周麗

[摘 要]研究除法里的商不變規(guī)律時(shí)，學(xué)生很容易理解“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相同的倍數(shù)，商不變”就代表結(jié)果不變，但是一旦涉及余數(shù)，學(xué)生就難以把握。余數(shù)隨著被除數(shù)和除數(shù)的變化而同步變化，對(duì)于“商不變，但是余數(shù)變了，商和余數(shù)共同決定的結(jié)果到底變不變”這個(gè)問題，需要將余數(shù)作為除數(shù)（份數(shù)）“共有”的來考慮。

[關(guān)鍵詞]商;不變;余數(shù); 變

蘇教版教材第六冊(cè)的期末測試卷上有這樣一道計(jì)算題“612[÷]2[÷]4=？”，多數(shù)學(xué)生是依照正常順序展開計(jì)算的，如612[÷]2[÷]4=306[÷]4=76……2，少數(shù)學(xué)生另辟蹊徑：612[÷]2[÷]4=612[÷]4[÷]2=153[÷]2=76……1;612[÷]2[÷]4=612[÷]（2[×]4）=612[÷]8=76……4。上述三種解法，孰對(duì)孰錯(cuò)？眾說紛紜。當(dāng)然，多數(shù)教師支持第一種解法，理由是這種解法恪守運(yùn)算順序。筆者以為，教師的首要任務(wù)是查明現(xiàn)象背后的情由，反思：我們拿什么來評(píng)判對(duì)錯(cuò)？出現(xiàn)這種亂象，如何撥亂反正？筆者經(jīng)過深入思考，有如下感觸。

一、探求學(xué)生計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)

“連除”是蘇教版教材第六冊(cè)第一章的內(nèi)容，教材提供了問題情境，示范的兩種算法均是分步演算，沒有直接呈示類似“224[÷]2[÷]4”的綜合算式。之所以這樣設(shè)計(jì)，是為了讓學(xué)生結(jié)合情境圖領(lǐng)會(huì)分步計(jì)算的邏輯性，而非展示“連除”的運(yùn)算順序。教材呈現(xiàn)兩種算法的公共支點(diǎn)是“平均分”。先看第一種算法：224[÷]2=112，112[÷]4=28;第二種算法：2[×]4=8，224[÷]8=28。以上分步算式為綜合算式“224[÷]2[÷]4”的推出帶來哪些幫助？

在第一種算法中，兩次求商，正好暗合了綜合算式“224[÷]2[÷]4”自左到右的計(jì)算次序，而第二種分步算法采用不同的思路，第一步先算2[×]4的積，即用乘法求出書架總層數(shù)，再直接求出每一層書架上放的書本數(shù)。這種做法預(yù)示著在算式“224[÷]2[÷]4”中，將兩個(gè)除數(shù)求積，再除被除數(shù)。

而對(duì)于先除以4再除以2的變式，仍是利用平分的經(jīng)驗(yàn)，即把一樣物品先等分成2份再等分成4份，與先等分成4份再等分成2份，分配的結(jié)果并無不同，只是分配的方式方法不一樣，這幾乎成為一條不證自明的公理。從事理上可以這樣演繹：先把兩個(gè)書架組合成一個(gè)大書架，這樣組合而成的大書架仍是4層，224本書均勻分散到4層書架上，每層書架放置幾本？列式便是224[÷]4，結(jié)果得56本，而每層書架都分為左右兩部分，因此，對(duì)于求一個(gè)單獨(dú)書架一層放置幾本書，必然用56[÷]2得28本了。

反觀教材習(xí)題，不論是計(jì)算題還是應(yīng)用題，采用上述三種算法均可，因?yàn)榻滩闹刑峁┑姆独?，無論怎么算都能整除。而上述測試卷給出的算式“612[÷]2[÷]4=”無論采用哪種算法，最終都不能整除。由于三種算法余數(shù)各不相同，教師便誤以為計(jì)算結(jié)果不同，非對(duì)即錯(cuò)。當(dāng)然，如果學(xué)過了小數(shù)除法，用小數(shù)表示得數(shù)，三種算法的結(jié)果必然一致。

看來問題出在數(shù)據(jù)設(shè)置上，假若將后一個(gè)除數(shù)4更替為3，無論是在什么情境下，其結(jié)果都是一個(gè)確定整數(shù)值，此時(shí)也就無異議了。

二、探析三種算法本質(zhì)上的共通性

連除計(jì)算和應(yīng)用，是對(duì)“除法意義”的擴(kuò)展與延伸。學(xué)生對(duì)“除法的認(rèn)識(shí)”是研究“連除性質(zhì)”的基礎(chǔ)?！耙粋€(gè)數(shù)接連除以兩個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)），等于除以這兩個(gè)數(shù)（或這幾個(gè)數(shù)的積）”，本質(zhì)就是重復(fù)“平均分”。對(duì)一個(gè)數(shù)無論是多次均分，還是一次性分配徹底，只要最后總份數(shù)相同，每份數(shù)也必然相等。按照這種認(rèn)識(shí)，上文提到的三種算法都有道理，從帶余數(shù)除法的性質(zhì)和商不變規(guī)律來看，三個(gè)結(jié)果雖然表面形式不一樣，其結(jié)果指代的意義其實(shí)是一樣的。

例如，“612[÷]2[÷]4=306[÷]4=76……2”“612[÷]4[÷]2=153[÷]2=76……1”和“612[÷] （2[×]4）=612[÷]8=76……4”，這三種算法的第二步算式中，被除數(shù)變?yōu)?06、153和612，除數(shù)則分別為4、2和8，不徹底商均為76，余數(shù)分別為2、1和4，都遵守“余數(shù)要比除數(shù)小”的原則，也滿足商不變的規(guī)律。如“153[÷]2=76……1”“306[÷]4=7……2”“612[÷]8=76……4”，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)增大2倍，商維持76不變，但是此時(shí)余數(shù)隨之?dāng)U大2倍。

必須指出的是：就帶余除法而言，該怎么界定？筆者認(rèn)為，上述三種算法中的“商76”嚴(yán)格上都算不上確切結(jié)果，如“把306顆糖果平均分給4名兒童”，如果說“每名兒童分到76顆”不夠嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該捎上余數(shù)，說“每人分到76顆，還剩下2顆”。教師不能偏執(zhí)地認(rèn)為，三個(gè)余數(shù)不同，三個(gè)算式的結(jié)果也不一樣，要明晰每個(gè)余數(shù)的意義，要把“余數(shù)”這個(gè)數(shù)值代表的實(shí)際意義放到情境中來考慮。如對(duì)于算式“153[÷]2=7……1”，不妨這樣理解：把612本書等分為4批，每批153本，把8名學(xué)生等分為4撥，每撥2人，一撥人分一批書，也就是153本書平均分給2名學(xué)生，每人分得76本，還剩下1本，這1本是每撥人共剩下1本，4撥人共剩下4本;同樣，把612本書等分成2批，每批306本，將8名學(xué)生等分成2撥，每撥4人，一撥人分一批書，也就是306除以4，每人分到76本（另一撥也一樣），余下2本，這2本是這一撥人共同剩下的，另一撥人也剩下2本，還是共剩下4本。于是上述三個(gè)算式結(jié)果是一樣的。也就是說，比較余數(shù)大小時(shí)，要結(jié)合除數(shù)考慮，在等分除里，余數(shù)是除數(shù)“共有”的，不能說“153 [÷]2=76……1”的余數(shù)“1”要比“306[÷]4=76……2”的余數(shù)“2”小，應(yīng)該說2人“共有”1本書與4人“共有”2本書是一碼事。

三、用長遠(yuǎn)的眼光看待“帶余除法”教學(xué)

“帶余除法”是第四冊(cè)的內(nèi)容，教材是通過分配物品的活動(dòng)讓學(xué)生實(shí)踐得出“余數(shù)要比除數(shù)小”的結(jié)論。筆者認(rèn)為，這種教法很膚淺，不能讓“帶余除法”遷移至后續(xù)的商為小數(shù)的除法的學(xué)習(xí)，不能貫通有余除法與平均分之間的緊密聯(lián)系。

因此，首次接觸“余數(shù)”時(shí)，為了給“余數(shù)”留出發(fā)展空間，教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)豐富商和余數(shù)的含義，為后續(xù)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)埋下伏筆。如增設(shè)這樣的環(huán)節(jié)：9塊餅干等分給2個(gè)小孩，每人分到幾塊？分完了嗎？列式計(jì)算：9[÷]2=4（塊）……1（塊）;18塊餅干平分給4個(gè)小孩，每人分得幾塊？列式計(jì)算：18[÷]4=4（塊）……2（塊）。然后教師追問：“兩次分配，餅干數(shù)增加了一倍，人數(shù)也增加了一倍，每人分到手的餅干數(shù)還是那么多嗎？第一次分配的余數(shù)是1塊，第二次分配的余數(shù)是2塊，能說明第二次剩下的餅干比第一次剩下的餅干多嗎？第一次剩下的1塊餅干是幾人共同占有？第二次剩下的2塊餅干是幾人共同占有？如果將剩下的餅干繼續(xù)平分，每個(gè)人二次分到的餅干量和最終分到的餅干量相等嗎？”

當(dāng)然，第一次學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，由于數(shù)域的擴(kuò)展，學(xué)生明白一塊餅干可以繼續(xù)分下去，雖然結(jié)果無法用“1”來表示，卻可以用分?jǐn)?shù)或小數(shù)來表示。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該用長遠(yuǎn)的眼光來實(shí)施小數(shù)除法教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的余數(shù)經(jīng)驗(yàn)，再聯(lián)系學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)知，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)小數(shù)除法的理解。

（責(zé)編 黃春香）