李德奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué)理科教學(xué)部,甘肅定西743000)

1 引言

1990 年,Pecora 和Carroll 首次提出了混沌同步概念并實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步[1],為混沌同步的理論研究及應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).近年來,混沌同步得到許多學(xué)者的廣泛研究,并提出了許多混沌同步方法[2?5].理論上能夠?qū)崿F(xiàn)混沌系統(tǒng)的各種同步,如完全同步、投影同步、相同步等.大多數(shù)混沌系統(tǒng)同步就要對其全部狀態(tài)變量施加較復(fù)雜的線性或非線性控制器[6?8],實際應(yīng)用中混沌同步是較難實現(xiàn)的,主要原因是混沌系統(tǒng)的內(nèi)隨機性和外部不確定因素的干擾,同時系統(tǒng)內(nèi)部的不確定性和系統(tǒng)的狀態(tài)變量較多,對其全部狀態(tài)變量實施控制是不現(xiàn)實的.

為此,設(shè)置最簡單的控制器,控制盡可能少的系統(tǒng)狀態(tài)變量,實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量同步是混沌同步研究的不懈的追求．劉洪娟等人研究了參數(shù)未知的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)中的混合同步現(xiàn)象[9],僅通過對一個變量實施線性反饋控制,實現(xiàn)了統(tǒng)一混沌系統(tǒng)同步．然而線性反饋控制要測試反饋增益系數(shù)的大小,反饋系數(shù)過大或過小都會影響系統(tǒng)的同步.文獻[10]基于反饋線性化方法對R?sler 混沌系統(tǒng)的一個變量實施控制,將混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個線性系統(tǒng).

文獻[11]提出的單參數(shù)Chen 系統(tǒng),該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式簡單,且只含有一個系統(tǒng)參數(shù),同時當唯一的參數(shù)a=8 時,系統(tǒng)正的Lyapunov 指數(shù)為2.475.因此該系統(tǒng)具有較強的混沌特性,同時電路實現(xiàn)容易,在保密通信領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價值.

基于以上討論,本文根據(jù)非線性系統(tǒng)相對階的概念和Lie 導(dǎo)數(shù)運算方法,應(yīng)用反饋線性化策略,對單參數(shù)Chen 系統(tǒng)進行部分狀態(tài)線性化,同時設(shè)計控制器僅對響應(yīng)系統(tǒng)的一個變量實施控制,實現(xiàn)單參數(shù)Chen 系統(tǒng)的同步.

2 非線性系統(tǒng)反饋線性化的條件

考慮一個受控的n 維輸入輸出系統(tǒng)

式中x=[x1(t),x2(t),···,xn(t)]T∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;f:Rn→Rn和g:Rn→Rn為光滑向量場,u ∈R1為系統(tǒng)的控制輸入;h:Rn→Rn為光滑的輸出函數(shù).

系統(tǒng)(2.1)的反饋線性化問題是尋找坐標變換z=φ(x)和控制器u=α(x)+β(x)v,將系統(tǒng)(2.1)變?yōu)榫€性系統(tǒng)其中v 為變換后的系統(tǒng)控制輸入.為了給出系統(tǒng)(2.1)的線性化條件.下面首先介紹相對階的概念.

定義1設(shè)x0∈X,如果存在x0的鄰域V 和r ∈Z+,使得系統(tǒng)(2.1)滿足下列條件

那么稱系統(tǒng)(2.1)在點x0具有相對階r,其中Lfh(x)=?hf 為函數(shù)h(x)對f(x)的Lie 導(dǎo)數(shù),Lie 導(dǎo)數(shù)Lfh(x)是h(x)沿著向量f 方向的方向?qū)?shù)且有

對系統(tǒng)(2.1)的輸出y 求導(dǎo),并根據(jù)(2.2)式,得出相對階r 與輸入量u 的關(guān)系為

由(2.4)式表明,如果系統(tǒng)(2.1)具有相對階r,則系統(tǒng)輸出的小于r 階的導(dǎo)數(shù)與輸入u 無關(guān),只有系統(tǒng)輸出的r 階導(dǎo)數(shù)與輸入u 有關(guān).若系統(tǒng)(2.1)沒有相對階,則即系統(tǒng)的輸出與輸入u 無關(guān).

不是所有的系統(tǒng)都可進行線性化,可線性化的系統(tǒng)需要滿足一定的條件,下面給出系統(tǒng)(2.1)可線性化的一個充分必要條件.

定理1n 維非線性系統(tǒng)可線性化的充分必要條件是存在一個光滑函數(shù)h(x),使得系統(tǒng)

在x0點具有相對階n.

定理1 給出了系統(tǒng)(2.1)可線性化的充分必要條件,定理1 的證明較復(fù)雜,這里不再敘述,證明過程見文獻[11].如果定理1 的條件被滿足,則存在坐標變換

和系統(tǒng)的控制輸入

其中v 是新的輸入

將系統(tǒng)(2.1)變?yōu)榫€性系統(tǒng)

3 單參數(shù)Chen 系統(tǒng)的反饋線性化

單參數(shù)Chen 系統(tǒng)[12]的動力學(xué)方程為

其中x1,x2,x3為狀態(tài)變量,a 是系統(tǒng)參數(shù).當a=32 時,系統(tǒng)(3.1)就演變成了Chen 混沌系統(tǒng);當參數(shù)a=8 時,由Kaplan-Yorke 猜想公式,計算出系統(tǒng)(3.1)的維數(shù)D=2.18,說明系統(tǒng)(3.1)具有分數(shù)維.此時系統(tǒng)(3.1)的Lyapunov 指數(shù)為λ1=?13.23,λ2=?10,λ3=2.22.說明當參數(shù)a=8 時,系統(tǒng)(3.1)處于混沌狀態(tài),具有如圖1 所示的奇怪吸引子.

圖1:單參數(shù)Chen 混沌系統(tǒng)的奇怪吸引子

將系統(tǒng)(3.1)看作是驅(qū)動系統(tǒng),受控的響應(yīng)系統(tǒng)描述為

根據(jù)系統(tǒng)相對階的定義和響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的各階Lie 導(dǎo)數(shù)(3.4)可以看出,響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的相對階為r=2.根據(jù)(2.6)式,得到響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的坐標變換為

將響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)部分狀態(tài)線性化為

下面相應(yīng)地對驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)進行線性化,取z1=x1=λ(x),則有

驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)通過坐標變換

可轉(zhuǎn)化為下列形式

4 單參數(shù)Chen 系統(tǒng)的同步

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的同步誤差為

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)(3.9)和響應(yīng)系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)(3.6)的誤差為

其中K=(k1,k2)的選取使得多項式P3(s)=s2+k2s+k1是Hurwitz 穩(wěn)定的.

定理2在控制器(4.3)的控制作用下,驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和受控的響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)能夠?qū)崿F(xiàn)同步.

證根據(jù)(4.2)式,坐標變換后的誤差系統(tǒng)為

將(3.6)式和(3.9)式代入(4.4)式可得

將(4.3)式和(4.5)式得

將(3.5)式和(3.8)式代入同步誤差(4.1)式和(4.2)式可得

當e1→0、e2→0 時,有從而e3=e?3t→0.綜上可得,當t →∞時,ei→0(i=1,2,3),從而在控制器(4.3)作用下,驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)實現(xiàn)全部狀態(tài)完全同步.

5 數(shù)值仿真

取參數(shù)a=8,此時系統(tǒng)(3.1)處于混沌運動狀態(tài),取K=[4,4],初值條件分別為和同步控制器(4.3)重寫為

采用四階龍格–庫塔方法,用控制器(5.1)控制響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的第二個狀態(tài)變量,所得驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的同步誤差曲線如圖2 所示.

圖2:驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)同步誤差曲線圖

由圖2 可知,驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的同步誤差ei(i=1,2,3)都快速趨向0,說明利用控制器(5.1)僅對響應(yīng)系統(tǒng)的第二個狀態(tài)變量實施控制,驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)就能快速實現(xiàn)全部狀態(tài)同步.

在不同初值條件[x1(0),x2(0),x3(0)]=[10,?0.2,0.1]和=[12,2,5]下,在同一坐標系中做出驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)的狀態(tài)變量(x1,x3)和受控響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)的狀態(tài)變量的相圖(如圖3 所示),其中實線圖表示驅(qū)動系統(tǒng)的相圖,虛線圖表示響應(yīng)系統(tǒng)的相圖.

圖3:驅(qū)動系統(tǒng)（3.1）和受控的響應(yīng)系統(tǒng)（3.2）的相圖

由圖3 可知,驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和受控的響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)在不同的初值條件下,它們的相圖軌線很快趨于重合,說明它們實現(xiàn)了同步.

6 結(jié)論

根據(jù)任意非線性輸入輸出系統(tǒng)相對階的定義,給出了n 維非線性系統(tǒng)反饋線性化的充分必要條件是相對階r=n.也就是說系統(tǒng)的相對階2 ≤r

基于狀態(tài)線性化系統(tǒng),實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步是混沌同步的研究方法之一.同時,控制盡可能少的狀態(tài)變量,實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的全部狀態(tài)同步是混沌同步控制的不懈追求.一般情況下,要實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的全部狀態(tài)同步,就要對其全部狀態(tài)變量實施控制.然而對單參數(shù)Chen 系統(tǒng)進行部分狀態(tài)線性化的過程中,通過對誤差系統(tǒng)的分析發(fā)現(xiàn),僅對響應(yīng)系統(tǒng)的第二個狀態(tài)變量實施控制,就能實現(xiàn)單參數(shù)Chen 系統(tǒng)的全部狀態(tài)同步,數(shù)值仿真也表明理論分析的正確性和同步控制器的有效性,這也是本文的創(chuàng)新所在.當然對于一個可線性化的多參數(shù)混沌系統(tǒng),是否僅對其一個狀態(tài)控制就能實現(xiàn)其全部狀態(tài)同步呢?這要通過對誤差系統(tǒng)的具體分析來確定.