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(山東省莒南縣板泉鎮(zhèn)龐疃小學)

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。特別是20世紀中葉以來，數(shù)學與計算機技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與實際問題的橋梁，是數(shù)學在各個領域廣泛應用的媒介，是數(shù)學科學技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑。這為當前加強數(shù)學建模教學教育帶來了機遇與挑戰(zhàn)。

一、義務教育階段加強學生數(shù)學建模能力培養(yǎng)的重要性

數(shù)學建模是一種創(chuàng)造性活動，也是一種解決現(xiàn)實問題的量化手段。數(shù)學建模和傳統(tǒng)數(shù)學相比較，數(shù)學建模彌補了傳統(tǒng)數(shù)學的不足，在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力方面發(fā)揮著巨大的作用。數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。數(shù)學教學要讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。

近幾年，不僅每年高考都出了應用題，中考也加強了應用題的考察，這些應用題以數(shù)學建模為中心，以考察學生應用數(shù)學的能力。但從教學的反饋信息看，初中生對應用題普遍感到害怕，在應用題中的得分率遠低于其他題，原因之一就是學生缺乏數(shù)學建模能力和應用數(shù)學意識。特別是文字較多、背景復雜的應用題更是束手無策。模型思想的建立能夠為學生解決這一問題。通過建立和求解模型，能夠引導學生從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。

二、義務教育階段數(shù)學模型的建立過程

數(shù)學模型方法的操作程序大致可以歸納為五步法，具體為：分析問題、選擇建模方法、推導模型的數(shù)學表達式、求解模型和回答問題。教學中要根據(jù)課程內(nèi)容，科學設計運用數(shù)學知識解決問題的活動。這樣的活動應體現(xiàn)“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創(chuàng)新意識。

由此，培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力，關(guān)鍵是把實際問題抽象為數(shù)學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學模型，然后再把數(shù)學模型納入某知識系統(tǒng)去處理。這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷地引導學生用數(shù)學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學模型，達到運用數(shù)學模型來解決實際問題，使建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。

在教學中還要結(jié)合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建?！薄皥D解法建?！薄爸?曲)線擬合法建?！保ㄟ^討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，使學生拓寬視野，增長知識，積累經(jīng)驗。

三、義務教育階段數(shù)學模型建立的途徑探索

(一)低起點，樹信心

為了克服學生對應用題的懼怕心理，教師要根據(jù)學生實際，降低起步難度，例題分析清楚，講解仔細，分步到位。對較難的應用題，要設置過渡性問題，讓學生分層遞進。例如：

在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子？

說明：這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學段，討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對于模型的理解。

利用一元一次方程解決此問題時，可以引導學生通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于學生理解方程的意義，體會建模的過程。假設椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為16-a，把例32中的表移過來并用字母代替：

這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60，可以通過嘗試的方法，解得a=12，也可以解方程求解。

對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。

從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。學生思考并解決以上問題后，就不難選擇合適的模型來解決這個實際問題了。

(二)豐富生活知識，增強建模意識

數(shù)學來源于生活服務于生活，數(shù)學建模問題往往不是單純的數(shù)學問題，它涉及到其它學科知識及生活知識。所以教師要查閱資料、收集信息，千方百計拓寬自己的知識面，同時鼓勵學生多接觸社會，豐富自己的生活閱歷，為正確建立數(shù)學模型，奠定必要的基礎。為了培養(yǎng)學生對解應用題的興趣，教師要根據(jù)學生已有知識改編書上例題背景，盡可能設置與學生息息相關(guān)的生活背景，捕捉社會熱點問題讓學生去解決問題，使學生感受到數(shù)學無處不在，生活中離不開數(shù)學，從而增強學生的建模意識。

(三)注重模型歸類，提高建模能力

初中階段常用的數(shù)學模型有方程和不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、三角形模型等。教師要注重模型的歸類，特別是學業(yè)考試復習，更應根據(jù)不同模型進行分類復習。使學生能根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個明確數(shù)學關(guān)系，正確運用方程思想、函數(shù)思想，解決不同的實際問題。在同一個生活背景下，讓學生靈活應用方程、不等式、函數(shù)等來解決不同的實際問題，使學生體會到數(shù)學的應用價值，并提高學生數(shù)學建模的能力。

例題：某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。

說明：這是一個分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個例子。一般來說，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應當畫圖，并且關(guān)注分段點處函數(shù)的變化情況。

可以分組討論三種方法，然后讓學生分析比較。

總之，建立數(shù)學模型的過程，就是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。義務教育階段數(shù)學課程的設計，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數(shù)學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。