吳榮軍

一類三角Bézier曲線的形狀特征

吳榮軍

(西安郵電大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710121)

在幾何造型的許多應(yīng)用中，良好的曲線形狀應(yīng)該消除不必要的奇點(diǎn)和拐點(diǎn)，因此往往需要預(yù)知與分析參數(shù)曲線的各種形狀特征，以避免出現(xiàn)奇異形狀的設(shè)計風(fēng)險。為了快速確定參數(shù)曲線的形狀特征，利用錐面的齊次性簡化了參數(shù)曲線的形狀條件，得出了一類帶2個形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線的尖點(diǎn)條件錐和2張重結(jié)點(diǎn)邊界條件錐；3張?zhí)卣麇F面及其切平面將特征空間劃分為不同的特征區(qū)域。曲線的形狀特征完全由特征點(diǎn)在特征空間的分布區(qū)域決定。用垂直于坐標(biāo)軸的平面切割特征空間，可得到基于包絡(luò)與拓?fù)溆成浞椒ǖ乃行螤顥l件分布圖。進(jìn)而討論了形狀參數(shù)變化對各特征區(qū)域的影響，相關(guān)結(jié)果可使設(shè)計者明確如何配置控制頂點(diǎn)或者調(diào)節(jié)形狀參數(shù)，使得生成曲線為全局凸或局部凸曲線，或具有所需要的奇點(diǎn)與拐點(diǎn)，或?qū)?dāng)前曲線形狀調(diào)節(jié)為另一種所需的形狀。

三角Bézier曲線；形狀特征；尖點(diǎn)錐；重結(jié)點(diǎn)錐

參數(shù)曲線的形狀特征，主要指曲線的奇點(diǎn)、拐點(diǎn)及凸性。其幾何特征的判定條件對于參數(shù)曲線的形狀控制與調(diào)節(jié)具有重要作用。與之密切相關(guān)的主要研究有仿射不變量方法[1]、基于包絡(luò)和拓?fù)溆成涞姆椒╗2]和基于控制頂點(diǎn)軌跡的幾何刻畫方法[3]。形狀分析法[4-6]對基于包絡(luò)和拓?fù)溆成涞姆椒ㄗ隽搜a(bǔ)充，在相應(yīng)的形狀條件分布圖中區(qū)分出了全局凸和局部凸區(qū)域。3種方法對曲線形狀特征的分析都需要假設(shè)某2個邊向量是不平行的，實(shí)際上，文獻(xiàn)[3]在仿射不變量方法提出后，就曾設(shè)想能否去掉平行假設(shè)，但也沒有解決這一問題；特征空間方法[7]得出了一系列造型曲線的形狀特征判斷條件，其判斷不需要平行假設(shè)。本文討論一類帶形狀參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式Bézier曲線[8-9]的形狀特征，得出的特征空間與已有的Bézier型曲線[7]的特征空間結(jié)構(gòu)類似，不同之處在于，其尖點(diǎn)錐的切平面方程含有形狀參數(shù)，從而使得該曲線形狀參數(shù)的調(diào)節(jié)能力優(yōu)于諸多帶形狀參數(shù)的Bézier型曲線[7]。

1 三角帶參Bézier曲線簡介

2 尖點(diǎn)條件錐

實(shí)際上，由及還可分別得到形式的尖點(diǎn)條件線

《失業(yè)保險條例》規(guī)定的失業(yè)保險保障對象為城鎮(zhèn)企業(yè)事業(yè)單位職工，京津冀一體化背景下河北省城鎮(zhèn)化步伐不斷加快，而新生代農(nóng)民工成為城市職工當(dāng)中的一員，然而，高失業(yè)率的新生代農(nóng)民工對政策了解甚少，出現(xiàn)“應(yīng)保未?！薄ⅰ按鏊降汀币约啊翱鐓^(qū)轉(zhuǎn)移困難”等問題，加深了農(nóng)民工群體的就業(yè)困境。因此，建立長效機(jī)制的農(nóng)民工失業(yè)保險政策應(yīng)重視農(nóng)民工需求，保障農(nóng)民工的權(quán)益，能有效為農(nóng)民工解決后顧之憂，不但讓其“進(jìn)得來”，還要“留得下”。新型城鎮(zhèn)化不僅是戶籍的城鎮(zhèn)化，更重要的是讓農(nóng)民工與城鎮(zhèn)居民同等享有國家政策，給新生代農(nóng)民工落戶城鎮(zhèn)提供更多的機(jī)會。

及

如果將、及看作三維空間的點(diǎn)，那么分別以3點(diǎn)為末端，以原點(diǎn)(0,0,0)為起點(diǎn)所構(gòu)成的向量是相互平行的，并且都與經(jīng)過點(diǎn)

(2) 和原點(diǎn)的直線平行。受該性質(zhì)啟發(fā)，構(gòu)造以這些直線為母線的錐面，由式(2)消去參數(shù)t可得到錐面方程，，y，c2<0或00，那么用–d作為新的特征點(diǎn)進(jìn)行判斷即可，從而可使特征點(diǎn)位置的判斷大為簡化(以下討論僅限于下半空間)。 對高速公路橋梁進(jìn)行養(yǎng)護(hù)這樣的工作對專業(yè)度有要求，公路橋梁出現(xiàn)問題，并不是只要能夠把損毀給彌補(bǔ)就可以了，還要考慮到多個方面的問題，比如如何使用最低的成本來保證養(yǎng)護(hù)的質(zhì)量，如何讓公路橋梁的養(yǎng)護(hù)工作帶來的影響降到最低等等，這些都需要專業(yè)的養(yǎng)護(hù)人員來解決。 6.4 形狀參數(shù)對特征空間的影響 首先，因?yàn)橹亟Y(jié)點(diǎn)邊界錐的切平面的方程式不含形狀參數(shù)，所以形狀參數(shù)變化不影響全局凸區(qū)域(如圖6左下區(qū)域所示)；從而可知，當(dāng)曲線的控制多邊形為全局凸[6]時，無論如何調(diào)節(jié)形狀參數(shù)，曲線始終保持全局凸。 (a) λ=μ=1 (b) λ=μ=0.5 (c) λ=μ=–0.5 圖6 形狀參數(shù)變化對特征空間的影響 如圖6所示，改變形狀參數(shù)，可對3張?zhí)卣麇F面及切平面ci進(jìn)行調(diào)節(jié)。注意到切平面c1與切平面π2的交線為x軸，當(dāng)參數(shù)減小時，切平面c1與π2的夾角隨之減小，當(dāng)時，c1的極限位置就是π2；類似的有，切平面c2與切平面π1的交線為軸，當(dāng)參數(shù)減小時，切平面c2與π2的夾角隨之減小，當(dāng)時，c2的極限位置就是π1。當(dāng)時，尖點(diǎn)錐Fc的極限位置為切平面π1與π2，重結(jié)點(diǎn)邊界錐F1的極限位置為切平面π2，重結(jié)點(diǎn)邊界錐F2的極限位置為切平面π1。所以隨著形狀參數(shù)(或)減小，重結(jié)點(diǎn)區(qū)域L、雙拐點(diǎn)區(qū)域I2以及局部凸區(qū)域相應(yīng)縮??；全局凸區(qū)域N01及單拐點(diǎn)區(qū)域相應(yīng)擴(kuò)大。 本文所得曲線的特征空間，與已有Bézier型曲線[7]的特征空間結(jié)構(gòu)類似，除了具體方程外，最大不同之處在于，通過形狀參數(shù)調(diào)節(jié)尖點(diǎn)錐在邊界處的切平面c1和c2，可對雙拐點(diǎn)區(qū)域I2及重結(jié)點(diǎn)區(qū)域L進(jìn)行壓縮。 圖7(a)~(c)對應(yīng)的控制頂點(diǎn)為b0=[0,0]T， b1=[2,2]T，b2=[0,2]T，b3=[1,1.5]T；相應(yīng)曲線形狀變化說明，當(dāng)控制多邊形是局部凸[6]時，改變形狀參數(shù)可以將曲線形狀調(diào)節(jié)為局部凸。 圖7(d)~(i)中對應(yīng)的控制頂點(diǎn)為b0=[0,0]T，b1=[2,2]T，b2=[0,2]T，b3=[2,0]T；相應(yīng)曲線形狀變化說明，當(dāng)控制多邊形的首末2邊相交時，通過修改形狀參數(shù)可以將曲線的形狀調(diào)節(jié)為全局凸；圖7(d)~(i)的變化顯示了同時減小形狀參數(shù)及時，切平面對區(qū)域的壓縮，使得特征點(diǎn)屬于全局凸區(qū)域N01 (如圖6所示)。 (a) 尖點(diǎn)(λ≠μ)(b) 重結(jié)點(diǎn)(端點(diǎn))(c) 局部凸 (d) 重結(jié)點(diǎn)(內(nèi)部)(e) 尖點(diǎn)(λ=μ)(f) 2個拐點(diǎn) (g) 1個拐點(diǎn)(區(qū)域S2)(h) 1個拐點(diǎn)(區(qū)域S1)(i) 全局凸 圖7 三角Bézier曲線的形狀特征 而已有的諸多Bézier型曲線[7]都不具備這種調(diào)節(jié)能力，因?yàn)槠浼恻c(diǎn)錐的2張切平面分別是及(如圖6(a)所示)。圖7(g)~(h)說明當(dāng)控制多邊形的首末2邊相交時，可通過調(diào)節(jié)形狀參數(shù)使得特征點(diǎn)屬于單拐點(diǎn)區(qū)域S1 (圖7(h))或S2 (圖7(g))。圖7中的各曲線的特征判斷見表1 (其中特征點(diǎn)的計算利用了6.3的簡化性質(zhì))。 上述討論表明，當(dāng)特征點(diǎn)屬于切平面c1與π2 (或者切平面c2與π1)所圍成區(qū)域內(nèi)部時，可通過形狀參數(shù)對曲線P(t)的形狀特征進(jìn)行一定程度的調(diào)節(jié)，特征點(diǎn)越靠近切平面πi，形狀參數(shù)的調(diào)節(jié)能力越強(qiáng)，曲線可選擇的形狀特征越多。 第五個支出是社會保障支出，關(guān)于社會保障支出的主要有以下幾個問題：社會保障支出總量不足；社會保障支出增長緩慢；社會保障支出結(jié)構(gòu)不合理、地區(qū)差異顯著；社會保障基金增值困難、安全隱患。這個具體的數(shù)據(jù)大概說一下：2010年的時候我們國家社會保障支出占GDP的2.28%。這個與同期國家比較，比如說以中等發(fā)達(dá)國家為例，中等發(fā)達(dá)國家社會保障支出比重是30%，我們是2.28%，社會保障構(gòu)建上嚴(yán)重投入不足，今天我們所講的全民享有的、能夠覆蓋13億人口的社會保障體系尚未完全建立起來。 表1 圖7中相關(guān)曲線的特征判斷 序號特征點(diǎn)形狀參數(shù)區(qū)域判斷特征區(qū)域 (a)(–1,–3,–4)λ=0.4927554, μ=1Fc=0尖點(diǎn)錐 (b)(–1,–3,–4)λ=0.9609671, μ=1F2=0重結(jié)點(diǎn)區(qū)域 (c)(–1,–3,–4)λ=1, μ=0.25F2<0, π1>0局部凸區(qū)域 (d)(–4,–8,–4)λ=1, μ=1Fc<0, F1>0, F2>0重結(jié)點(diǎn)區(qū)域 (e)(–4,–8,–4)λ=0.707107, μ=0.707107Fc=0尖點(diǎn)錐 (f)(–4,–8,–4)λ=0.25, μ=0.25Fc>0, c1<0, c2<0雙拐點(diǎn)區(qū)域 (g)(–4,–8,–4)λ=–0.25, μ=0.25c1<0, c2>0單拐點(diǎn)區(qū)域 (h)(–4,–8,–4)λ=0.25, μ=–0.25c1>0, c2<0單拐點(diǎn)區(qū)域 (i)(–4,–8,–4)λ=–0.25, μ=–0.25c1>0, c2>0全局凸區(qū)域 7 結(jié)束語 本文討論了帶2個形狀參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式Bézier曲線的形狀特征判斷問題，得到了該曲線的特征空間，各特征區(qū)域由尖點(diǎn)錐和重結(jié)點(diǎn)邊界錐及其切平面對三維空間劃分而成，特征點(diǎn)由控制多邊形邊向量對應(yīng)的二階行列式構(gòu)成，區(qū)域判斷只涉及特征點(diǎn)關(guān)于錐面及平面的代入計算，因而非常適合于計算機(jī)程序自動判斷；并進(jìn)一步分析了形狀參數(shù)對特征錐及其切平面的調(diào)節(jié)作用。 參考文獻(xiàn) [1] SU B Q, LIU D Y. 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These three characteristic cones and their tangent planes divide the characteristic space into different characteristic regions. The curve's shape features are completely determined by the distribution region which the characteristic point locates in the characteristic space. It is shown that the shape diagrams obtained by the method based on the theory of envelopes and topological mappings can be derived from characteristic space by virtue of planar slices, which are vertical to one of the axes. Furthermore, the influences of shape parameters on the associated characteristic regions are also discussed. The obtained results enable the user to place control points or choose shape parameters so that the resulting curve is globally or locally convex, possessing wanted singularities or inflection points, or enjoying the desired shape features. Keywords: trigonometric Bézier curves; shape features; cusp cones; loop cones 中圖分類號：TP 391 DOI：10.11996/JG.j.2095-302X.2019030549 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2095-302X(2019)03-0549-07 收稿日期：2018-11-15； 定稿日期：2018-12-18 基金項(xiàng)目：陜西省教育廳專項(xiàng)科研項(xiàng)目(14JK1655)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項(xiàng)目(2018JM1054) 第一作者：吳榮軍(1975-)，男，陜西白水人，講師，博士。主要研究方向?yàn)橛嬎銠C(jī)輔助幾何設(shè)計、數(shù)值分析等。E-mail：wrj2140@163.com