)

將齒廓坐標(biāo)代入包絡(luò)方程[14]

(11)

圖7 剛輪雙圓弧齒形

1.4 求解柔輪齒形

在剛輪坐標(biāo)系{o2x2y2}中,剛輪凸圓弧齒廓坐標(biāo)以到齒頂點V的弧長s為參數(shù)表示為

(12)

式中:參數(shù)s的范圍為[0,ρp(α2-β2)];α2為齒頂?shù)膲毫?(xp,yp)為剛輪凸圓弧圓心坐標(biāo)。同理,將剛輪齒廓點轉(zhuǎn)換到柔輪坐標(biāo)系下

(13)

圖8 柔輪雙圓弧齒形

2 齒形設(shè)計計算實例

2.1 齒形計算結(jié)果

為了說明雙向共軛法與單向共軛法的區(qū)別,這里選用相同的參數(shù)分別計算,參數(shù)取值見表1,單向共軛法需要先確定柔輪雙圓弧齒形,而雙向共軛法,簡稱雙向法,不需要設(shè)置凹圓弧參數(shù),減少所需設(shè)計參數(shù)。

表1 柔輪齒形設(shè)計參數(shù)取值

齒形參數(shù)計算結(jié)果見表2,其中各參數(shù)如圖7、8所示。表2中柔輪齒形參數(shù)在單向法中均通過經(jīng)驗方法選取[15],而雙向法中是通過共軛和擬合得到的。兩種方法的剛輪齒廓基本相同,都是由柔輪凸圓弧段的共軛齒廓確定。在嚙合最深處時嚙合狀態(tài)如圖9所示。單向法得到的結(jié)果屬于圖3b的情況,齒根圓弧段沒有參與嚙合;而雙向共軛法中柔輪與剛輪齒廓在整個工作齒高內(nèi)都有較好的接觸,而且柔輪齒根部更厚,有利于強度的提高。

表2 齒形參數(shù)計算結(jié)果 mm

(a)雙向共軛法(b)單向共軛法

2.2 雙圓弧輪齒嚙合側(cè)隙分析

側(cè)隙是評價諧波傳動嚙合狀態(tài)的定量指標(biāo),可以用于判斷輪齒干涉,分析齒間載荷分布[16]。本文所研究的側(cè)隙定義為正常裝配下、空載時柔輪齒廓與剛輪齒廓的周向間隙[14]。

兩種方法的齒形計算結(jié)果在整個工作齒廓段的側(cè)隙分布如圖10所示。從圖10中可以看出,在整個嚙合過程中側(cè)隙大于0,說明沒有發(fā)生齒廓干涉,兩種設(shè)計方法的結(jié)果都是合理的。以側(cè)隙小于0.003 mm作為可能產(chǎn)生接觸嚙合條件[14],雙向法設(shè)計結(jié)果在參與嚙合的齒廓長度最大為0.53 mm,而單向法設(shè)計結(jié)果中參與嚙合的齒廓長度最長為0.22 mm,說明雙向法設(shè)計齒廓接觸段更長。

(a)雙向共軛法

(b)單向共軛法圖10 兩種方法齒形計算結(jié)果的側(cè)隙分布

圖11 最小側(cè)隙點位置

單一輪齒在嚙合時有多個齒廓點同時發(fā)生接觸被稱為多點嚙合現(xiàn)象。多點嚙合可以增大齒廓接觸

圖12 不同齒廓段的最小側(cè)隙分布

2.3 平面有限元接觸分析

為了驗證側(cè)隙嚙合分析結(jié)果,在有限元軟件Ansys中建立諧波傳動平面有限元模型。將波發(fā)生器簡化為凸輪的等距曲線,剛輪和柔輪都簡化為平面齒圈[17]。在柔輪齒廓和剛輪齒廓,柔輪與波發(fā)生器分別建立接觸對。將剛輪和波發(fā)生器的位置固定,負(fù)載通過扭矩施加在柔輪內(nèi)壁上。通過有限元接觸仿真得到負(fù)載下齒廓的嚙合情況。在40 N·m負(fù)載下柔輪齒廓上的接觸應(yīng)力如圖13所示。

(a)雙向共軛法

(b)單向共軛法圖13 兩種方法的齒廓接觸應(yīng)力

圖13中接觸應(yīng)力為0,表示沒有發(fā)生嚙合接觸,其他部分存在接觸應(yīng)力,說明該處齒廓點產(chǎn)生了嚙合作用。從圖13中可以看出,雙向共軛法結(jié)果的接觸齒廓較長,并且有輪齒存在兩段接觸齒廓,驗證了多點嚙合現(xiàn)象。單向共軛法結(jié)果的接觸點均在凸圓弧段。有限元接觸分析的結(jié)果與側(cè)隙分析結(jié)果一致。對比最大接觸應(yīng)力,雙向共軛法結(jié)果為44.175 MPa,單向共軛法結(jié)果為53.862 MPa,說明通過增大接觸面來減小齒面接觸應(yīng)力,從而減小齒面磨損是可行的。

3 結(jié) 論

本文通過平面嚙合理論對諧波齒輪傳動的雙圓弧齒形設(shè)計方法進(jìn)行了研究,得到以下結(jié)論。

(1)本文提出雙向共軛設(shè)計方法,用于諧波齒輪傳動的雙圓弧齒形設(shè)計。與常用的單向共軛法相比,雙向共軛法增加了從剛輪齒廓共軛計算柔輪齒廓的環(huán)節(jié),解決了單向共軛法設(shè)計時剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,并且減少了所需的設(shè)計參數(shù)。

(2)嚙合側(cè)隙分析結(jié)果表明,與單向共軛法相比,雙向共軛法設(shè)計的雙圓弧齒形參與嚙合的齒廓段更長、三段齒廓都參與嚙合,能夠?qū)崿F(xiàn)多點嚙合,有利于減小嚙合力、降低齒面磨損。

(3)平面有限元接觸分析表明,與單向共軛法相比,雙向共軛法設(shè)計的雙圓弧齒形在負(fù)載下具有更大的齒廓接觸面積和更小的齒面接觸應(yīng)力,有利于降低齒面磨損,進(jìn)一步驗證了側(cè)隙分析的結(jié)論。

(4)本文提出的雙向共軛設(shè)計方法不僅提升諧波齒輪傳動雙圓弧齒形設(shè)計效果,也為其他類型分段齒形設(shè)計提供了一種可以借鑒的設(shè)計思路。