劉莉萍, 繆 龍*, 湯菊萍

(1. 揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚州 225002; 2. 無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 無錫 214121)

利用子群的嵌入性質(zhì)研究群的結(jié)構(gòu)是群論工作中熱點課題之一, 并取得了豐富的研究成果．Asaad等[1]利用子群的S-擬正規(guī)嵌入性對群的p-冪零性、超可解性進行了研究, 得到了一些充要條件; Li等[2]引入弱s-置換嵌入子群的概念; Guo等[3]提出Σ-嵌入子群的概念, 并利用Σ-嵌入子群的性質(zhì)得到了關(guān)于可解群與p-冪零群的一些新結(jié)果; 根據(jù)Mp-可補子群的概念, 邱婷婷[4]給出了Mp-嵌入子群的概念．作為以上工作的延伸, 本文擬利用子群的Mp-嵌入性質(zhì), 同時結(jié)合H-子群的幾乎m-嵌入性質(zhì), 揭示子群嵌入性質(zhì)與群的p-冪零與超可解之間的聯(lián)系．

1 預(yù)備知識

定義1[3]若存在T≤G和{1≤G}-嵌入子群C, 使得G=AT且T∩A≤C≤A, 則稱子群A在群G中是幾乎m-嵌入的．

定義2[6]設(shè)P是G的Sylowp-子群, 稱G的子群H是H-子群. 如果H滿足P′≤H≤Φ(P), 則用H(P)表示H構(gòu)成的集合．

引理1[5]設(shè)N是群G的非平凡可解正規(guī)子群, 若N∩Φ(G)=1, 則F(N)是G的包含于N的極小正規(guī)子群的直積．

引理2設(shè)G是群,p是|G|的素因子,P∈Sylp(G), 若H∈H(P)且H在G中是幾乎m-嵌入的, 則H在G中是{1≤G}-嵌入的．

證明 因為H在G中是幾乎m-嵌入的, 由其定義可知存在T≤G及C≤G, 使得G=HT且H∩T≤C≤H, 其中C在G中是{1≤G}-嵌入的．由P=P∩HT=H(P∩T)=P∩T, 得P≤T, 于是G=T, 進而有C=H, 所以H在G中是{1≤G}-嵌入的．

引理5[4]設(shè)P是群G的一個Sylowp-子群, 其中p是|G|的極小素因子．如果P在G中Mp-嵌入, 則G是p-冪零的．

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G是群,p是|G|的極小素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P的每一個極大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的, 那么G是p-冪零的．

證明 假設(shè)結(jié)論不真且設(shè)G是極小階反例．根據(jù)假設(shè)知P∈Sylp(G)且P的每一個極大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 由文獻[4]中定理3.3.1知NG(P)是p-冪零的．

若H=1, 則由P′≤H知P′=1,即P是交換p-群．由于?q≠p,Q∈Sylq(NG(P)), 有PQ≤NG(P), 且NG(P)是p-冪零的, 所以PQ是p-冪零的, 且PQ=P×Q, 故Q≤CG(P)．又因P是交換群, 故P≤CG(P), 于是NG(P)=CG(P)．由Burnside定理知G是p-冪零的, 這與G是極小階反例矛盾, 故H≠1．由引理2知H在G中是{1≤G}-嵌入的, 根據(jù)文獻[3]中引理2.5可得H在G中次正規(guī), 再由文獻[8]中引理2.7知H≤Op(G), 進而Op(G)≠1．

定理2設(shè)G是群,p是|G|的極小素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的, 則G是p-冪零的．

定理3設(shè)G是p-可解群,p是|G|的素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P的每一個極大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的, 則G是p-超可解的．

證明 假設(shè)結(jié)論不真且設(shè)G為極小階反例．

定理4設(shè)G是p-可解群,p是|G|的素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的,那么G是p-超可解的．

證明 類似定理3的證明過程．

定理5設(shè)G為一個群．若對|G|的任意素因子p都有G的一個Sylowp-子群P, 使得P的每一個極大子群在NG(P)中Mp-嵌入, 且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的, 那么G是超可解的．