倪萍，許超超，何軍，滕念管

超高速磁浮車-軌道梁豎向耦合振動分析

倪萍，許超超，何軍，滕念管

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

針對超高速磁浮車-軌道梁豎向耦合振動的問題，提出一種基于軌道梁有限單元模型和磁浮力比例-積分-微分(PID)控制器模型的分析方法。為提高計算效率，整體耦合系統(tǒng)以磁浮力為界，分為車輛和軌道梁2個子系統(tǒng)，車-梁之間的振動耦合則通過PID控制器計算的磁浮力來完成。組成耦合系統(tǒng)的子系統(tǒng)分別采用振型分解法和四階龍格庫塔法計算其振動響應(yīng)。為驗證方法的有效性以及了解超高速磁浮車橋耦合振動特性，使用Mathematica編程進行超高速磁懸浮車-軌道梁的耦合振動分析，得到運行速度為600 km/h的車輛和軌道梁的動力響應(yīng)。研究成果可為超高速磁浮軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計和關(guān)鍵技術(shù)研究提供參考。

磁懸?。?00 km/h超高速；車?梁耦合振動；電磁力；PID控制器

磁懸浮列車是一種無接觸的地面軌道交通系統(tǒng)，它以速度快、爬坡能力強、轉(zhuǎn)彎半徑小、經(jīng)濟環(huán)保等優(yōu)勢被認為是21世紀交通工具發(fā)展的方 向[1]。隨著2016年長沙中低速磁浮快線的正式運營，我國磁浮技術(shù)實現(xiàn)了從研發(fā)到應(yīng)用的全覆蓋。在中低速磁懸浮列車[2?4]取得可喜研究進展的同時，國家也在對時速600 km的超高速磁懸浮列車的關(guān)鍵技術(shù)和設(shè)備國產(chǎn)化實施科研攻關(guān)[5]，從而充分發(fā)揮磁懸浮列車高速運行的優(yōu)勢，開發(fā)超高速磁浮交通方式，拓展磁浮交通的應(yīng)用領(lǐng)域。隨著速度的明顯提高，超高速磁浮系統(tǒng)對軌道的振動響應(yīng)有更高的要求。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對磁懸浮車軌耦合振動進行了大量的研究。CAI等[6]以兩質(zhì)量塊組成二系懸掛系統(tǒng)及簡化移動荷載?軌道梁模型，分析了彈性軌道梁與高速磁浮列車耦合振動。時瑾等[7]以德國Transrapid高速磁浮鐵路系統(tǒng)為基礎(chǔ)，建立了高速磁浮車輛-軌道梁動力模型。詹旋裕[8]建立了二系懸掛的車橋耦合振動分析模型，對三跨剛構(gòu)橋的動力性能進行仿真模擬。梁鑫等[9]對比了彈簧阻尼法和懸浮控制法2種磁軌關(guān)系對車橋相互作用的影響，仿真結(jié)果表明懸浮控制下的車輛具有更強的穩(wěn)定性。SHI等[10]分析了加載不均勻周期性呈現(xiàn)對軌道梁振動的影響規(guī)律。YAU[11]通過分析得到車輛通過頻率與軌道基頻一致時出現(xiàn)軌道梁共振，反饋控制系數(shù)不影響共振速度但影響幅值的結(jié)論。REN等[12]將車輛模型等效為3種移動荷載模型和2種多自由的二系懸掛阻尼模型對Emsland線路動力響應(yīng)進行分析。目前國內(nèi)外大部分有關(guān)磁懸浮車橋耦合振動的研究，常將變化的電磁力線性化，把磁浮車輛等效為二系彈簧阻尼質(zhì)量塊模型。然而磁浮車橋系統(tǒng)之間的振動是由控制系統(tǒng)進行調(diào)節(jié)，這是一個磁浮車輛系統(tǒng)－懸浮控制系統(tǒng)－橋梁系統(tǒng)三者之間的耦合振動問題。磁軌關(guān)系是磁浮車橋相互作用最基本、最關(guān)鍵的問題。因此在分析磁浮車橋耦合振動時，為更符合實際情況應(yīng)充分考慮到電磁力的變化和系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，引入懸浮控制，對磁浮系統(tǒng)實現(xiàn)閉環(huán)控制。為此，本文引入PID控制器對電磁鐵系統(tǒng)進行主動控制，將整個車橋系統(tǒng)在磁軌接觸處劃分為車輛和軌道梁系統(tǒng)，分別建立每節(jié)車廂10個自由度的磁浮車輛模型和有限元軌道梁模型，仿真模擬時速600 km的磁懸浮車橋耦合豎向振動，希望為超高速磁浮軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計和關(guān)鍵技術(shù)研究提供參考。

1 磁浮車輛豎向振動模型

德國TR(Transrapid)系列磁懸浮列車是常導(dǎo)高速磁浮列車的代表。圖1為車輛系統(tǒng)的模型圖[13]。德國TR06列車的每節(jié)車廂有4個磁浮轉(zhuǎn)向架，每個磁浮轉(zhuǎn)向架由4個懸浮電磁鐵和4個導(dǎo)向電磁鐵組成，車廂和磁浮轉(zhuǎn)向架之間采用空氣彈簧連接。

圖1 車輛系統(tǒng)模型

當(dāng)以軌道梁為研究對象而不對磁浮車輛做具體研究時，可只考慮車輛和磁浮轉(zhuǎn)向架的沉浮和點頭運動，且假設(shè)車廂和磁浮轉(zhuǎn)向架為剛體，其重心和幾何中心重合，車輛豎向和橫向是弱耦合。圖1中，M和M分布表示車廂和磁浮轉(zhuǎn)向架質(zhì)量，J和J分為車廂和磁浮轉(zhuǎn)向架的轉(zhuǎn)動慣量，K和C分別為二系懸掛的剛度和阻尼。

以車廂和磁浮架的靜平衡位移為坐標零點建立系統(tǒng)的動力方程，豎向運動坐標取向下為正，同時點頭運動以逆時針方向為正，車廂和磁浮轉(zhuǎn)向架的受力圖如圖2所示。

其中：

根據(jù)達朗貝爾原理，磁懸浮車輛系統(tǒng)的豎向動力學(xué)方程如下。

車廂的沉浮運動：

車廂的點頭運動：

式中：l表示第節(jié)車廂的第個二系懸掛點到車體重心的距離。y為第個車廂的位移；α為第個車廂的點頭角。

(a) 車廂；(b) 磁浮轉(zhuǎn)向架

磁浮轉(zhuǎn)向架的沉浮運動：

磁浮轉(zhuǎn)向架的點頭運動：

式中：l表示轉(zhuǎn)向架上的二系懸掛點到轉(zhuǎn)向架重心的水平距離；l表示第個均布懸浮電磁力合力作用點到磁浮轉(zhuǎn)向架重心的水平距離；y為第個轉(zhuǎn)向架的位移；β為第個磁浮轉(zhuǎn)向架的點頭角。

2 PID控制器模型

常導(dǎo)磁浮列車和軌道梁之間通過電磁吸引力實現(xiàn)懸浮。磁浮車輛上的電磁鐵采用EMS-type SC magnets模型[14]，恒流線圈產(chǎn)生恒定的電磁吸引力來平衡車輛自重，控制線圈產(chǎn)生控制電流并根據(jù)控制電壓的變化而迅速變化，用來調(diào)節(jié)電磁吸引力穩(wěn)定磁間隙。

利用安培環(huán)流定理和能量轉(zhuǎn)換原理，電磁鐵的吸引力可用式(7)表示：

式中：const為恒定電流，用來平衡磁浮車輛自重；i為控制電流，調(diào)節(jié)懸浮間隙至額定間隙0。

根據(jù)基爾霍夫定律，整個電磁鐵回路的電壓可表示為

常導(dǎo)磁浮列車的磁浮間隙一般控制在8~12 mm。當(dāng)車輛過橋時，車輛的振動會引起橋梁的振動，同時橋梁的振動又作為一種激勵對車輛的振動產(chǎn)生影響，因此磁浮車輛和軌道梁之間的磁浮力一直處于動態(tài)變化中。而電磁鐵系統(tǒng)是一個開環(huán)系統(tǒng)，故需引入控制器來維持車輛和軌道梁之間的磁浮間隙。當(dāng)電磁鐵上的傳感器監(jiān)測到車輛和橋梁之間的間隙發(fā)生變化時，控制系統(tǒng)依據(jù)控制算法的結(jié)果，產(chǎn)生與磁間隙擾動成一定關(guān)系的控制電壓，使電磁鐵中的控制電流發(fā)生變化，調(diào)整電磁吸引力，保證車軌間隙在容許范圍內(nèi)，使車輛能夠順利平穩(wěn)地通過軌道。

為減小系統(tǒng)的穩(wěn)定懸浮誤差，本文在比例-微分(PD)控制器的基礎(chǔ)上，加入積分控制律Ⅰ，構(gòu)成比例?積分?微分(PID)控制器。PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，控制效果理想。系統(tǒng)在PID控制器的作用下，根據(jù)誤差信號分別進行比例、積分與微分運算，3個運算量之和作為控制信號輸出給被控對 象[15]。PID控制器是一種線性控制器，根據(jù)給定值0()與實際輸出值()構(gòu)成控制偏差()=()–0()，其數(shù)學(xué)方程可用式(9)表示：

式中：K為比例常數(shù)；T為積分時間常數(shù)；T為微分時間常數(shù)。

每個電磁鐵單獨調(diào)節(jié)其電磁力，保證每個電磁鐵的磁間隙穩(wěn)定在額定變化范圍內(nèi)。為得到使系統(tǒng)穩(wěn)定的PID參數(shù)，先將磁浮車輛懸浮于軌道梁上，將車輛和軌道梁的動力響應(yīng)作為干擾，以磁浮間隙是否能夠收斂作為PID參數(shù)選取的依據(jù)。

3 軌道梁豎向振動的有限元模型

有限元法不僅計算精度高，而且對不同支座工況、不同材料以及變截面的梁都有較強的適用性，是目前應(yīng)用最為廣泛的一種離散化數(shù)值方法。相較于連續(xù)梁模型，采用有限元離散模型計算軌道梁動力響應(yīng)時，只需將荷載工況簡化為上橋、滿載、離橋和完全離開4種工況，不必因車橋長度關(guān)系而細分其他工況。軌道梁的模型采用磁懸浮系統(tǒng)中廣泛使用的簡支梁模型。對于一維梁，忽略其軸向變形，僅考慮其平面內(nèi)變形，即每個單元考慮兩邊的轉(zhuǎn)角和位移4個自由度。

整個軌道梁的運動方程如式(10)所示：

式中：[]，[]和[]為整體坐標下軌道梁的總質(zhì)量矩陣、總剛度矩陣和阻尼矩陣；{}為軌道梁位移向量；{}為總荷載向量。

為提高計算效率，采用振型分解法將方程(10)解耦，得到方程(11)：

車軌系統(tǒng)與磁浮系統(tǒng)最大的區(qū)別在于車輛和軌道梁是否接觸。磁浮系統(tǒng)的軌道梁承受的是電磁力作用。電磁鐵模塊產(chǎn)生電磁力后，需要轉(zhuǎn)化為在電磁鐵長度范圍內(nèi)的均布力，才能運用軌道梁計算公式(11)計算軌道梁的位移、速度和加速度。電磁力的轉(zhuǎn)化分為2步[16]：首先要計算第個電磁鐵模塊在時刻的首端坐標x和尾端坐標x，其次要將電磁力f′在區(qū)間[x,x]內(nèi)進行均勻化處理。

4 車橋豎向振動方程的耦合及求解

在求解車橋耦合振動時，本文以磁軌處為界，分別建立磁浮車輛和軌道梁2個子系統(tǒng)，磁浮車輛和軌道梁之間的耦合作用為非線性的電磁力，電磁力中的磁間隙由車輛和軌道梁之間的運動狀態(tài)和初始磁間隙決定，電磁力中的電流由PID控制器控制和調(diào)節(jié)。整個磁浮車輛?軌道梁耦合作用的計算過程如下。

步驟1：計算t時刻每個電磁鐵的首尾坐標和傳感器的坐標；

步驟2：根據(jù)軌道梁和車輛的運動狀態(tài)計算當(dāng)前時刻每個電磁鐵模塊下的磁間隙狀態(tài)。然后由控制算法式(9)得到當(dāng)前控制電壓，采用四階龍格庫塔法求解式(8)得到電磁鐵模塊的控制電流，并用式(7)求出當(dāng)前時刻的電磁力；

步驟3：將步驟2中求得的電磁力作用于車輛系統(tǒng)，并將每個模塊下的電磁力轉(zhuǎn)化為均布力后作用于軌道梁系統(tǒng)，采用四階龍格庫塔法求解磁浮車輛動力學(xué)公式(3)~(6)以及軌道梁動力學(xué)公式(11)，計算當(dāng)前時刻磁浮車輛和軌道梁的動力響應(yīng)；

步驟4：計算與安裝在電磁鐵上的傳感器相對應(yīng)的磁浮車輛和軌道梁的位移、速度和加速度，作為下一個采樣時刻輸入的磁浮間隙信號；

步驟5：判定車輛是否完全通過軌道梁，“是”則結(jié)束計算，“否”則循環(huán)執(zhí)行上述步驟1~4。

5 算例分析

5.1 模型參數(shù)

采用Mathematica軟件仿真模擬3節(jié)車廂編組的磁浮車通過8跨簡支梁，每跨簡支梁長24.768 m。磁浮列車運行速度設(shè)定為超高速磁浮研發(fā)項目提出的600 km/h，磁浮間隙穩(wěn)定在8~12 mm為電磁力的控制條件，磁浮車輛的單位重量[16]約為25 kN/m。磁浮車輛參數(shù)以德國的TR06磁浮列車為依據(jù)，詳見表1。磁浮軌道梁的設(shè)計以1>1.1/為依據(jù)，采用提出的與時速600 km超高速磁浮配套的預(yù)應(yīng)力混凝土梁，軌道布置為單線形式，軌道梁截面形式見圖3，耦合振動分析中所需的軌道梁參數(shù)見表2。

圖3 軌道梁截面形式

表1 車輛系統(tǒng)模型參數(shù)

表2 軌道梁參數(shù)

5.2 模型驗證

為驗證提出的磁浮車橋豎向耦合振動理論分析方法的正確性及程序的可靠性，采用上海磁浮線進行仿真模擬，將磁浮車橋動力仿真值與2003年測試的上海磁浮線的實測數(shù)值進行對比?，F(xiàn)場測試選取的為簡支軌道梁，由于條件限制，現(xiàn)場測試最高車速為300 km/h，測試車輛為5節(jié)車廂。由于軌道梁剛度較大，車速又比較低，軌道梁跨中動位移較小，幾種車速測試結(jié)果相差不大。文中選取了試驗磁浮列車以300 km/h通過簡支軌道梁時，梁跨中撓度實測時程圖與理論計算時程圖進行對比，對比結(jié)果如圖4所示。

從圖中可以看出，理論計算結(jié)果與實測的宏觀特征是相似的，都可以看到軌道梁的振動經(jīng)歷了車輛上橋、滿載、離橋和離開后軌道梁自由振動等特征。由此可認為提出的磁浮控制模型分析方法具有一定的參考意義。

圖4 實測結(jié)果與理論計算對比

5.3 車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)

通過仿真模擬車輛通過軌道梁的過程，得到磁浮車輛和軌道梁的動力響應(yīng)規(guī)律。

5.3.1 電磁力和磁浮間隙

第19個電磁鐵的電磁力和磁浮間隙時程如圖5所示。顯然，電磁力具有周期性，其值在自重附近上下波動，磁浮間隙在8~12 mm之間，滿足要求，且磁間隙隨著軌道梁撓度的變化而變化。當(dāng)電磁鐵運動到約跨中位置時，磁浮間隙值最小，在控制器調(diào)節(jié)下電磁力小于磁浮車輛的自重，磁浮間隙逐漸增加。當(dāng)電磁鐵運動到2根軌道梁的交點處附近時，磁浮間隙上下波動并出現(xiàn)最大值，電磁力變化劇烈，先迅速減小到34 kN，然后迅速增加到40 kN。因此，在磁浮間隙的控制中應(yīng)限制軌道梁的轉(zhuǎn)角，且注意軌道梁跨中和交界處的磁浮間隙控制。

5.3.2 磁浮車輛

第3個磁浮架和第1節(jié)車廂的加速度時程如圖6所示。在評價車輛動力性能時，上海磁懸浮項目要求車輛豎向加速度限值[7]為0.4 m/s2。圖6中，磁浮轉(zhuǎn)向架的加速度最大值為1.2 m/s2，遠大于規(guī)定的加速度。而車廂加速度值在0 m/s2上下波動，最大的加速度值為0.17 m/s2，遠小于其限值，這充分說明如果不加二系懸掛系統(tǒng)而直接將電磁力作用在車廂上，難以滿足車輛平穩(wěn)性和舒適性的要求。車廂和懸浮架之間的空氣彈簧起到了一個較好的隔振作用，有效減少磁浮列車過橋時車廂的振動作用，提高車輛的運行平穩(wěn)性，保證旅客的乘坐舒 適性。

(a) 電磁力；(b) 磁浮間隙

(a) 磁浮轉(zhuǎn)向架；(b) 車廂

5.3.3 軌道梁

圖7為軌道梁跨中的位移和加速度時程圖。取其中的4跨軌道梁進行分析，圖7(a)為第1，3，5和7跨軌道梁的跨中位移時程曲線，4跨軌道梁的變化類似，軌道梁跨中最大動位移約為1.30 mm，其跨中靜位移為1.21 mm，動力放大系數(shù)為1.074，其豎向撓度主要由列車的重力荷載引起。簡支梁的豎向剛度限值為/4 000(即6.192 mm)，軌道梁跨中的最大位移值遠小于軌道梁的豎向剛度限值。圖7(b)為第3跨軌道梁跨中加速度時程圖，軌道梁的加速度最大值為0.6 m/s2，跨中加速度最大值出現(xiàn)在車輛進入和離開軌道階段，該結(jié)論與梁鑫等[17]研究結(jié)論一致。

5.4 不同參數(shù)下的仿真結(jié)果

為研究磁浮車輛運行速度對軌道梁振動的影響，探究不同速度下軌道梁跨中位移的變化規(guī)律，設(shè)置磁浮車輛速度從300~800 km/h變化，保持其他參數(shù)不變，建立仿真模型獲得軌道梁跨中動力放大系數(shù)。如圖8所示，當(dāng)車輛運行速度不超過550 km/h時，動力放大系數(shù)對速度的變化不敏感，基本在1.01~1.04之間，而當(dāng)運行速度大于550 km/h時，動力放大系數(shù)隨速度的增加而迅速增大。600 km/h運行速度所對應(yīng)的梁跨中動力放大系數(shù)為1.08，滿足德國磁浮規(guī)范規(guī)定[18]豎向動力系數(shù)不超過1.4以及上海磁懸浮示范線的豎向動力放大系數(shù)不超過1.2的要求。

(a) 位移；(b) 加速度

圖8 不同速度下軌道梁跨中動力放大系數(shù)

以TR06列車總重量0為基礎(chǔ)，仿真模擬總質(zhì)量為0.9~1.50的磁浮車輛，得到磁浮車廂的加速度和軌道梁跨中位移的動力放大系數(shù)，結(jié)果如圖9所示。圖9(a)中，隨著車體質(zhì)量的增加，磁浮車廂加速度也隨之增加，車廂加速度小于0.4 m/s2，滿足車輛性能要求。圖9(b)中，盡管軌道梁的跨中動力放大系數(shù)隨著車體質(zhì)量的增加而增大，但動力系數(shù)仍滿足限制要求。

(a) 車廂加速度；(b) 軌道梁跨中動力放大系數(shù)

6 結(jié)論

1) 采用軌道梁和磁浮車輛分開建模，通過PID控制磁浮力實現(xiàn)車軌之間的振動耦合的分析方法，能完整反映出整個系統(tǒng)最本質(zhì)的車軌主動電磁耦合關(guān)系，且有較高的計算效率。

2) 電磁力具有周期性，通過對電磁力的調(diào)節(jié)可以穩(wěn)定磁浮間隙。磁浮間隙在軌道梁的交界和中點處分別出現(xiàn)最大和最小值。簡支軌道梁支座處轉(zhuǎn)角的不連續(xù)，導(dǎo)致了磁浮間隙的突變。在磁浮間隙的控制中，應(yīng)注意軌道梁跨中和交界處的磁浮間隙控制。

3) 空氣彈簧起到了較好的隔振作用，使得磁懸浮車廂加速度遠小于磁浮轉(zhuǎn)向架加速度，滿足規(guī)定限值。

4) 與時速600 km高速磁浮配套的軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)滿足規(guī)范要求。軌道梁跨中加速度最大值出現(xiàn)在車輛進入和離開軌道階段。

5) 通過改變車輛的運行速度以及質(zhì)量，分析軌道梁和車廂的動力響應(yīng)可知，軌道梁存在一個臨界速度，在該速度之前軌道梁對速度的變化不敏感，超過該速度以后，軌道梁的動力放大系數(shù)會迅速增加。隨著磁浮車輛質(zhì)量的增加，軌道梁的豎向位移以及磁浮車廂的加速度都有所增加。

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Vertical coupling vibration analysis of ultra high-speed maglev vehicle guideway

NI Ping, XU Chaochao, HE Jun, TENG Nianguan

(School of Naval Architecture, Ocean & Civil Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)

To analyze the vertical coupling vibration of ultra high-speed maglev vehicle guideway, an analysis method was developed based on finite element beam model and proportion-integration-differentiation (PID) controller-magnetic buoyancy model. To improve the computational efficiency of the method, the whole coupling system was divided into vehicle and guideway two subsystems at the place of magnetic buoyancy, and used magnetic buoyancy calculated by PID controller to accomplish the vibration coupling of maglev vehicle and guideway. The vibration response of each subsystem was calculated by the methods of the mode decomposition method and the four order Runge-Kutta method. To verify the effectiveness of the method and study the coupling vibration characteristics of the whole system, analyzing the vertical coupling vibration of the ultra high-speed maglev vehicle guideway system by using Mathematica software, obtaining the vibration response of guideway and maglev vehicle with the speed of 600 km/h. This research can provide a reference for the design and key technology research of the ultra high-speed maglev track structure.

maglev; ultra-high speed of 600 km/h; maglev vehicle guideway beam coupling vibration; magnetic buoyancy; PID-controller

U237

A

1672 ? 7029(2019)06? 1361 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.001

2018?08?16

國家重點研發(fā)計劃項目(2016YFB1200602-28)；上海市自然科學(xué)基金資助項目(16ZR1417300)；

何軍(1968?)，男，河北唐山人，副教授，博士，從事結(jié)構(gòu)振動和可靠性研究；E?mail：junhe@sjtu.edu.cn

(編輯 涂鵬)