鄒明松　吳有生　孫建剛　

摘要： 在現有的船舶水彈性子結構分離與集成方法中，主船體結構的振動采用以模態(tài)廣義坐標為變量的動力學方程進行描述，船內子結構的振動采用以空間物理位移為變量的動力學方程進行描述。通過兩者的邊界連接條件進行綜合集成時，會遇到模態(tài)空間與物理空間的轉換集成問題。針對該問題，提出了“虛擬模態(tài)”方法，一方面可以使動態(tài)子結構集成計算精確，另一方面可大幅減少子結構集成的計算量。理論上，該“虛擬模態(tài)”方法適用于其他領域類似的動態(tài)子結構集成計算問題。最后，通過數值算例，對該“虛擬模態(tài)”方法的正確性和適用性進行了驗證。

關鍵詞： 結構振動; 動態(tài)子結構方法; 流固耦合; 船舶振動

中圖分類號： O327; U661.44? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1004-4523（2019）03.0439.05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2019.03.008

引 言

動態(tài)子結構方法將復雜結構分解成一些較簡單的子結構，根據子結構動態(tài)特性的計算或試驗結果綜合出整個復雜結構的動態(tài)特性。該方法已有較廣泛而深入的研究與應用[13]。動態(tài)子結構方法可以基本分成兩類，一類是模態(tài)綜合法（包括固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法等），一類是界面位移綜合法（包括界面位移直接綜合法、聚縮阻抗矩陣綜合超單元方法等）。其中第一類方法以模態(tài)坐標為待求量實現子結構之間的綜合集成，第二類方法以空間物理位移為待求量實現子結構之間的綜合集成。為提高動態(tài)子結構方法的綜合精度與計算效率以及擴展其應用范圍，國內外開展了大量的研究，提出了多種在基本方法基礎上的改進方法[47]。

隨著計算機水平的提升，動態(tài)子結構方法已應用于實船流固動力學分析中[8]。也有眾多學者在流固耦合動態(tài)子結構方法的基礎上，提出了多種新的思想。文獻[9]將一個復雜的結構分解成主體結構和子結構兩部分，考慮主體結構與流體介質的耦合作用，對于剛度、質量分布不確定的子結構采用概率統(tǒng)計的方法處理成模糊子結構（fuzzy structure）。文獻[1011]提出將結構分解成高分辨率的局部子結構和低分辨率的主體結構，建立不同網格尺度的有限元模型或者解析模型進行獨立求解和集成。文獻[12]在聲介質中三維結構水彈性力學理論（即船舶三維聲彈性理論）[1314]的基礎上，提出了專門用于解決船舶等復雜海洋浮體結構聲彈耦合問題的水彈性子結構分離及集成方法。該方法將船舶結構分解成主船體和內部子結構兩部分，采用水彈性方法實現主船體與水介質的流固耦合求解，通過邊界連接條件完成主船體與子結構的綜合集成。該方法可避免因部分子結構的修改導致整個流固耦合模型重新計算的問題，且在建模方面也只要修改子結構本身，不牽涉主船體模型。因此，特別適用于處理船舶內部子結構（如橫艙壁、鋪板、基座等）振動噪聲傳遞效果分析與優(yōu)化的問題。

經典的水彈性力學分析方法中[1516]，選用具有正交完備性的干模態(tài)（結構在真空中的模態(tài)）作為廣義基函數進行求解，具有物理概念清晰、易于求解和便于后續(xù)計算結果分析的優(yōu)點。該方法在船舶流固耦合領域具有廣泛的應用。同樣，在船舶水彈性子結構分離及集成方法中，主船體結構的振動也采用以干模態(tài)廣義坐標為變量的動力學方程進行描述。當船內子結構的振動采用以空間物理位移為變量的動力學方程進行描述，利用邊界連接條件進行綜合集成時，會遇到模態(tài)空間與物理空間的轉換集成問題。文獻[12]中的方法是直接將主船體與子結構連接部位的力平衡條件代入相應的矩陣方程中，最終形成可顯示求解的矩陣方程維數較大;整個計算復雜度和計算規(guī)模均存在一定的優(yōu)化空間。針對該問題，本文提出了“虛擬模態(tài)”方法，其實質是將主船體結構上的主動力和界面力定義為廣義坐標。該方法在實現主船體結構與內部子結構嚴格耦合的同時，使得最終形成的可顯示求解的矩陣方程維數近似等于主船體結構與內部子結構之間的連接自由度數，從而使整個求解規(guī)模相對較小，計算效率大為提高。

1 基本方程推導

如圖1所示結構，由主體結構和內部子結構兩部分組成。不失一般性，采用該模型論述“虛擬模態(tài)”方法的具體內容。

1.1 主體結構的動力學方程

基于模態(tài)疊加方法，可得頻域內以干模態(tài)主坐標為未知量的主體結構廣義動力學方程-ω2MA+iωCA+KAq=DTAFA1

多數情況下，式（17）所示的矩陣維數近似等于主體結構與內部子結構之間的連接自由度數，因此整個求解規(guī)模相對較小。

多個內部子結構與主體結構集成耦合的操作過程與此類同。

2 算例驗證

采用圖2所示的內部含基座（內部子結構）的彈性圓柱殼（主體結構）計算模型（圖2中左側部分只顯示了該模型的左舷一半），驗證上節(jié)中所述的基于“虛擬模態(tài)”方法的子結構動態(tài)集成的計算精度。模型位于空氣中，圓柱殼的兩端為簡支邊界條件，整個結構的密度為7800 kg/m3，楊氏模量為2.1×1011 N/m2，泊松比為0.3，阻尼損耗因子為0.02，具體尺寸參數如表1所示。

在模型中的1號點上作用單位垂向簡諧激勵力，計算1號點和2號點的垂向振動速度響應。1號點位于基座面板的中部，2號點位于1號點正下方的圓柱殼中部。通過兩個方法進行計算，一種是建立整個結構的有限元模型，采用直接法進行諧響應求解;另一種是采用上述基于“虛擬模態(tài)”的動態(tài)子結構方法進行諧響應求解。計算對比結果如圖3所示。由圖3可見，直接計算結果與動態(tài)子結構計算結果幾乎完全重合，說明本文提出的“虛擬模態(tài)”子結構集成計算方法是正確的并具有較高的計算精度。

3 結 論

本文提出了一種“虛擬模態(tài)”方法，實現了以模態(tài)主坐標為待求量的主體結構與以空間位移為待求量的內部子結構之間的高效率和高精度的動態(tài)集成。該方法可應用于現有的水彈性子結構分離與集成計算，同時也適用于其他領域類似的動態(tài)子結構集成計算問題。通過一個內部含基座的彈性圓柱殼結構振動傳遞的數值算例，驗證了該動態(tài)子結構集成的“虛擬模態(tài)”方法的正確性和適用性。

參考文獻：

[1] 王文亮， 杜作潤. 結構振動與動態(tài)子結構方法[M]. 上海： 復旦大學出版社， 1985.

Wang Wenliang， Du Zuorun. Structure Vibration and Dynamic Substructure Analysis Method[M]. Shanghai： Fudan University Press， 1985.

[2] 殷學綱， 陳 淮， 蹇開林. 結構振動分析的子結構方法[M]. 北京： 中國鐵道出版社， 1991.

Yin Xuegang， Chen Huai， Jian Kailin. Substructure Method for Structure Vibration Analysis[M]. Beijing： China Railway Publishing House， 1991.

[3] 向樹紅， 邱吉寶， 王大鈞. 模態(tài)分析與動態(tài)子結構方法新進展[J]. 力學進展， 2004， 34（3）： 289303.

Xiang Shuhong， Qiu Jibao， Wang Dajun. The resent progresses on modal analysis and dynamic substructure methods[J]. Advances in Mechanics， 2004， 34（3）： 289303.

[4] Suarez L E， Singh M P. Improved fixed interface method for model synthesis[J]. AIAA Journal， 1992， 30（12）： 29522958.

[5] 騫朋波， 尹曉春， 沈煜年， 等. 碰撞激發(fā)彈塑性波傳播的動態(tài)子結構方法[J]. 力學學報， 2012， 44（1）： 184188.

Qian Pengbo， Yin Xiaochun， Shen Yunian， et al. Dynamic substructure method for propagation of elasticplastic wave induced by impact[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2012， 44（1）： 184188.

[6] 諸 赟， 張美艷， 唐國安. 一種基于子結構界面動剛度的模態(tài)綜合法[J]. 振動工程學報， 2015， 28（3）： 345351.

Zhu Yun， Zhang Meiyan， Tang Guoan. A modal synthesis method based upon dynamic stiffness on interface[J]. Journal of Vibration Engineering， 2015， 28（3）： 345351.

[7] 白 斌， 白廣忱， 費成巍， 等. 改進的混合界面子結構模態(tài)綜合法在失諧葉盤結構動態(tài)特性分析中的應用[J]. 機械工程學報， 2015， 51（9）： 7381.

Bai Bin， Bai Guangchen， Fei Chengwei， et al. Application of improved hybrid interface substructural component modal synthesis method in dynamic characteristics analysis of mistuned bladed disk assemblies[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（9）： 7381.

[8] 鄒春平， 陳端石， 華宏星. 船舶結構振動模態(tài)綜合法[J]. 上海交通大學學報， 2003， 37（8）： 12131218.

Zou Chunping， Chen Duanshi， Hua Hongxing. Modal synthesis method of structural vibration analysis of ship[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University， 2003， 37（8）： 12131218.

[9] Soize C. A model and numerical method in medium frequency range for vibroacoustic predictions using the theory of structural fuzzy[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1993， 94（2）： 849865.

[10] Franzoni L P， Park C D. An illustration of analytical/numerical matching with finiteelement analysis for structure vibration problems[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 2000， 108（6）： 28562864.

[11] Park C D. Analyticalnumerical matching for fluidloaded structures with discontinuities[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 2004， 116（5）： 29562968.

[12] 鄒明松， 吳有生. 水彈性子結構分離及集成方法[J]. 船舶力學， 2014， 18（5）： 574580.

Zou Mingsong， Wu Yousheng. A method used for separating and coupling substructure based on hydroelasticity theory and dynamic substructural theory[J]. Journal of Ship Mechanics， 2014， 18（5）： 574580.

[13] 鄒明松， 吳有生， 沈順根， 等. 考慮航速及自由液面影響的聲介質中三維結構水彈性力學研究[J]. 船舶力學， 2010， 14（11）： 13041311.

Zou Mingsong， Wu Yousheng， Shen Shungen， et al. Threedimensional hydroelasticity with forward speed and free surface in acoustic medium[J]. Journal of Ship Mechanics， 2010， 14（11）： 13041311.

[14] 鄒明松. 船舶三維聲彈性理論[D]. 無錫： 中國船舶科學研究中心， 2014.

Zou Mingsong. Threedimensional sonoelasticity of ships[D]. Wuxi： China Ship Scientific Research Center， 2014.

[15] Wu Y S. Hydroelasticity of floating bodies[D]. London： Brunel University， 1984.

[16] Bishop R E D， Price W G， Wu Y S. A general linear hydroelasticity theory of floating structures moving in a seaway[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London A， 1986， 316（1538）： 375426.

[17] 惲偉君， 段根寶， 胡仲根. 模態(tài)綜合超單元法及其在船舶動態(tài)計算中的應用[J]. 上海力學， 1982， （4）：818.

Abstract： In the hydroelastic substructure separation and integration method， the structural vibration of the main hull is described by dynamic equations in terms of the generalized modal coordinates， while the vibration of the internal substructure is expressed with dynamic equations in terms of the geometric coordinates of displacements. When carrying out a synthesis analysis in the light of the boundary connection conditions， there exist compatibility problems between the modal space and the geometric space. In order to deal with this problem， a virtual modal method is proposed in this work. This method will greatly reduce the computational effort for structural integration， with the calculation precision guaranteed at the same time. Theoretically speaking， this virtual modal method is also applicable to problem analogous in some other research areas. Finally， the correctness and applicability of this method are validated through a numerical example.

Key words： structural vibration; dynamic substructure method; fluidstructure interaction; ship vibration

作者簡介： 鄒明松（1982），男，研究員。電話：（0510）85557312;Email：zoumings@126.comZ ··y^