董立磊，李開明，葛帥帥，舒 陽

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

0 引言

目前，分析并聯(lián)機構的動力學特性，主要是分析機構的受力、速度和加速度、以及分析機構動平衡，現(xiàn)階段動力學建模以及參數(shù)分析的理論已經(jīng)成熟，但是對并聯(lián)機構的振動特性的研究卻有些不足[1]。目前研究振動特性的主要方法為理論方法、實驗方法以及二者結合的方法，實驗方法主要是辨識系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)，但由于并聯(lián)機構自由度、耦合性以及非線性的程度都比較高，因此用理論方法進行振動特性研究是非常復雜的[2]。目前的許多研究是建立在系統(tǒng)的小位移的變化，忽略并聯(lián)機構的支鏈質量和慣性等非線性的因素，將系統(tǒng)線性化來建立系統(tǒng)的振動學模型，趙強[3]和Kozak K[4]等通過對并聯(lián)機構進行靜力學分析來構造機構位姿的剛度和阻尼矩陣，并進一步建立機構的線性振動微分運動方程，王偉等[5]通過拉格朗日方法建立機構的動力學方程，進而分析系統(tǒng)的固有頻率特性。

簡化并聯(lián)機床的振動模型，運用達朗貝爾原理和一階影響系數(shù)矩陣來建立并聯(lián)機床的多自由度振動系統(tǒng)的微分運動方程，應用ANSYS Workbench分析并聯(lián)機床的模態(tài)，仿真計算機床的固有頻率，并通過MATLAB軟件對機床的前三階固有頻率的分布進行仿真分析，確定相對形變較大的位置。

1 機構描述

三平動冗余驅動并聯(lián)機床的三維實體模型與結構簡圖如圖1所示。機床主要包括定平臺、冗余驅動線性模組、動平臺以及3組伸縮桿(即運動支鏈)。上下兩組運動支鏈通過鉸鏈連接動平臺和定平臺。中間一組運動支鏈通過鉸鏈連接動平臺與冗余驅動線性模組上的滑塊，冗余驅動線性模組固定在定平臺的中間位置，此結構可增大機床的工作空間。

圖1 3-2SPS并聯(lián)機床三維模型和結構簡圖

2 機床動態(tài)特性分析基礎

對于一個n自由度的線性振動系統(tǒng)，其運動微分方程的一般表達式為：

(1)

2.1 并聯(lián)機床振動模型的建立

將復雜的電動缸分為四個相互連接由彈簧、質量塊組成的單自由度振動系統(tǒng)[6]。并作如下假設：①將機床的機架與動平臺看為絕對剛體，不會產(chǎn)生形變；②機床的動平臺位姿為特定的狀態(tài)，機床不會產(chǎn)生大幅度的動態(tài)變化。以上述假設為基礎，可以簡化并聯(lián)機床的振動模型，如圖2所示。

圖2 并聯(lián)機床振動模型

2.2 并聯(lián)機床振動系統(tǒng)微分方程的建立

這里假設動平臺在穩(wěn)定狀態(tài)下的位姿變化不大，以并聯(lián)機床動平臺為研究對象，由虛功原理可知，整個機床系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)生的虛功為零，即動平臺虛位移產(chǎn)生的虛功等于支鏈虛位移產(chǎn)生的虛功[7]。各支鏈虛位移所做虛功W1：

W1=fT·l=f1·l1+f2·l2+f3·l3+f4·l4+f5·l5+f6·l6

動平臺虛位移所做虛功W2：

由虛功原理可得：W1=W2

l=GT·q

(2)

對式(2)分別求一階導和二階導得：

(3)

則支鏈微分振動方程的矩陣形式為:

(4)

其中，支鏈質量矩陣:

支鏈阻尼矩陣:

支鏈剛度矩陣:

以動平臺為研究對象，建立關于動平臺的力，力矩平衡方程[8]：

(5)

聯(lián)立成矩陣形式：

(6)

其中，mp為并聯(lián)機床動平臺質量，Ip為動平臺慣性矩矢量。

可得機床的振動系統(tǒng)的微分運動方程：

(7)

其中，M(q)=[MI+G·[ml·GT

c(q)=G·[cl·GT

K(q)=G·[kl·GT

3 自由振動下機床模態(tài)分析

3.1 自由振動下機構固有頻率分析

并聯(lián)機床系統(tǒng)固有頻率由自身固有參數(shù)決定，系統(tǒng)的固有頻率包括有阻尼的固有頻率以及無阻尼的固有頻率兩種類型[9]。所有的振動系統(tǒng)都是有阻尼的，并且會對機構的振動特性有一定的影響，但當系統(tǒng)的阻尼很小時，其對系統(tǒng)的固有頻率的影響可以忽略，因此研究并聯(lián)機床系統(tǒng)無阻尼狀態(tài)下的固有頻率。

([k-w2[m){u}={o}

(8)

上式是一個關于{u}的n元線性齊次方程組，方程組有非零解的前提條件是系數(shù)行列式的值等于零，即△(w2)=|kij-w2mij|=0，即為系統(tǒng)的頻率方程。

系統(tǒng)無阻尼自由振動情況下的振動微分方程是：

(9)

其中，[M=[mp+G[mGT，[C=G[cGT，[K=G[kGT

為得到系統(tǒng)固有頻率，設：

{q(t)}={u}f(t)

(10)

其中，f(t)是依賴于時間的實函數(shù)，{u}是空間位置函數(shù)。

將式(10)代入式(9)得：

(11)

(12)

從而可得到系統(tǒng)的頻率方程為：

(13)

3.2 機構自由振動固有頻率仿真分析

通過上述對并聯(lián)機床進行的理論分析，建立了機床的振動學模型。而機床的動態(tài)特性指標包括固有頻率和振型等，固有頻率與機構自身有關，不受外載荷的影響[10]。因此，研究機構振動學特性可對機構進行模態(tài)分析，了解機構的振動特性，分析機床的固有頻率與相應的振型。

利用ANSYS有限元分析軟件仿真機構的模態(tài)，可以得出機構的振動特性，得出并聯(lián)機構的低階固有頻率和相應的振型，對并聯(lián)機床進行模態(tài)仿真分析，其各階振型如圖3所示。

(a) 1階固有頻率 (b) 2階固有頻率

(c) 3階固有頻率 (d) 4階固有頻率

(e) 5階固有頻率 (f) 6階固有頻率 圖3 機構各階振型圖

通過有限元分析得出，并聯(lián)機床的第1階固有頻率是67.254Hz，機床的振型狀態(tài)是動平臺和支鏈在x軸的方向上來回擺動，上機架向x軸的正方向上偏移，在動平臺和伸縮桿內(nèi)套筒處產(chǎn)生最大位移；機床的第2階固有頻率是120.34Hz，振型狀態(tài)是伸縮桿在z軸方向上來回擺動，而動平臺則繞著x軸進行擺動，在動平臺與二級伸縮桿處產(chǎn)生最大位移；機床的第3階固有頻率是141.68Hz，振型狀態(tài)是支鏈在x軸的方向上來回擺動，而動平臺則繞著z軸進行擺動，在動平臺和一級伸出套筒的連接處產(chǎn)生最大位移；第4階固有頻率是149.23Hz，振型狀態(tài)是伸縮桿1和伸縮桿2在z軸的方向來回擺動，在動平臺與伸縮桿3的一級伸出套筒處產(chǎn)生最大位移；第5階固有頻率是152.41Hz，其振型狀態(tài)是伸縮桿1和伸縮桿2在z軸的方向上來回擺動，在動平臺與伸縮桿2的伸出套筒處產(chǎn)生最大位移；第6階固有頻率是160.72Hz，振型狀態(tài)是上下兩組伸縮桿在x軸的方向上來回擺動，而中間的兩伸縮桿則在z軸的方向上擺動，動平臺則繞著y軸的方向擺動。機床模態(tài)有限元分析的結果如表1所示。

表1 模態(tài)分析結果

根據(jù)上述模態(tài)分析結果可知，在忽略機床床身振動影響前提下，支鏈的振動特性對機構整體的影響最大。并且機構的前3階固有頻率即可體現(xiàn)機構動態(tài)特性，機床中的每條運動支鏈剛度較低，從機床的剛度角度和振動角度來看，運動支鏈為薄弱環(huán)節(jié)，因此改善運動支鏈的靜態(tài)性能和動態(tài)性能對于提高機床靜態(tài)性能與動態(tài)性能有著重要的作用。

通過MATLAB對機床的前3階固有頻率進行建模分析，并作以下設定：取g=-400mm，將掃描截面取作y=800mm，-100mm≤x≤1000mm，-550mm≤

z≤550mm，步長取△l=20mm，通過分析可以得出機床的固有頻率分布情況，如圖4所示。

(a) 1階固有頻率 (b) 2階固有頻率

(b) 3階固有頻率

通過機床的前3階固有頻率分布圖可以看出：機床的第1階固有頻率隨著y坐標的增大而增大；隨著x坐標的增大而先增大后減小。機床的第2階固有頻率和1階固有頻率分布規(guī)律相似，2階固有頻率的變化速率相對于1階固有頻率較小。機床的第3階固有頻率與前2階固有頻率的分布規(guī)律恰好相反。

由上述分析結果可知，機床在x軸方向上的剛度較為薄弱，通過結合ANSYS與MATLAB的仿真結果，可以更好地預測機構的固有頻率在并聯(lián)機床工作空間中的分布規(guī)律。

4 總結

以3-2SPS并聯(lián)機床為研究對象，分析并簡化并聯(lián)機床的振動模型，運用達朗貝爾原理和一階影響系數(shù)矩陣來建立并聯(lián)機床的多自由度振動系統(tǒng)的微分運動方程，應用ANSYS Workbench有限元分析軟件對并聯(lián)機床進行模態(tài)仿真分析，總結機構的前6階固有頻率與振型規(guī)律，并通過MATLAB軟件對影響機床振動特性的前3階固有頻率的分布進行仿真建模，得出機構的固有頻率在機床的工作空間中的分布規(guī)律。確定結構形變較大的位置。研究結果為并聯(lián)機床的減振技術的研究提供了理論依據(jù)，具有一定的參考意義。