唐紀(jì)芳

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

一、問題重述

在實(shí)體零售行業(yè)中，會(huì)員持續(xù)不斷的為零售運(yùn)營(yíng)商帶來穩(wěn)定的銷售額與利潤(rùn)來體現(xiàn)會(huì)員自身的價(jià)值，也為運(yùn)營(yíng)商提供制定策略的數(shù)據(jù)支持。對(duì)現(xiàn)有會(huì)員的畫像進(jìn)行完善，加強(qiáng)對(duì)現(xiàn)有會(huì)員的管理，定期的推送適合的產(chǎn)品和服務(wù)，與會(huì)員建立穩(wěn)定的關(guān)系，以使實(shí)體零售行業(yè)的發(fā)展更好。

附件(文獻(xiàn)[1]）中的數(shù)據(jù)給出了某大型百貨商場(chǎng)會(huì)員的相關(guān)信息：附件1 是會(huì)員信息數(shù)據(jù)；附件2 是近幾年的銷售流水表；附件3 是會(huì)員消費(fèi)明細(xì)表；附件4 是商品信息表，一般來說，商品價(jià)格越高，盈利越高；附件5 是數(shù)據(jù)字典。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：

問題一：對(duì)每一位會(huì)員的消費(fèi)情況進(jìn)行分析，建立能描繪每一位會(huì)員的購(gòu)買力的數(shù)學(xué)模型，以方便能夠?qū)γ课粫?huì)員給商場(chǎng)帶來的價(jià)值進(jìn)行評(píng)估。

問題二：從非活躍會(huì)員轉(zhuǎn)化為活躍會(huì)員的可能性稱為激活率，建立數(shù)學(xué)模型后計(jì)算出會(huì)員的生命周期中的非活躍會(huì)員的激活率并從實(shí)際的銷售數(shù)據(jù)出發(fā)，確定非活躍會(huì)員的激活率和商場(chǎng)促銷活動(dòng)之間的關(guān)系模型。

問題三：銷售之后再銷售被稱為連帶銷售，而連帶銷售是購(gòu)物中心經(jīng)營(yíng)的重心，假如商家將策劃某次促銷活動(dòng)，怎樣根據(jù)會(huì)員的愛好和商品所帶來的連帶率來策劃這次促銷活動(dòng)。

二、問題分析

問題一：本題要求對(duì)比會(huì)員與非會(huì)員的銷售差異。首先進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，對(duì)附件2-銷售流水表的內(nèi)容進(jìn)行時(shí)間分析發(fā)現(xiàn)起止時(shí)間是2016 年1月9 日到2017 年9 月23 日，附件3- 會(huì)員消費(fèi)明細(xì)表的時(shí)間分析發(fā)現(xiàn)起止時(shí)間是2015 年1 月1 日到2018 年1 月3 日，并對(duì)附件3 中不含附件1 的其他會(huì)員進(jìn)行篩選，后取附件2 與附件3 的相同時(shí)間段（2016 年1 月9 日-2017 年9 月23日）來比較會(huì)員在此段時(shí)間所購(gòu)買商品的總金額與非會(huì)員購(gòu)買商品的總金額，并計(jì)算出會(huì)員與非會(huì)員分別所占的比例。

問題二：本題首先對(duì)生命周期進(jìn)行定義，其次對(duì)會(huì)員的狀態(tài)進(jìn)行劃分，整理附件1、附件2、附件3 后統(tǒng)計(jì)出2015 年上半年到2018 年上半年的生命周期和活躍狀態(tài)，最后對(duì)附件3 數(shù)據(jù)分析后建立馬可夫鏈模型[2]來解決會(huì)員的生命周期與狀態(tài)劃分。對(duì)附件1 和附件3 進(jìn)行整理定義出促銷時(shí)間，最后選出促銷時(shí)間，再對(duì)附件3 中促銷時(shí)間前的會(huì)員消費(fèi)狀態(tài)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后對(duì)會(huì)員的狀態(tài)進(jìn)行標(biāo)記，統(tǒng)計(jì)出激活會(huì)員與非活躍會(huì)員和流失會(huì)員的和，最后建立模型計(jì)算出激活率。

問題三：定義連帶銷售，連帶率。分析所有類別的商品銷售數(shù)量，其次分析每個(gè)會(huì)員購(gòu)買商品的數(shù)量及金額情況，推算出受大眾喜愛的商品從而決定促銷方案。然后建立連帶率的計(jì)算模型。

三、模型假設(shè)

1)題目附件的大型百貨商場(chǎng)的銷售數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，會(huì)員卡號(hào)反應(yīng)出的人數(shù)準(zhǔn)確。

2)假設(shè)大量數(shù)據(jù)中舍去或者補(bǔ)充少量部分?jǐn)?shù)據(jù)不影響最后結(jié)果。

3)題中并未給出具體的會(huì)員生命周期狀態(tài)規(guī)則，結(jié)合現(xiàn)實(shí)和附件數(shù)據(jù)給出較為合理的定義。

4)假設(shè)每個(gè)會(huì)員卡號(hào)僅限本人使用，且商場(chǎng)不會(huì)發(fā)生劇烈的變化影響銷售。

四、符號(hào)說明

mi：總金額

d:某個(gè)時(shí)段

Si:第i 半年時(shí)間段所在的列

Ki：第i 個(gè)會(huì)員喜歡的商品連帶率

Mi：第i 個(gè)會(huì)員購(gòu)買的商品類別里數(shù)量最多的商品數(shù)量

Zi：第i 個(gè)會(huì)員購(gòu)買的所有商品類別的數(shù)量

五、模型建立與求解

問題一

購(gòu)買力（purchasing power）是指在一定時(shí)期內(nèi)用于購(gòu)買商品的貨幣總額，這個(gè)定義中需要考察兩個(gè)因素，一個(gè)是兩次消費(fèi)間隔的時(shí)間，一個(gè)是相同時(shí)間的消費(fèi)金額。因此我們規(guī)定在一定時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)金額越高的會(huì)員，則購(gòu)買力越高，相同的消費(fèi)金額如果消費(fèi)間隔時(shí)間越短，則該會(huì)員購(gòu)買力越高。我們根據(jù)附件3 中會(huì)員消費(fèi)情況，首先考慮會(huì)員的性別，年齡因素對(duì)商品購(gòu)買數(shù)量，金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1。再考慮不同年齡階段和性別對(duì)不同類別商品的購(gòu)買數(shù)量和金額，來反應(yīng)出會(huì)員對(duì)某類商品的購(gòu)買力，因此我們建立了一個(gè)隨著時(shí)間的增加，消費(fèi)金額的變化而產(chǎn)生變化的購(gòu)買力的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)這個(gè)模型得出各會(huì)員的購(gòu)買力情況，購(gòu)買力越高的會(huì)員價(jià)值越高。

表1 消費(fèi)金額情況表

根據(jù)消費(fèi)金額情況可以建立每一個(gè)會(huì)員平均消費(fèi)金額的模型：

利用Excel 軟件挑選出一部分會(huì)員的購(gòu)買情況算出各個(gè)會(huì)員的平均消費(fèi)金額來反映購(gòu)買力見表2.

表2 會(huì)員購(gòu)買力

從表2 可以看出每個(gè)會(huì)員的購(gòu)買力不同，數(shù)據(jù)越大時(shí)說明該會(huì)員在此時(shí)間段內(nèi)購(gòu)買力越大，數(shù)據(jù)為0 時(shí)該會(huì)員在此時(shí)間內(nèi)未購(gòu)買任何商品。

問題二

會(huì)員包含各種類型，反應(yīng)了不同群體的特征和想法。在會(huì)員的生命周期中，我們應(yīng)定義更全面的指標(biāo)。

流失會(huì)員：有一段時(shí)間沒有購(gòu)買產(chǎn)品，那么我們就視為流失會(huì)員，根據(jù)會(huì)員購(gòu)買情況，我們可以把這段時(shí)間按360 天劃分。即該會(huì)員360 天內(nèi)沒有購(gòu)買任何產(chǎn)品，就視為流失會(huì)員。在上一次購(gòu)買或者開卡時(shí)到流失會(huì)員的時(shí)間段就是該會(huì)員的生命周期。

在生命周期里我們對(duì)會(huì)員狀態(tài)有以下定義[3]：

非活躍會(huì)員：有一段時(shí)間沒有購(gòu)買產(chǎn)品，為了和流失會(huì)員區(qū)分開來，需要選擇無交集的時(shí)間范圍。比如流失會(huì)員是360 天以上沒購(gòu)買產(chǎn)品，那么非活躍會(huì)員則是180 天～360 天沒購(gòu)買。

活躍會(huì)員：一段時(shí)間內(nèi)購(gòu)買過產(chǎn)品，我們以180 天內(nèi)購(gòu)買產(chǎn)品來劃分。

激活會(huì)員：有一段時(shí)間沒購(gòu)買產(chǎn)品，之后突然回來再次購(gòu)買，則稱為激活會(huì)員。激活會(huì)員是活躍會(huì)員，且是由流失會(huì)員或非活躍會(huì)員轉(zhuǎn)變而來，即超過180 天沒有購(gòu)買商品然后又購(gòu)買商品的會(huì)員。

會(huì)員購(gòu)買商品是一個(gè)隨機(jī)的無后效性的動(dòng)態(tài)過程，每一個(gè)時(shí)間段里會(huì)員所處的狀態(tài)是隨機(jī)的，這一次購(gòu)買，不能反應(yīng)出下一次是否購(gòu)買，這次購(gòu)買下次有一定的概率轉(zhuǎn)移成不購(gòu)買。同樣，這次不購(gòu)買，下次有一定的概率轉(zhuǎn)移成購(gòu)買。也即是說下一個(gè)時(shí)期的狀態(tài)只取決于本時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率[4]。

會(huì)員在生命周期內(nèi)具有活躍、非活躍及流失三種不同的狀態(tài)，設(shè)對(duì)特定年齡段的人，現(xiàn)階段活躍下階段保持活躍狀態(tài)的概率為0.5,而現(xiàn)階段非活躍、下階段轉(zhuǎn)為活躍狀態(tài)的概率為0.5，現(xiàn)階段非活躍，下階段轉(zhuǎn)為流失狀態(tài)的概率為0.3，可以建立下面的模型(馬可夫鏈模型)：

初始階段的活躍值與初始狀態(tài)相同，

當(dāng)Si+1=1，(i=0,1,2,…,6）時(shí),該會(huì)員在此階段活躍；當(dāng)，(i=0,1,2,…,6）時(shí),該會(huì)員在此階段非活躍；

當(dāng)Si+1=0，(i=0,1,2,…,6）時(shí),該會(huì)員在此階段為流失。

表3 不同狀態(tài)下的會(huì)員人數(shù)

激活率：即從非活躍會(huì)員或者流失會(huì)員轉(zhuǎn)化為活躍會(huì)員的可能性[5]。

促銷時(shí)間：對(duì)附件1 和附件3 的數(shù)據(jù)做合并處理，算出日平均銷量為307，和日平均購(gòu)買人數(shù)為290，選出當(dāng)天銷售數(shù)量和購(gòu)買人數(shù)分別超過2.6 倍和2 倍為促銷時(shí)間（見表4）。

表4 促銷時(shí)間

再對(duì)附件3 中促銷時(shí)間前的會(huì)員消費(fèi)狀態(tài)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，若該會(huì)員是非活躍狀態(tài)和流失狀態(tài)，則標(biāo)記為0，然后再對(duì)促銷時(shí)間段這些標(biāo)記為0 的會(huì)員進(jìn)行對(duì)比，若該會(huì)員變?yōu)榛钴S狀態(tài)則該會(huì)員被激活，

也即是Si-Si+1〈0,(i=0,1,2,…，6）

再根據(jù)激活會(huì)員的總?cè)藬?shù)與所有非活躍及流失狀態(tài)的會(huì)員總?cè)藬?shù)作百分比，該值就是激活率（見表5）。

表5 會(huì)員激活情況

2015 年下半年只有一次促銷活動(dòng)，所以激活率較低為7.9%。2017 上半年有3 次促銷活動(dòng)，但中途有的促銷活動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，所以激活率最高為38.1%。而2018 年只有一次且僅有一天活動(dòng)時(shí)間，所以激活率最低為0.8%。

將每個(gè)階段會(huì)員的激活率與其對(duì)應(yīng)階段的促銷時(shí)間天數(shù)擬合得到下面的函數(shù)及圖形（見圖1），我們通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析和擬合可以得出結(jié)論：商場(chǎng)促銷活動(dòng)次數(shù)越多，時(shí)間越長(zhǎng)，會(huì)員的激活率就越高。

圖1 會(huì)員激活函數(shù)

問題三

首先我們對(duì)連帶消費(fèi)下一個(gè)定義, 顧客單次購(gòu)買商品的數(shù)量超過1 件,那么超過的商品就是連帶消費(fèi)的商品。

然后分析了所有類別的商品銷售數(shù)量, 銷售數(shù)量越多, 說明這類商品越受大多數(shù)顧客的喜歡。其次分析每個(gè)會(huì)員購(gòu)買商品的數(shù)量及金額情況,同樣購(gòu)買的數(shù)量越多,消費(fèi)的金額越高,反應(yīng)了此類商品越受該會(huì)員的喜歡。我們結(jié)合兩者來討論促銷方案。

假設(shè)會(huì)員主要購(gòu)買的是其喜歡的商品, 那么他購(gòu)買的其他商品就是連帶商品,購(gòu)買的連帶商品越多,則此類商品的連帶率越高。

我們?cè)诟愦黉N活動(dòng)時(shí)就主要以連帶率高的商品來做促銷活動(dòng),從而帶動(dòng)其他商品的消費(fèi)。連帶率計(jì)算模型:

表6 商品連帶率

選擇連帶率超過60%的商品來做促銷活動(dòng)，其中有類別編碼為40101，40501，90901，60101，90702 等等，其余見附件7。

六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

模型的優(yōu)點(diǎn)：建模能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)問題求解，使模型更貼切實(shí)際，推廣性較強(qiáng)[6]。模型對(duì)數(shù)據(jù)的分析不僅使問題得到了解決，而且還能迅速掌握實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，為建立更合適的模型提供了基礎(chǔ)。模型操作簡(jiǎn)易，適合大眾應(yīng)用。模型試用與各種數(shù)據(jù)分布，指標(biāo)多少?zèng)]有限制，較為靈活，方便。模型可以通過統(tǒng)計(jì)方法來對(duì)干擾因素加以控制，發(fā)現(xiàn)自變量與因變量之間的關(guān)系。模型復(fù)雜因素較多，不能對(duì)其進(jìn)行全面的考慮，造成與實(shí)際有一定的不相符之處，但偏差不是很大。