童思友 高 航 劉 銳 陳學國

(①海底科學與探測技術教育部重點實驗室，山東青島 266100；②青島海洋科學與技術國家實驗室海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島 266061；③中國石油化工股份有限公司勝利油田分公司，山東東營 257100)

0 引言

地震資料的隨機噪聲通常源于儀器、環(huán)境及信號采集時的諸多因素，降低了地震資料的信噪比和分辨率[1]。壓制隨機噪聲的主要目的是分離有效信號與噪聲及保持有效信號的波形[2]。根據(jù)有效信號和噪聲在視速度、頻率等方面的差異，相繼出現(xiàn)了F-X反褶積、Radon變換、小波分析、模態(tài)分解等去噪方法[3-6]。近年來，小波變換以優(yōu)越的時頻聚焦特性迅速從數(shù)學、信號處理拓展到各個領域，但其在一維信號的優(yōu)良特性并不適用于高維，對方向的不敏感使信號表征存在局限[7-8]。

隨著多尺度幾何分析方法的不斷發(fā)展、成熟，逐漸用于地震勘探領域，為高保真去噪提供了豐富的數(shù)學基礎及新思路。多尺度幾何分析也稱多分辨率分析[9]，最早由Rosenfeld等提出，具有多分辨率、局部化、多方向性及各向異性等特征，可更好地表征信號的局部特征，并實現(xiàn)信號的稀疏表示，在去噪和壓縮方面具有明顯優(yōu)勢。近年來相繼出現(xiàn)了Ridgelet[10]、Curvelet[11]、Contourlet[12]、Shearlet[13]等變換的多尺度幾何分析方法，其中Shearlet變換以優(yōu)越的多分辨率特性在中國發(fā)展迅速，已廣泛用于圖像處理領域，并取得了良好效果[14-17]。同樣，Shearlet變換的多分辨率、多方向性等特性在地震數(shù)據(jù)去噪中也獲得較好的應用效果[18-20]。

Shearlet變換通過對變換系數(shù)設定閾值約束分離信噪，其中閾值函數(shù)至關重要。目前常用的閾值函數(shù)對多尺度、多方向的Shearlet變換局限性很大，會造成噪聲壓制不徹底或損失有效信號等問題。為此，本文將信噪比與閾值函數(shù)有機關聯(lián)，在不同尺度下基于信噪比約束自適應求取閾值，實現(xiàn)自適應去噪。在保證有效信號不受損失的情況下，恢復被噪聲掩蓋的弱信號，有效地改善去噪效果。

1 方法原理

1.1 Shearlet變換

Shearlet變換[21]是通過特定形式的合成膨脹仿射系統(tǒng)構造的一種多尺度幾何分析工具，是小波變換的高維擴展，具有接近最優(yōu)的非線性誤差逼近性能，數(shù)學結構嚴謹，計算復雜度低。Shearlet變換由拉普拉斯金字塔變換和方向濾波器組構成。設

式中：A為尺度矩陣，根據(jù)拋物尺度準則劃分尺度，其中a>0為尺度參數(shù)；B為剪切矩陣，進行方向剖分，其中s(整數(shù))為剪切參數(shù)。令j、l、k分別代表尺度、方向和系數(shù)位置序號，則由j、l、k定義的實數(shù)域連續(xù)可積函數(shù)為

ψj,l,k(x)=|detA|j/2ψ(BlAjx-k)

(1)

x為自變量。若使ψ滿足Parseval框架，則信號函數(shù)f∈L2(R2)的連續(xù)Shearlet變換為

SHf(j,k,l)=〈f,ψj,l,k〉

(2)

通過對參量j、l、k的控制實現(xiàn)不同尺度、不同方向的剖分，該過程相當于由平移、伸縮、旋轉后的基函數(shù)逼近信號函數(shù)。在頻域中，每一對Shearlet基函數(shù)都有一對楔形支撐區(qū)間，隨尺度因子變小而變窄(圖1)。

圖1 Shearlet基函數(shù)頻域支撐區(qū)間(據(jù)文獻[8]修改)

1.2 利用Shearlet變換壓制隨機噪聲

1.2.1 Shearlet變換去噪原理

根據(jù)Shearlet變換的多尺度、多方向性特點，地震數(shù)據(jù)經(jīng)過Shearlet變換會得到一系列不同尺度、不同方向的Shearlet系數(shù)。若Shearlet基函數(shù)的方向越逼近有效信號，則Shearlet系數(shù)越大；若基函數(shù)的方向與信號方向偏差越大，則Shearlet系數(shù)越小。由于隨機噪聲不具有方向性，所以經(jīng)Shearlet變換后所得系數(shù)較小。利用閾值函數(shù)去掉較小的Shearlet系數(shù)，保留較大的部分，就能壓制隨機噪聲，再進行Shearlet反變換得到去噪后的記錄。獲得Shearlet系數(shù)的流程(圖2)為： ①利用拉普拉斯金字塔變換多尺度剖分信號，得到低、高頻子帶；②進行多方向分解，并在高頻子帶的偽極坐標進行傅里葉變換；③用Meyer函數(shù)濾波步驟②得到的結果；④對低頻子帶循環(huán)進行步驟①～③；⑤在笛卡爾坐標系對濾波數(shù)據(jù)進行快速傅里葉反變換，得到Shearlet變換系數(shù)。

圖2 Shearlet變換流程

1.2.2 自適應閾值函數(shù)

在閾值類去噪方法中，閾值選取和閾值函數(shù)設計直接影響去噪效果。傳統(tǒng)的閾值選取方法是對所有變換域系數(shù)使用統(tǒng)一閾值，但對Shearlet變換而言，各尺度、各方向的有效信號和噪聲均存在差異，因此全局硬閾值存在一定局限性[22-23]。局部閾值則根據(jù)一定范圍內(nèi)的系數(shù)分布情況確定。本文在局部閾值的基礎上改進貝葉斯閾值，形成一種適用于Shearlet變換的自適應閾值函數(shù)。

貝葉斯閾值是Chang等[24]利用小波系數(shù)的廣義高斯分布提出的一種具有自適應性的閾值函數(shù)，其公式為

(3)

(4)

式中σn由中值估計法得到

(5)

(6)

(7)

σd為Shearlet系數(shù)的均方根；S(j,l,k)為Shearlet系數(shù)；n為某尺度、某方向Shearlet系數(shù)的個數(shù)。式(4)由不同尺度、不同方向的σn、σs及λj共同確定，λj與信噪比相關

(8)

SNR(j)為不同尺度Shearlet系數(shù)單獨構成的地震信噪比，由相鄰地震道互相關求得

(9)

式中：Qi,i+1為第i道和第i+1道互相關函數(shù)最大值；Qi,i(0)為第i道自相關函數(shù)最大值；N為道數(shù)。

確定閾值后即可調(diào)節(jié)Shearlet系數(shù)

(10)

式中S、Snew分別為閾值處理前、后的Shearlet系數(shù)。自適應閾值函數(shù)方法通過將信噪比作為閾值設定的因素，即不同信噪比的權值系數(shù)不同，可以自適應求取不同尺度閾值，最大限度地改善去噪效果，避免有效信號損失。

2 模型試算與實際資料應用

2.1 模型試算

為測試Shearlet變換自適應閾值方法(下稱本文方法)的去噪效果，首先進行模擬數(shù)據(jù)試算。圖3展示了模擬單炮記錄去噪效果。由圖可見：采用全局硬閾值方式的Curvelet變換方法雖然去除了大部分高斯隨機噪聲，但仍有部分殘留，效果不佳(圖3c)；Shearlet變換全局閾值方法去噪效果較明顯，基本壓制了高斯隨機噪聲(圖3d)；本文方法去噪結果的信噪比進一步提高(圖3e)。

表1展示了不同方法去噪前、后信噪比，可以看出本文方法的去噪效果更好。圖4為不同方法去噪前、后的殘差剖面。由圖可見：采用Curvelet變換全局閾值(圖4a)、Shearlet變換全局閾值(圖4b)去噪方法在深度較大的位置(紅圈區(qū)域)造成有效信號損失，信號的保真度較低；采用本文方法去噪的殘差剖面上不存在有效信號(圖4c)，去噪結果(圖3e)與模擬單炮記錄(圖3a)基本一致。

表1 不同方法去噪前、后信噪比

2.2 實際資料應用

為進一步檢驗本文方法的有效性，選取A區(qū)陸地三維地震資料測試隨機噪聲壓制效果。該區(qū)的偏移地震數(shù)據(jù)雖經(jīng)過初步處理，但仍含有較強隨機噪聲，致使目標層局部有效弱信號被噪聲淹沒。圖5為Inline 100629剖面Shearlet變換不同尺度的地震記錄。由圖可見，不同尺度的有效信號與噪聲分布存在差異(即信噪比不同)，因此采用傳統(tǒng)的閾值方法去噪存在局限性。截取Inline 100629剖面中深部區(qū)域(圖6a的黑框區(qū)域)進行去噪，圖6為實際地震記錄去噪效果。由圖可見：經(jīng)各種方法去噪后隨機噪聲得到有效壓制、信噪比得到提高，其中Shearlet變換全局閾值(圖6d)較Curvelet變換全局閾值(圖6c)的去噪效果好，局部弱信號得到恢復(紅圈區(qū)域)，但部分有效信號仍受噪聲干擾，去噪效果不佳；經(jīng)本文方法去噪后，弱信號更清晰、連續(xù)，明顯提高了信噪比(圖6e)。圖7為Shearlet變換信噪比改善程度—閾值曲線。由圖可見：傳統(tǒng)全局硬閾值求取方法采用黑色豎線與各尺度曲線交點處的值作為閾值，沒有考慮各尺度的信噪特征；圖中4條曲線的標注點對應的縱坐標數(shù)值為本文方法確定的閾值。

圖4 不同方法去噪前、后的殘差剖面

圖5 Inline 100629剖面Shearlet變換不同尺度的地震記錄

圖6 實際地震記錄去噪效果

圖7 Shearlet變換信噪比改善程度—閾值曲線

本文方法通過求取各尺度分量的信噪比，并將其作為約束條件，獲得符合多尺度、多分辨率特征的閾值，去噪記錄保真度更高。

為了更好地體現(xiàn)本文方法的自適應性，圖8給出了Inline 100629剖面不同方法去噪前、后的殘差剖面。由圖可見：采用Curvelet變換全局閾值(圖8a)、Shearlet變換全局閾值(圖8b)去噪方法雖然有效地壓制了噪聲，但由于受各尺度閾值設定的單一性限制，去噪程度基本一致；本文方法處理的殘差剖面中出現(xiàn)較明顯的弱能量區(qū)(紅圈區(qū)域)，這是由于目標層有效信號區(qū)域的初始信噪比較高(紅圈區(qū)域中與有效信號混在一起的隨機噪聲已得到初步壓制)所致，意味著采用本文方法的去噪效果不明顯，充分體現(xiàn)了去噪的自適應特點。

圖8 Inline 100629剖面不同方法去噪前、后的殘差剖面

表2為不同區(qū)域去噪前、后信噪比。由表可見，原始剖面中信噪比不同的區(qū)域使用本文方法去噪后信噪比基本相同，這也說明自適應閾值函數(shù)通過計算局部信噪比約束去噪效果，可避免有效信號的損失，使剖面質(zhì)量明顯提高。

表2 不同區(qū)域去噪前、后信噪比

3 結束語

Shearlet變換作為一種多尺度幾何分析新方法，較小波變換等傳統(tǒng)信號分析方法具有更多優(yōu)良特性，且運算效率高。另外，針對地震數(shù)據(jù)去噪過程中傳統(tǒng)全局閾值方法的局限性，本文通過改進自適應閾值函數(shù)壓制隨機噪聲，在模型試算與實際資料應用中取得了滿意的去噪效果，驗證了方法的可行性和有效性。

尚需指出，目前Shearlet變換自適應閾值方法僅利用了Shearlet變換的多方向、多分辨率特性，其優(yōu)良的稀疏特性同樣值得進一步探索并用于地震數(shù)據(jù)處理領域，如嘗試將Shearlet變換稀疏性與壓縮感知理論結合，以期得到更好的去噪或拓頻方法等。

在模型試算與實際地震資料處理中使用了中國石油集團東方地球物理公司提供的GeoEast軟件，在此表示感謝。