曾富紅 司偉建 彭占立

摘要：????? 近年來， 基于稀疏表示的DOA估計(jì)方法已經(jīng)被廣泛提出， 這些方法都需預(yù)設(shè)離散的網(wǎng)格點(diǎn)， 而實(shí)際信號(hào)來波方向在空間域內(nèi)具有隨機(jī)性， 任何來波方向都是等概率出現(xiàn)， 很有可能信號(hào)的來波方向不在網(wǎng)格上， 因而會(huì)存在網(wǎng)格誤差， 使DOA估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。 為提高DOA估計(jì)精度， 本文提出了非網(wǎng)格的DOA估計(jì)模型。 同時(shí)， 為提高測(cè)向自由度， 本文應(yīng)用由兩個(gè)均勻線陣組成的互質(zhì)陣列， 并且將兩個(gè)均勻線陣平行放置在同一平面。 通過將兩均勻線陣的互協(xié)方差矩陣向量化成互協(xié)方差矢量， 可得到一維虛擬擴(kuò)展的接收數(shù)據(jù)矢量， 并且在稀疏表示框架下應(yīng)用相應(yīng)的稀疏恢復(fù)算法恢復(fù)出跟DOA參數(shù)相關(guān)的向量， 從該向量中得到唯一的并且自動(dòng)配對(duì)的二維DOA估計(jì)參數(shù)。 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文算法較傳統(tǒng)算法具有更好的DOA估計(jì)性能。

關(guān)鍵詞：???? 互質(zhì)陣列; 二維DOA估計(jì); 非網(wǎng)格; 稀疏表示

中圖分類號(hào)：??? ??TJ765;? TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：??? A文章編號(hào)：??? ?1673-5048（2019）03-0027-06[SQ0]

0引言

目前， 波達(dá)方向（Direction of Arrival，? DOA）估計(jì)[1-2]問題已經(jīng)出現(xiàn)在多種應(yīng)用領(lǐng)域中， 如雷達(dá)、 聲吶、 射電天文學(xué)等[3-5]。 眾所周知， 對(duì)于具有N個(gè)天線陣元的均勻線性陣列[6]， 常用的稀疏表示類[7]以及子空間類算法[8-9]均最多可分辨N-1個(gè)信號(hào)源。 為了檢測(cè)更多的源， 一類新的非均勻線性陣列幾何結(jié)構(gòu)已被提出， 如嵌套陣列[10-11]和互質(zhì)陣列[12-17]等。 對(duì)于非均勻陣列， 可以利用兩種主要方法來增強(qiáng)自由度， 即協(xié)方差矢量化[13]和協(xié)方差擬合[18]。 通過矢量化接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣， 形成具有較寬孔徑的虛擬差集陣列以實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展的自由度。 冗余陣列的協(xié)方差矩陣具有Hermitian Toeplitz結(jié)構(gòu)， 因而通過協(xié)方差擬合可以恢復(fù)， 并且可以獲得擴(kuò)展的自由度。 利用擴(kuò)展的自由度， 文獻(xiàn)[10]中的嵌套陣列結(jié)構(gòu)可以僅用N個(gè)天線陣元分辨O（N2）個(gè)信號(hào)源。 但是， 由于其中一個(gè)子陣列的陣元位置很近， 因而嵌套陣列會(huì)遇到互耦問題， 從而影響DOA估計(jì)性能。 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)[12]的陣元間距可大于半波長(zhǎng)， 因此可以減少互耦效應(yīng)， 甚至去除互耦效應(yīng)。? 本文中互質(zhì)陣列的兩個(gè)子陣列是平行放置在同一平面的， 因而利用O（M+N）個(gè)陣元能夠最多分辨O（MN）個(gè)信號(hào)源。

近年來基于互質(zhì)陣列擴(kuò)展自由度的DOA估計(jì)算法已被廣泛提出。 文獻(xiàn)[13]提出了基于子空間的空間平滑MUSIC（SS-MUSIC）算法， 并表明了該方法能夠估計(jì)比陣元數(shù)更多的信號(hào)源。 但SS-MUSIC算法需要知道信源的數(shù)量， 為此文獻(xiàn)[19]提出了一種類MUSIC的子空間方法， 其中信源數(shù)是低秩去噪階段的副產(chǎn)物。 然而， 文獻(xiàn)[13， 19]中的子空間類算法需要連續(xù)的差集陣列和應(yīng)用空間平滑技術(shù)， 這使得可利用的有效虛擬陣列孔徑為連續(xù)虛擬陣列孔徑的一半， 從而損失了一部分的擴(kuò)展陣列自由度， 導(dǎo)致最終DOA估計(jì)性能受損。 最近， 一類基于稀疏度的估計(jì)方法[20]被提出， 利用空間信號(hào)譜稀疏的優(yōu)勢(shì)， 不需要應(yīng)用秩恢復(fù)操作， 可利用所有擴(kuò)展的虛擬陣列自由度， 因而相比于子空間類算法具有更優(yōu)的DOA估計(jì)性能。 這些稀疏表示類算法需將感興趣的角度范圍離散為網(wǎng)格點(diǎn)， 并假定源的位置必須落在預(yù)定義的網(wǎng)格上。 但是， 實(shí)際中不管網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)得有多密， 真實(shí)的DOA不可能均位于預(yù)先指定的網(wǎng)格點(diǎn)上， 從而導(dǎo)致網(wǎng)格不匹配問題的產(chǎn)生以及信號(hào)恢復(fù)性能惡化。 因而基于稀疏表示框架下的網(wǎng)格不匹配問題，

提出了基于非網(wǎng)格的DOA估計(jì)方法， 通過彌補(bǔ)網(wǎng)格偏差， 從而實(shí)現(xiàn)提高DOA估計(jì)精度的目的。? 利用二維平行互質(zhì)陣列的平行特性， 提出了一種高效的、 且DOA估計(jì)參數(shù)能夠自動(dòng)配對(duì)的二維DOA估計(jì)算法。

1信號(hào)模型

陣列幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示， 互質(zhì)陣列的兩個(gè)稀疏均勻線陣平行放置在x-y平面上， 沿Y軸擺放的N個(gè)陣元構(gòu)成子陣列1， 各陣元間間距為Md， 與子陣列1平行且相距d的子陣列2由M個(gè)陣元組成， 且各陣元間間距為Nd， 其中M和N為互質(zhì)數(shù)， d設(shè)為入射信號(hào)半波長(zhǎng)。 假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)（αk， βk）， k=1， …， K入射到該陣列上， 其中αk為入射信號(hào)與Y軸正向的夾角， βk為入射信號(hào)與X軸正向的夾角， 圖1中的θ和對(duì)應(yīng)傳統(tǒng)的仰角和方位角， 與本文中使用的角度α及β之間有轉(zhuǎn)化關(guān)系cos α=sin θ sin 及cos β=sin θ cos 。? 兩個(gè)子陣列的接收信號(hào)可表示為

將整個(gè)空間域[0°， 180°]以網(wǎng)格間隔τ均勻劃分為L(zhǎng)個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)， 網(wǎng)格點(diǎn)集合可表示為（1， 2， …， L）， 則對(duì)應(yīng)所有網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算陣列流形矩陣， 將AM和AN擴(kuò)展為ΘM和ΘN，? 且對(duì)應(yīng)所有網(wǎng)格點(diǎn)將對(duì)角陣Λ擴(kuò)展為

實(shí)際上， 式（3）所表示的互協(xié)方差矩陣只能通過有限快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)， 即R～c=（1/T）∑Tt=1xM（t）xHN（t）， 這將會(huì)導(dǎo)致協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差的存在， 從而使得算法的稀疏恢復(fù)性能受到影響， 因而應(yīng)當(dāng)考慮這一估計(jì)偏差， 構(gòu)建一個(gè)擴(kuò)展的稀疏表示框架。 用ε表示向量化的互協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差， 則根據(jù)文獻(xiàn)[17]， ε服從均值為0且協(xié)方差矩陣為Q=1T（RTNRM）的近似高斯分布， 如下式所示：

3.1精度比較

利用式（23）中定義的均方根誤差來衡量本文算法與文獻(xiàn)[17]算法的精度。 假設(shè)兩個(gè)不相關(guān)的窄帶信號(hào)（α1， β1）=（55.7°， 68.4°）， （α2， β2）=（65.2°， 46.6°）入射到圖1所示陣列上。 圖2表示快拍數(shù)固定為500， 均方根誤差隨信噪比變化情況， 信噪比在-5 dB到15 dB之間以間隔2 dB取值; 圖3表示信噪比固定為10 dB， 兩種算法的均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線， 快拍數(shù)設(shè)置為從100到800以間隔50取值。

由圖2可以看到， 隨著信噪比的增加， 兩種算法的均方根誤差都在減小， 且本文算法的均方根誤差一直小于文獻(xiàn)[17]算法。 由圖3中可以看出， 隨著快拍數(shù)的增加， 兩種算法的均方根誤差都在減小， 且本文算法的均方根誤差一直小于文獻(xiàn)[17]算法。 因而可得出結(jié)論： 本文算法的DOA估計(jì)精度高于文獻(xiàn)[17]算法。

3.2多信源條件下DOA估計(jì)性能比較

（1） 超定情況： 考慮8個(gè)窄帶信號(hào)源入射到圖1所示陣列上， 設(shè)入射信號(hào)信噪比為10 dB， 采樣快拍數(shù)為500。 所有入射信號(hào)角α在[30.8°， 170.8°]中均勻取值， 角β在[25.8°， 175.8°]中均勻取值， 得到兩種算法的DOA估計(jì)結(jié)果如圖4所示。

（2） 欠定情況： 考慮11個(gè)窄帶信號(hào)源入射到圖1所示陣列上， 設(shè)入射信號(hào)信噪比為10 dB， 采樣快拍數(shù)為500。 為方便觀察， 選取的所有入射信號(hào)角α及角β相同， 設(shè)為21.81°， 29.68°， 38.22°， 47.92°， 59.97°， 68.92°， 80.61°， 98.89°， 115.66°， 134.99°， 155.88°， 得到兩種算法的DOA估計(jì)結(jié)果如圖5所示。

由圖4可看出， 兩種算法都能估計(jì)出所有信源的大概位置， 但本文算法估計(jì)出的DOA與真實(shí)角度位置大概重合， 而文獻(xiàn)[17]算法的角度估計(jì)值在某些信源處與真實(shí)角度位置差異較大。 圖5中， 入射信源為11個(gè)， 大于實(shí)際物理陣元個(gè)數(shù)（9個(gè)）， 此時(shí)利用本文算法還能正確估計(jì)出入射信源位置， 由此可知， 本文算法有效地?cái)U(kuò)展了陣列自由度， 而文獻(xiàn)[17]算法雖能估計(jì)出大部分信源， 但還有2個(gè)信源估計(jì)失敗， 因而可得出結(jié)論： 多信源情況下，? 本文算法具有更好的估計(jì)性能， 尤其是在信源數(shù)多于陣元數(shù)（欠定）情況下， 相對(duì)于文獻(xiàn)[17]算法， 本文算法估計(jì)性能更佳。

4結(jié)論

本文提出了一種基于雙平行互質(zhì)陣列的二維非網(wǎng)格DOA估計(jì)算法。 首先對(duì)互質(zhì)陣列的兩個(gè)子陣列的接收信號(hào)求互協(xié)方差矩陣， 并向量化該互協(xié)方差矩陣得到互協(xié)方差矢量， 再在整個(gè)空間域內(nèi)稀疏擴(kuò)展互協(xié)方差矢量， 從而能夠通過僅僅一維字典矩陣獲得唯一的、 自動(dòng)配對(duì)的二維DOA估計(jì)。 同時(shí)， 該算法能夠利用互質(zhì)陣列的特性， 應(yīng)用M+N個(gè)物理陣元實(shí)現(xiàn)MN的自由度。 應(yīng)用相似的陣列結(jié)構(gòu)， 本文算法擁有比傳統(tǒng)算法更優(yōu)良的DOA估計(jì)性能， 所應(yīng)用的稀疏表示方法能夠解相干， 可以分辨出相關(guān)甚至相干信號(hào)。 但本文算法計(jì)算復(fù)雜度較高， 引入非網(wǎng)格誤差， 增加了計(jì)算量， 且算法需要迭代， 比較費(fèi)時(shí)， 因而未來的研究方向是快速實(shí)現(xiàn)算法， 提高算法的運(yùn)算效率。

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