唐建國，劉幸茹

（惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，廣東 惠州 516007）

數(shù)列上下極限的等價定義比較多，文[1]給出了三種定義的等價證明，文[2]列出了七個等價定義.在由這些定義推導數(shù)列上下極限的性質(zhì)時，按不同的定義有不同的證明方法.在構建數(shù)列上下極限的理論體系時，通常選取較易構建邏輯體系的定義作為出發(fā)點或研究的起點，這樣會給理論體系的建立帶來很多方便.本文試圖選取子列的最大最小極限作為數(shù)列上下極限的定義，證明數(shù)列上下極限的性質(zhì).與其它幾個等價定義相比，該定義具有很好的形象性和直觀性，對理解數(shù)列上下極限的性質(zhì)有很大幫助，并能從已有性質(zhì)出發(fā)發(fā)現(xiàn)和建立一些新的性質(zhì).

1 數(shù)列上下極限的定義及簡單充要條件

定義1[1]設｝是一個實數(shù)列，它的上下極限分別定義為的所有收斂子列的最大極限，的所有收斂子列的最小極限.

性質(zhì)1的充分必要條件是:存在的收斂子列，使得，且對于的任何收斂子列有的充分必要條件是:存在的收斂子列 }{knx ，使得，且對于的任何收斂子列，有

性質(zhì)2[3]的充分必要條件是:任給0＞ε,存在0＞N，使得當Nn≥時，有ε+＜axn，且存在子列 }{knx ，使得的充分必要條件是:任給0＞ε,存在0＞N，使得當Nn≥時，有ε-bxn＞，且存在子列使得

性質(zhì)3[3,10]的充分必要條件是

2 數(shù)列上下極限的四則運算性質(zhì)

性質(zhì)4[4]

證明根據(jù)性質(zhì)1，存在 }{nx 的收斂子列 }{knx ，使得，且對于 }{nx 的任何收斂子列有，由此可得且，再利用性質(zhì)1得，

在前式中nx用nx- 來代，即得

性質(zhì)5

證明對于 0=c ，結論顯然成立.

當0＜c時有0＞-c，根據(jù)性質(zhì)4及已得結果有

性質(zhì)6

證明根據(jù)上極限的定義，存在 }{nx 的收斂子列 }{knx ，使得

故第一個等式成立.由性質(zhì)4得，

性質(zhì)7[3]若

證明根據(jù)上極限的定義，存在 }{nx 的收斂子列 }{knx ，使得

數(shù)列 }{kny 存在收斂子列 }{jkny ，此時有，因此

根據(jù)下極限的定義，存在 }{ny 的收斂子列 }{kmy ，使得

數(shù)列 }{kmy 存在收斂子列 }{jkmy ，此時有，因此

性質(zhì)8[4]若存在，則

證明根據(jù)上極限的定義，存在的收斂子列，使得存在收斂的子列所以

3 數(shù)列上下極限的計算公式及其它性質(zhì)

性質(zhì)16設 }{knx 是數(shù)列 }{nx 的任一子列，則

證明根據(jù)上極限的定義，存在 }{knx 的收斂子列 }{jknx ，使得

性質(zhì)17[6,9,11]設 }{nx 為有界數(shù)列，

（1）若 )(xf 在實數(shù)集R上連續(xù)，且單調(diào)增加，則

（2）若 )(xf 在實數(shù)集R上連續(xù)，且單調(diào)減少，則

證明（1）根據(jù)上極限的定義，存在的收斂子列，使得由于有界，因而其子列 }{knx 也有界.根據(jù)有界數(shù)列必有收斂的子列知，存在 }{knx 的收斂子列 }{jknx ，使得又 ()f x在實數(shù)集R上連續(xù)，因而在點0x連續(xù)，因此

另一方面，根據(jù)上極限的定義，存在 }{nx 的收斂子列 }{kmx ，使得

由于 }{nx 有界，因而其子列 }{knx 也有界.根據(jù)有界數(shù)列必有收斂的子列知，存在 }{knx 的收斂子列 }{jknx ，使得又 ()f x在實數(shù)集R上連續(xù)，因而在點0x處連續(xù)，

另一方面，根據(jù)下極限的定義，存在 }{nx 的收斂子列 }{kmx ，

（2）由 ()f x單調(diào)減少知， ()f x- 單調(diào)增加.

由此可得

故結論成立.

下面給出性質(zhì)17的逆命題.

性質(zhì)18設 }{nx 為有界數(shù)列，

（1）若 ()f x在實數(shù)集R上連續(xù)，單調(diào)增加，且

（2）若 ()f x在實數(shù)集R上連續(xù)，單調(diào)減少，且

證明（1）由于 ()f x在實數(shù)集R上連續(xù)，且單調(diào)增加，因此 ()f x在實數(shù)集R有反函數(shù)1()f x-，且1()f x-實數(shù)集R上連續(xù)，單調(diào)增加.所以根據(jù)性質(zhì)17得，

性質(zhì)19[3]若

證明若存在，則

根據(jù)斯托爾茨公式

在這種情形結論成立.

根據(jù)性質(zhì)2，任給0＞ε，存在0＞N，使得當Nn≥時，總有

由ε的任意性及性質(zhì)18知，結論成立.

性質(zhì)20[7]設是兩個實數(shù)列，若(i)嚴格單增，(ii)

證明若存在，根據(jù)已知條件及斯托爾茨公式，不存在，則必

由ε的任意性可知，上極限不等式成立.同理可得，下極限不等式成立.

性質(zhì)21[7]設嚴格單調(diào)遞減，則

證明若存在，根據(jù)已知條件及斯托爾茨公式，不存在，則必

由ε的任意性可知，上極限不等式成立.同理可得，下極限不等式成立.

4 數(shù)列上下極限與子列上下極限的關系

引理1[8]設，則，這里'A={A的所有聚點}.

這一結果還可以進一步推廣到有限個集合的情形.

引理2設

由引理1和引理2即可得以下性質(zhì).

性質(zhì)22設是數(shù)列，若將分成兩個子列和，則

性質(zhì)23設是數(shù)列，若將分成m個子列則必存在子列和子列使得

5 結語

數(shù)列上下極限是數(shù)列極限概念的推廣與延伸,一般數(shù)學分析教材很少涉及這一內(nèi)容,甚至也沒有將其列入教材作為選講內(nèi)容 .但數(shù)列上下極限在數(shù)學的很多分支有著廣泛的應用,例如實變函數(shù) 中§4.1定理6:可測函數(shù)列的上下極限仍是可測函數(shù),§5.3定理6法圖(Fatou)引理:非負可測函數(shù)列下極限的勒貝格積分不超過其勒貝格積分的下極限,以及§5.4勒貝格控制收斂定理(定理5)的證明過程中都需要用到數(shù)列的上下極限.本文利用子列極限證明數(shù)列上下極限的23條性質(zhì),今后將繼續(xù)探索數(shù)列上下極限的新性質(zhì)及其應用.