田仕芹

[摘 要]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括基礎(chǔ)層面的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，數(shù)學(xué)能力層面的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)交流，數(shù)學(xué)文化層面的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師要讓學(xué)生在探究中經(jīng)歷概念的形成過程、抓住概念的本質(zhì)特征，在命題學(xué)習(xí)中進(jìn)行直觀感知類探究、現(xiàn)實(shí)情境類探究和操作活動(dòng)類探究，并在習(xí)題探究中注重整體思維、動(dòng)態(tài)思維、批判思維和發(fā)散思維的培養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);概念;命題;習(xí)題;探究

數(shù)學(xué)素養(yǎng)一詞早在1956年《數(shù)學(xué)通報(bào)》刊登的一篇蘇聯(lián)文獻(xiàn)的譯稿中就已出現(xiàn)。從20世紀(jì)80年代起，在素質(zhì)教育的進(jìn)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。當(dāng)今世界各國(guó)教育都在聚焦對(duì)于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，小學(xué)階段又是基礎(chǔ)教育的重要學(xué)段，如何理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，又如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是值得探討的問題。

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素分析

數(shù)學(xué)教育學(xué)者關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素，從不同角度展開研究，比較有代表性的觀點(diǎn)有二。其中一種觀點(diǎn)側(cè)重能力。如馬云鵬認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，它既基于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想的反映和體現(xiàn);史寧中重視數(shù)學(xué)學(xué)科的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科主要培養(yǎng)演繹和歸納的邏輯思維，培養(yǎng)相應(yīng)的演繹和歸納推理能力。另一種觀點(diǎn)在重視能力的同時(shí)關(guān)注情感。如張奠宙認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括情感態(tài)度、價(jià)值觀，不只是數(shù)學(xué)能力;桂德懷、徐斌艷認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)情感態(tài)度、價(jià)值觀、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中多次出現(xiàn)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，雖沒有明確界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一術(shù)語，但其中提到的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)卻是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)。

盡管學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延還沒有形成共識(shí)，但有些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分是數(shù)學(xué)教育者共同關(guān)注的。如，基礎(chǔ)層面的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，數(shù)學(xué)能力層面的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)交流，數(shù)學(xué)文化層面的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

數(shù)學(xué)知識(shí)與技能旨在使學(xué)生在解決常規(guī)、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題過程中初步形成問題解決的意識(shí)和能力，是數(shù)學(xué)能力形成的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)運(yùn)算有效整合運(yùn)算技能和邏輯思維，促進(jìn)學(xué)生提高了程序化思考問題能力、邏輯推理能力和思維靈活性;數(shù)學(xué)推理中的演繹推理促使學(xué)生養(yǎng)成尊重客觀事實(shí)的理性精神，合情推理促使學(xué)生養(yǎng)成敢于猜想的創(chuàng)新精神;數(shù)學(xué)抽象使學(xué)生在識(shí)別、歸納數(shù)學(xué)規(guī)律或數(shù)學(xué)問題的過程中形成抽象概括能力;數(shù)學(xué)直觀使學(xué)生在利用圖形描述和思考問題的過程中拓展問題解決的思路與方法，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力和直覺思維能力的形成;數(shù)學(xué)建模使學(xué)生在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求解后在回歸實(shí)際問題的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科、社會(huì)生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力;數(shù)據(jù)分析能力使學(xué)生在收集、判別、整合及運(yùn)用信息和數(shù)據(jù)的過程中養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問題的習(xí)慣，形成理性思考和決策的能力;數(shù)學(xué)交流使學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)語言描述、表達(dá)、解釋數(shù)學(xué)事實(shí)的過程中增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的豐富認(rèn)知和積極情感，在與他人交流對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和觀念的理解的過程中加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，形成數(shù)學(xué)反思意識(shí);數(shù)學(xué)精神有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，提高興趣、增強(qiáng)意志，使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀、價(jià)值觀;數(shù)學(xué)思想與方法使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決過程中完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考能力。

二、讓學(xué)生在探究中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.概念探究

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，它包括個(gè)體的自我建構(gòu)以及個(gè)體與外部交流、協(xié)商、對(duì)話的互動(dòng)建構(gòu)。學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念時(shí)，需要以一個(gè)已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)概念或已有的生活經(jīng)驗(yàn)作為理解概念的邏輯起點(diǎn)，與某個(gè)數(shù)學(xué)概念相關(guān)的特定生活經(jīng)驗(yàn)是認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知根源。如對(duì)平行線的認(rèn)識(shí)，城市里的學(xué)生會(huì)以鐵軌作為認(rèn)知根源，鄉(xiāng)村里的學(xué)生會(huì)以田隴作為認(rèn)知根源。恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知根源是學(xué)生正確理解概念的基礎(chǔ)，教師要尋求符合學(xué)生實(shí)際情況的認(rèn)知根源，促進(jìn)他們理解概念、建構(gòu)概念。

在概念探究中，要讓學(xué)生經(jīng)歷感知、分析、比較和抽象的過程，以歸納方式概括出概念的本質(zhì)特征，通過比較厘清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。例如，在教學(xué)“平行四邊形”時(shí)，先請(qǐng)學(xué)生觀察課件中的平行四邊形，獨(dú)立思考它們的共同特征，并與同桌交流;然后將學(xué)生分成4～5人一個(gè)小組，思考這些共同特征的驗(yàn)證方法，并匯報(bào)展示;再請(qǐng)學(xué)生觀察課件中的平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形和六邊形，厘清平行四邊形和長(zhǎng)方形、正方形的區(qū)別與聯(lián)系。學(xué)生在觀察、思考、概括、分類、交流等探究過程中，感悟了平行四邊形的本質(zhì)特征。又如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)”時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生沿“比——一部分與另一部分之間的關(guān)系”和“數(shù)——以有理數(shù)形式出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)”兩條主線展開探究，其中會(huì)涉及四個(gè)層面：比率——部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系、度量——分?jǐn)?shù)單位的累積、運(yùn)算——一個(gè)運(yùn)算的過程、商——分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運(yùn)算的結(jié)果。學(xué)生在探究中獲得對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。

2.命題探究

數(shù)學(xué)中的命題，包括公理、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)等。教師要適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生提供“先行組織者”材料，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)、有意識(shí)地聯(lián)系舊知識(shí)，積極探索、領(lǐng)會(huì)和發(fā)現(xiàn)命題。教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀感知類探究、現(xiàn)實(shí)情境類探究和操作活動(dòng)類探究。

（1）直觀感知類探究

數(shù)學(xué)直觀，既是數(shù)學(xué)抽象思維的問題信息源，又是途徑信息源。教師可以借助圖形、表格、案例、影像等直觀感性材料，促使學(xué)生的思維在豐富、生動(dòng)的直觀信息支持下被激活。

例如，在教學(xué)“圓的面積”時(shí)，教材上是通過將圓分割成小扇形，將圓面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積。事實(shí)上，教師可以在課堂上呈現(xiàn)直觀圖形，即半徑為[r]的圓及它的外切正方形，引導(dǎo)學(xué)生先比較正方形的周長(zhǎng)，再結(jié)合正方形的面積，猜測(cè)圓的面積。學(xué)生通過比較，易猜想到圓的面積為[S圓=πr2]。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將圓面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積驗(yàn)證猜想。

（2）現(xiàn)實(shí)情境類探究

數(shù)學(xué)源于、高于、用于生活現(xiàn)實(shí)。學(xué)生認(rèn)知中最根深蒂固的部分就是生活中經(jīng)常接觸和用到的知識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)要適度回歸生活，針對(duì)具體內(nèi)容創(chuàng)設(shè)與學(xué)生日常生活相關(guān)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)展開探究，使他們感受到數(shù)學(xué)就在身邊，以有效地觸發(fā)學(xué)生的思維興奮點(diǎn)，培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)情感。

例如，在教學(xué)“商不變規(guī)律”時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境：“學(xué)校即將舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，班里的同學(xué)和老師都積極準(zhǔn)備，他們?cè)诓煌匈I了同一種礦泉水。王華在甲超市花12元買了6瓶，周老師在乙超市花24元買了12瓶，李倩在丙超市花6元買了3瓶;鄒老師在丁超市花30元買了15瓶。誰買的最便宜？”學(xué)生在熟悉的生活情境中展開探究，通過列式計(jì)算、比較，探索出商不變規(guī)律。

（3）操作活動(dòng)類探究

學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的過程中，只有親身參與教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。為了促使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)技能，教師應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知水平、心理特征和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象概括，運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行判斷。

例如，在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，教師可以提問：能否畫出有兩個(gè)角是直角的三角形？能否畫出三個(gè)角分別為[30°、50°、80°]的三角形？學(xué)生嘗試失敗，電腦演示也畫不出這樣的三角形。這是為什么呢？學(xué)生已經(jīng)隱約感到三角形的三個(gè)角之間有某種內(nèi)在的聯(lián)系，教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生通過量、剪拼、折的方式再展開探究。又如，在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，教師課前安排學(xué)生準(zhǔn)備以下學(xué)具：圓形紙片、紙杯、硬幣、細(xì)繩、直尺、三角尺。課上請(qǐng)學(xué)生先用自己喜歡的方式測(cè)量圓的周長(zhǎng)和直徑，探究圓的直徑和周長(zhǎng)之間的關(guān)系，然后借助課件生動(dòng)直觀地演示周長(zhǎng)和直徑的關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想。

3.習(xí)題探究

問題是數(shù)學(xué)的心臟。在習(xí)題探究中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促使學(xué)生養(yǎng)成“數(shù)學(xué)地思維”的習(xí)慣，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷觀察、類比、直覺、想象、歸納、抽象、運(yùn)算、推理、反思等數(shù)學(xué)思維過程，有助于學(xué)生理解和體悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（1）基于整體思維的探究

整體思維體現(xiàn)在尋找問題解決的思路、方法和途徑中，從整體角度出發(fā)，挖掘各個(gè)元素之間的聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的整體分析和思考能力，可以避免因拘泥于問題的局部而使解題受阻。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從宏觀角度進(jìn)行整體分析，在塊狀思維中把握各個(gè)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，促使問題有效解決。

問題一：[求12+14+18+…+116的值]。

常規(guī)解法是按順序依次通分求和，但過程煩瑣。教師可引導(dǎo)學(xué)生將整體“1”平均分成兩份，取其中的1份，即[12]，再將剩下的[12]平均分成兩份，取其中的1份，即[14]，如此繼續(xù)下去，就能發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于1- [116]，即[1516]。

問題二：有20元紙幣和50元紙幣共40張，合計(jì)1250元，20元紙幣和50元紙幣各有多少?gòu)垼?/p>

這個(gè)問題與雞兔同籠問題類似。教師可引導(dǎo)學(xué)生從整體思考，假設(shè)40張紙幣全為20元，則合計(jì)應(yīng)為800元，比1250元少450元。由于1張50元紙幣比1張20元紙幣多出30元，450÷30=15（張），所以50元紙幣有15張，20元紙幣有40-15=25（張）。同理，也可假設(shè)40張紙幣全為50元求解。

（2）基于動(dòng)態(tài)思維的探究

動(dòng)態(tài)思維是相對(duì)于靜態(tài)思維而言的，較之墨守成規(guī)、機(jī)械的靜態(tài)思維，動(dòng)態(tài)思維更注重從運(yùn)動(dòng)變化的角度把握問題的本質(zhì)，注重對(duì)問題的辯證分析，靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題。

問題三：楊老師早上8：00上班。一天，楊老師從家出發(fā)前算了一下，此時(shí)如果步行，將遲到6分鐘;如果騎自行車，可以提前3分鐘到達(dá)。已知楊老師步行每分鐘行100米，騎自行車每分鐘行200米。這天楊老師是什么時(shí)候從家出發(fā)的？

有些學(xué)生拘泥于不知道家到學(xué)校的距離而思維受阻。教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維進(jìn)行探究，假設(shè)楊老師是在8：00前t分鐘出發(fā)的，t分鐘內(nèi)楊老師一直在步行或騎自行車，如果步行，他離學(xué)校還有6分鐘的路程;如果騎自行車，他超出學(xué)校3分鐘的路程。由題目中給出的步行和騎自行車的速度，可得到t分鐘內(nèi)騎自行車比步行多行的路程，由此求出t。