摘 要：同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)重要，又有趣的現(xiàn)象.研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步具有重要意義.在本文中，就離散網(wǎng)絡(luò)及其同步做了簡(jiǎn)單描述，介紹了使離散網(wǎng)絡(luò)同步的三種控制方法：脈沖控制，牽制控制與自適應(yīng)控制.

關(guān)鍵詞：離散網(wǎng)絡(luò)；同步；脈沖控制；牽制控制；自適應(yīng)控制

Control Methods to Synchronize Discrete-time Networks

WANG Yaoyao

（Jiangxi College of Engineering，338000，Xinyu）

Abstract：Synchronization is an important and interesting phenomenon of complex networks.There is an significant research value in complex networks.In this paper，discrete-time networks and its synchronization are described briefly and three control methods--impulsive control，pinning control and adaptive control--are introduced to synchronize discrete-time networks

Key words：discrete network；synchronization；impulsive control；pinning control；adaptive control

1 引言

在真實(shí)世界中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無處不在，例如萬維網(wǎng)，電網(wǎng)，社交網(wǎng)絡(luò)，交通網(wǎng)絡(luò)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)指的是具有自組織，自相似，吸引子，小世界，無標(biāo)度中的部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò).研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，即研究各種從表面上看去互不相同的網(wǎng)絡(luò)之間的共性及處理它們的普適方法.要研究它們結(jié)構(gòu)上的共性，需要借助某種可以用來描述網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)一工具，數(shù)學(xué)上把這種工具稱之為圖（Graph）.就是將任一網(wǎng)絡(luò)看作可由一些節(jié)點(diǎn)通過某種方式連接在一起所構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng).具體網(wǎng)絡(luò)的抽象圖表示就是用抽象的點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，抽象點(diǎn)之間的連線就表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系.[1] 通常用一個(gè)m維變量表示節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)，一個(gè)從m維空間映到m維空間的對(duì)應(yīng)法則表示節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，且設(shè)一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是相同的.而所謂的同步就是網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點(diǎn)都達(dá)到同一個(gè)目標(biāo)狀態(tài).一般情況，在沒有受任何外力作用下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自身是很難達(dá)到同步的.于是，就需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)施加適當(dāng)?shù)目刂剖蛊溥_(dá)到同步，如間歇控制，脈沖控制，牽制控制等.

同步，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本的集體行為，具有廣泛的應(yīng)用前景，這一有趣的現(xiàn)象引起了廣大領(lǐng)域的關(guān)注.[2-4] 在過去幾十年間，連續(xù)網(wǎng)絡(luò)的同步被廣泛研究，并且獲得了很多有價(jià)值的研究成果.[5] 近來有研究表明，相比較于連續(xù)網(wǎng)絡(luò)，離散網(wǎng)絡(luò)在某些領(lǐng)域更具優(yōu)勢(shì)，例如最優(yōu)化，圖像處理，分布式計(jì)算和時(shí)間序列分析.[6] 因此對(duì)離散網(wǎng)絡(luò)的研究也同樣很重要.在離散網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)是離散的，所以連續(xù)的控制方法就不能應(yīng)用在離散網(wǎng)絡(luò)中，比如間歇控制，間歇控制它是在一段連續(xù)的時(shí)間內(nèi)對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)施加控制的方法，因此間歇控制不適用在離散網(wǎng)絡(luò)中.即表明要研究離散網(wǎng)絡(luò)的同步，只能從離散的方法入手，下面介紹研究離散網(wǎng)絡(luò)同步的三種控制方法：脈沖控制，牽制控制以及自適應(yīng)控制.

2 離散網(wǎng)絡(luò)同步的控制方法

2.1脈沖控制

作為一種離散的控制方法——脈沖控制，它有著相對(duì)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu).因此，脈沖控制被廣泛用于設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)目刂破饕詫?shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步.脈沖控制就是在某些離散的時(shí)刻點(diǎn)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)施加控制，此刻節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)都隨之發(fā)生變化；而在其他時(shí)刻點(diǎn)則不施加控制，這樣的時(shí)刻點(diǎn)把它稱之為脈沖時(shí)刻.這樣對(duì)離散網(wǎng)絡(luò)只在脈沖時(shí)刻施加控制的方法就叫做脈沖控制.并以此設(shè)計(jì)出合適的脈沖控制器使得網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)狀態(tài)逐漸達(dá)到給定的目標(biāo)狀態(tài)，離散網(wǎng)絡(luò)就實(shí)現(xiàn)了同步.對(duì)任意給定的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，為實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步，設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)目刂破鞯年P(guān)鍵在于脈沖時(shí)刻與脈沖間隔的選取，這就需要運(yùn)用李雅普諾夫函數(shù)和數(shù)學(xué)分析技巧將它們推導(dǎo)出來.眾所周知，對(duì)于離散函數(shù)，它沒有導(dǎo)數(shù)的概念.所以只能通過作差比較來推導(dǎo).最后可以得到實(shí)現(xiàn)同步的一個(gè)充分條件.基于給定條件，就可以估計(jì)出脈沖增益和脈沖間隔，脈沖增益是指控制的強(qiáng)度，它的取值通常在 的開區(qū)間內(nèi).

2.2牽制控制

我們知道很多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的，這正是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性之一.那么在實(shí)際應(yīng)用中，要想控制網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點(diǎn)是非常難的，甚至是不可能的.于是，就考慮到能否只對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的某些節(jié)點(diǎn)施加控制，這就是牽制控制.在牽制控制計(jì)劃中，僅需控制網(wǎng)絡(luò)中一小部分的節(jié)點(diǎn).這樣一來，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的控制既易于實(shí)現(xiàn)，又能節(jié)約成本.所以牽制控制是很受歡迎的.接下來設(shè)計(jì)牽制控制器的關(guān)鍵在于受控制的節(jié)點(diǎn)的選取，任一離散時(shí)刻每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)是不同的，目標(biāo)是為了使所有節(jié)點(diǎn)達(dá)到同一預(yù)想的狀態(tài)，自然最應(yīng)該受控制的就是偏離目標(biāo)狀態(tài)遠(yuǎn)的那些節(jié)點(diǎn).因此，通過計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)在不同的離散時(shí)刻與目標(biāo)狀態(tài)的誤差范數(shù)，按從小到大進(jìn)行排序選出誤差范數(shù)較大的前一小部分節(jié)點(diǎn)加以控制.而其他節(jié)點(diǎn)不加控制，最終實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步.牽制控制通常與其他控制方法結(jié)合使用，比如與脈沖控制結(jié)合，那么就不需要在所有的離散時(shí)刻控制，而只需在選取的脈沖時(shí)刻對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點(diǎn)施加控制即可，所得控制器就更加優(yōu)化.

2.3自適應(yīng)控制

自適應(yīng)控制與其說是一種控制方法，不如說是一種控制策略.它不會(huì)單獨(dú)用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制.不論是采取何種控制方法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步，最終都會(huì)得到一個(gè)使網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件，這個(gè)充分條件是與系統(tǒng)自身參數(shù)有關(guān)的不等式，自然設(shè)計(jì)的控制器也與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，這樣所得到的控制器就只能運(yùn)用在同一類的系統(tǒng)中，而對(duì)不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)參數(shù)以及所需控制節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是完全不同的，例如脈沖控制，在不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中就需要重新選取脈沖增益和脈沖間隔.只要有參數(shù)發(fā)生變化，其余的數(shù)據(jù)就需要被重新計(jì)算，所得控制器不具備普適性.為了避免發(fā)生重復(fù)計(jì)算這一狀況，在控制計(jì)劃中引進(jìn)自適應(yīng)策略.在一定條件下，所需數(shù)據(jù)可以自身進(jìn)行調(diào)節(jié).

3 小結(jié)

本文主要從離散網(wǎng)絡(luò)的角度出發(fā)，對(duì)運(yùn)用脈沖控制、牽制控制以及自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)離散網(wǎng)絡(luò)的同步作了簡(jiǎn)單的描述介紹.

參考文獻(xiàn)：

[1] 汪小帆.探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，清華大學(xué)出版社.

[2] 朱會(huì)賓.復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步控制及應(yīng)用.江南大學(xué)，2011，6.

[3] 徐德剛.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的復(fù)雜系統(tǒng)同步控制研究.浙江大學(xué)，207，10

[4] 李朕.基于脈沖的幾類離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步分析與控制.東華大學(xué)，2016，3.

[5] 榮婷婷.節(jié)點(diǎn)數(shù)不同的不確定時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的同步研究.遼寧師范大學(xué)，2018，3.

[6] 朱彪.幾種離散脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.湖南工業(yè)大學(xué)，2014，6.

作者簡(jiǎn)介：

汪瑤瑤（1993-），女，碩士研究生.

（作者單位：江西工程學(xué)院）