韋祥，李本威，吳易明

(1.海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001；2.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司, 河南 洛陽(yáng) 471039)

軸承振動(dòng)狀態(tài)監(jiān)控是保證旋轉(zhuǎn)機(jī)械正常運(yùn)行的重要手段，其監(jiān)控方法應(yīng)具備對(duì)狀態(tài)變化的敏感性以及發(fā)現(xiàn)早期故障并預(yù)警的能力。由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，以及間隙、摩擦、潤(rùn)滑、彈性變形等非線性因素的影響，整個(gè)軸承系統(tǒng)具有非常復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為[1]。建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)方程并對(duì)其響應(yīng)進(jìn)行求解，從理論角度對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行研究困難重重。

目前，對(duì)軸承振動(dòng)特性的研究以振動(dòng)信號(hào)分析為主，普遍采用時(shí)域、頻域振動(dòng)總量作為振動(dòng)狀態(tài)監(jiān)控的參數(shù)[2]。此類方法的監(jiān)控信息過(guò)于單一，一些早期故障,甚至故障發(fā)展至一定程度后，仍不能通過(guò)振動(dòng)總量反映，而且軸承運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與振動(dòng)總量之間沒(méi)有必然的映射關(guān)系。傳統(tǒng)的頻譜分析、偽相圖等狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法相比振動(dòng)總量可以揭示更多的信息，但也只能在事后做出初步、定性的判斷[3-4]。

隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，最大Lynapunov指數(shù)[5]、分形維數(shù)[6]、熵等非線性動(dòng)力學(xué)指數(shù)逐漸用于機(jī)械狀態(tài)監(jiān)控和故障診斷。利用響應(yīng)時(shí)域波形“規(guī)則程度(或稱復(fù)雜度)”和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)、運(yùn)行狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)不同故障種類、故障程度的特征提取是一種可行的方法。結(jié)合上述理論，提出了一種基于復(fù)雜性測(cè)度的軸承振動(dòng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)方法，以Lempel-Ziv復(fù)雜度(LZC)[7]和近似熵(ApEn)[8]作為信號(hào)復(fù)雜性測(cè)度的參量，以實(shí)現(xiàn)軸承早期微弱故障的預(yù)警。

1 復(fù)雜性測(cè)度

1.1 LZC

LZC可以度量類隨機(jī)有限長(zhǎng)度序列的復(fù)雜性，其利用序列本身具有子串?dāng)?shù)量的多少定義序列的復(fù)雜度，序列具有子串的個(gè)數(shù)越多，復(fù)雜度越高。但初始LZC二值粗?；瘜?dǎo)致表征精度不高，因此提出了多值粗?；痆9]的方法。

1.1.1 將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列。

設(shè)原時(shí)間序列為{x1,x2,…,xn}，求出該序列的最大值xmax和最小值xmin，設(shè)l為序列粗?；亩螖?shù)(當(dāng)l=2時(shí)為經(jīng)典二值粗粒化方法)，令d=(xmax-xmin)/l。對(duì)分割的區(qū)間進(jìn)行符號(hào)化處理，數(shù)據(jù)落入該區(qū)間則被標(biāo)記為該符號(hào)，其原理如圖1所示，可以表示為

圖1 多分段符號(hào)化方法原理

(1)

式中：{a(j)|j=1,2,…,l}為字符集。

從圖1可以看出，多分段符號(hào)化方法在將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列的過(guò)程中會(huì)丟失原始信號(hào)的細(xì)節(jié)信息，例如圖中第3至第7個(gè)點(diǎn)在時(shí)間序列中的幅值明顯不同，而符號(hào)序列均用1表示，抹平了序列的細(xì)節(jié)。原理上講，分段數(shù)越多，信息量損失越小，表征越精確。不同分段數(shù)符號(hào)序列重構(gòu)Mexihat函數(shù)的對(duì)比情況如圖2所示(為便于圖示，曲線進(jìn)行了歸一化處理)。分段數(shù)l=2時(shí)，只保留了Mexihat函數(shù)的大致形貌，信息損失較多，當(dāng)l=50時(shí)基本較好地還原了Mexihat函數(shù)。對(duì)于l的選取，l越大，精度越高，計(jì)算效率也越低，工程應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體需求選取。

圖2 不同分段數(shù)符號(hào)序列重構(gòu)原信號(hào)

符號(hào)序列S=s1s2…sn的LZC計(jì)算過(guò)程如下：

1)S,Q分別代表2個(gè)字符串,SQ表示將S,Q相加組成的總字符串,SQP表示將SQ中最后一個(gè)字符刪去所得的字符串。令V(SQP)表示SQP中所有不同子串的集合。

2)對(duì)于具體的符號(hào)序列，假定S=s1s2…sr,Q=sr+1,其中r+1=n。若Q∈V(SQP),則表示sr+1是S=s1s2…sr字符串的子串,此時(shí)S不變,將Q更新為Q=sr+1sr+2,再判斷Q是否屬于V(SQP)。此過(guò)程中,由于S不變但Q得到了更新,因此SQP也隨之更新,如此反復(fù)進(jìn)行,直到Q?V(SQP)時(shí)中止。

3)設(shè)此時(shí)Q=sr+1sr+2…sr+i,即表明sr+1sr+2…sr+i不是s1s2…srsr+1sr+2…sr+i-1的子串。然后將上述Q組合到S中,使S更新為S=s1s2…srsr+1sr+2…sr+i,此時(shí)Q=sr+i+1。

4)重復(fù)以上步驟,直到Q取到最后一位為止。這樣就將S分為了C(n)個(gè)不同的子串，C(n)即為該序列的復(fù)雜度。

1.2 ApEn

ApEn反映了時(shí)間序列在模式上的自相似程度以及維數(shù)變化時(shí)產(chǎn)生新模式的可能性。ApEn值越大，說(shuō)明產(chǎn)生新模式的概率越大，序列越復(fù)雜，系統(tǒng)可預(yù)測(cè)性越差。ApEn給出新模式發(fā)生率隨維數(shù)增減的情況，從而反映數(shù)據(jù)在結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性。其計(jì)算方法如下：

1)對(duì)時(shí)間序列{U(i),i=1,2,…,n}進(jìn)行相空間重構(gòu)，重構(gòu)維數(shù)為m，據(jù)此構(gòu)造一組維數(shù)為m的新向量X(1),X(2),…,X(N-m+1)，其中X(i)={u(i),u(i+1),…,u(i+m-1)}，i=1,2,…,N-m+1。

2)計(jì)算任意向量X(i)與其余向量X(j)之間的相對(duì)歐式距離d[X(i),X(j)]。

6)近似熵的估計(jì)值定義為

ApEn(m,r)=Φm(r)-Φm+1(r),

(2)

ApEn的取值與m和r有關(guān)，r=(0.1～0.2)σ，σ為原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，m取值范圍通常為[2，5][8]。具體應(yīng)用中參數(shù)的選取具有一定主觀性，經(jīng)過(guò)大量計(jì)算，雖然取值不同導(dǎo)致結(jié)果的數(shù)值有一定差異，但這種差異對(duì)于動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的表征影響并不顯著。

2 復(fù)雜性測(cè)度系統(tǒng)穩(wěn)定性的定量判定

通過(guò)復(fù)雜性測(cè)度實(shí)現(xiàn)軸承振動(dòng)狀態(tài)監(jiān)控，首要問(wèn)題是驗(yàn)證ApEn和多值粗?；疞ZC對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的定量度量能力。相軌跡能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定性與運(yùn)動(dòng)模式的相關(guān)信息，研究動(dòng)力系統(tǒng)的行為歸結(jié)為在相空間中研究軌線的行為。利用目前研究較為成熟的Duffing系統(tǒng)為對(duì)象，研究復(fù)雜性測(cè)度與穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的定量關(guān)系。

一個(gè)典型受迫Duffing系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為[11-13]

(3)

圖3 Duffing方程典型狀態(tài)下的相軌跡

圖4 Duffing方程典型狀態(tài)下的時(shí)域圖

圖5 Duffing方程典型狀態(tài)下的頻域圖

從圖中可以看出，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜程度可通過(guò)相軌線及時(shí)、頻域信號(hào)綜合反映。具體表現(xiàn)為：1)系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)域信號(hào)波形顯示出周期性；f為0.21和0.80時(shí)，時(shí)域信號(hào)為類正弦信號(hào)，頻域信號(hào)以基頻為主，具有少量的諧波分量；f為0.51和0.65時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出時(shí)域信號(hào)具有周期性質(zhì)的不規(guī)則波形，頻域信號(hào)以基頻為主，多階諧波共存的情況。2)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，時(shí)域信號(hào)表現(xiàn)出高度不規(guī)則性，頻域信號(hào)出現(xiàn)大量的諧波和次諧波;高階頻和次諧波的出現(xiàn)說(shuō)明系統(tǒng)具有更加豐富的運(yùn)動(dòng)情況，信號(hào)中也包含更多的信息，即復(fù)雜度更高。

綜上分析可知，振動(dòng)信號(hào)波形不規(guī)則程度與相軌線復(fù)雜性、頻譜復(fù)雜性成正相關(guān)。計(jì)算不同激勵(lì)條件下Duffing方程的復(fù)雜度時(shí)，選取Runge-Kutta法求解穩(wěn)定后的3 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)雜度計(jì)算，其中計(jì)算ApEn時(shí)m=5，r=0.15σ，計(jì)算Lempel-Ziv時(shí)l=50。LZC和ApEn對(duì)于Duffing系統(tǒng)典型狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)模式的復(fù)雜性度量情況見(jiàn)表1。由表可知，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時(shí)復(fù)雜度較低，處于混沌態(tài)時(shí)復(fù)雜度較高。多值粗粒化LZC和ApEn對(duì)Duffing系統(tǒng)周期穩(wěn)定性和混沌運(yùn)動(dòng)有著精確的表征和良好的區(qū)分度。

表1 Duffing方程典型狀態(tài)下的復(fù)雜度

為進(jìn)一步驗(yàn)證LZC和ApEn動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)表征的精確性，以Logistic映射為對(duì)象，驗(yàn)證復(fù)雜性測(cè)度對(duì)Logistic映射穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)→不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)→周期→混沌這4個(gè)不同的演化階段的表征情況。

Logistic映射方程為

xn+1=axn(1-xn)，

(4)

式中：3.5≤a≤4.0；步長(zhǎng)為0.001；n=3 000。

Logistic映射分叉圖，Lyapunov指數(shù)的理論值，LZC，ApEn如圖6所示。從圖中可以看出，LZC，ApEn與Lyapunov指數(shù)對(duì)Logistic映射周期不動(dòng)點(diǎn)窗口位置及寬度度量結(jié)果完全相同，在整個(gè)區(qū)間內(nèi)與Lyapunov指數(shù)保持高度相似的變化規(guī)律。Logistic處于周期不動(dòng)點(diǎn)窗口時(shí)復(fù)雜性測(cè)度數(shù)值較低，Logistic分叉到混沌階段復(fù)雜性測(cè)度數(shù)值較高，符合Logistic映射的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)變化規(guī)律。說(shuō)明LZC和ApEn是一種精確、可靠的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)表征參量，對(duì)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)變化敏感，可用于機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)控。

圖6 Logistic映射動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)表征

3 復(fù)雜性測(cè)度的早期故障監(jiān)測(cè)

軸承故障初期，由于損傷很小(磨損、裂紋等)，產(chǎn)生的故障信號(hào)不太強(qiáng)烈，在振幅和頻域上表征不明顯，現(xiàn)有的振動(dòng)監(jiān)控手段難以實(shí)現(xiàn)早期預(yù)警。從動(dòng)力學(xué)角度分析，當(dāng)軸承處于某一穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，信號(hào)包含的信息量是一定的。當(dāng)軸承某一部件產(chǎn)生故障時(shí)，導(dǎo)致信息量和內(nèi)在動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的變化，因此通過(guò)檢測(cè)內(nèi)在動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的變化即可對(duì)早期故障進(jìn)行檢測(cè)。

采用美國(guó)智能維數(shù)系統(tǒng)中心(IMS)的軸承疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)[14-15]進(jìn)一步研究復(fù)雜性測(cè)度的早期故障預(yù)警能力。試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖7所示，試驗(yàn)軸承為ZA-2115型雙列滾子軸承，試驗(yàn)轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，通過(guò)彈簧裝置加載26.67 kN的徑向載荷，采樣頻率20 kHz，每隔10 min采集一次，采樣點(diǎn)數(shù)為20 480個(gè)。試驗(yàn)從2月12日11:16:18運(yùn)行至2月19日06:22:39，共采集984個(gè)文件數(shù)據(jù)。從軸承1的每個(gè)文件中選取3 000個(gè)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)雜度計(jì)算，ApEn中m=4，Lempel-Ziv中l(wèi)=500，歸一化的復(fù)雜度和實(shí)測(cè)信號(hào)如圖8所示，為便于圖示，數(shù)據(jù)進(jìn)行了y軸平移處理。

圖7 試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

圖8 軸承早期故障檢測(cè)

從圖中可以看出，ApEn和LZC在測(cè)量的第533個(gè)文件處檢測(cè)到狀態(tài)突變，并在第703個(gè)文件檢測(cè)到了故障明顯加劇。之后故障程度加深，振幅明顯加大，軸承明顯進(jìn)入加速失效階段，最終造成疲勞失效(圖9)。

圖9 軸承拆解后的外圈故障

4 結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，直接度量信號(hào)波形復(fù)雜度可以從動(dòng)力學(xué)角度實(shí)現(xiàn)軸承運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和早期故障的監(jiān)測(cè)。Duffing系統(tǒng)復(fù)雜性度量的結(jié)果表明，多值粗?；疞ZC和ApEn可實(shí)現(xiàn)周期信號(hào)和混沌信號(hào)的定量判別，可定量判定系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)還是非穩(wěn)定狀態(tài)。通過(guò)實(shí)測(cè)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行早期微弱故障預(yù)警，試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明ApEn和LZC可對(duì)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)突變進(jìn)行檢測(cè)，是一種有效的軸承早期微弱故障預(yù)警手段。由于軸承振動(dòng)信號(hào)超高采樣頻率導(dǎo)致大量數(shù)據(jù)處理的負(fù)擔(dān)，如何提高動(dòng)力學(xué)參數(shù)計(jì)算效率，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)軸承實(shí)時(shí)狀態(tài)監(jiān)控是后續(xù)研究的重要方向。