王志強(qiáng)，張志偉，楊海泉

深圳大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院，廣東深圳518060

植物模擬是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)技術(shù)的研究熱點(diǎn)之一，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、游戲和虛擬現(xiàn)實(shí)等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用[1]．花卉仿真是植物模擬的重要分支，因花卉組織器官精細(xì)而不規(guī)則，且?guī)缀魏托螒B(tài)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使花卉建模繁瑣又費(fèi)時(shí)，具有一定的挑戰(zhàn)性．現(xiàn)有的花卉仿真方法，按照建模方式的不同，主要分為基于幾何和基于圖像的花卉建模方法．基于幾何的建模方法是通過(guò)用點(diǎn)、線、面、體等幾何元素模擬植物器官，設(shè)置規(guī)則和參數(shù)對(duì)花卉進(jìn)行仿真．如PRUSINKIEWICZ等[2]將L系統(tǒng)應(yīng)用于花卉模型構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)多種花卉的仿真．IJIRI等[3]提出通過(guò)草圖進(jìn)行花卉仿真，并采用控制點(diǎn)繪制花卉的曲面特征．OWENS等[4]引入植物學(xué)理論，對(duì)密集花簇進(jìn)行建模及動(dòng)畫(huà)處理．基于圖像的建模方法不依賴幾何模型，主要借助光學(xué)儀器獲取相關(guān)圖像序列，進(jìn)行組合達(dá)到三維重建．如IJIRI等[5]利用電子計(jì)算機(jī)斷層掃描 (computed tomography, CT)捕捉花朵內(nèi)部結(jié)構(gòu)的體積數(shù)據(jù)，引入一種半自動(dòng)建模技術(shù)，重建了精細(xì)的花卉器官．ZHENG等[6]結(jié)合3D掃描儀引入一種基于模板的跟蹤擬合算法，重構(gòu)了花卉盛開(kāi)過(guò)程．基于圖像的花卉建模真實(shí)感強(qiáng)，但對(duì)數(shù)據(jù)獲取設(shè)備精度要求高，三維重建計(jì)算量大．基于幾何的建模方法實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易，因?yàn)椴粫?huì)影響其性能而得到廣泛應(yīng)用．

本研究利用Catmull-Rom樣條和Perlin噪聲實(shí)現(xiàn)花瓣和葉片建模，通過(guò)Vogel模型生成花序，提出一種改進(jìn)的物理光照方程進(jìn)行花卉渲染．該方法在繪制草圖時(shí)使用控制點(diǎn)少且可快速建模，所得花卉模型仿真度高，渲染光照真實(shí)感強(qiáng)．

1 花卉建模

1.1 二維草圖的繪制

Catmull-Rom樣條曲線[7]的定義是：給定n+1個(gè)控制點(diǎn){p0,p1, …,pn}， 找到一條曲線對(duì)這些控制點(diǎn)進(jìn)行插值并連接(除首尾兩控制點(diǎn))，其中每個(gè)控制點(diǎn)的切線通過(guò)前后兩點(diǎn)來(lái)計(jì)算．

假設(shè)有4個(gè)控制點(diǎn)pi-2、pi-1、pi和pi+1， 通過(guò)Catmull-Rom樣條可繪制一條從pi-1到pi的曲線(圖1)，其約束公式為

(1)

圖1 Catmull-Rom樣條曲線Fig.1 Catmull-Rom spline curve

該樣條函數(shù)為3次插值樣條，可表示為

(2)

其中，x∈[0, 1] ； 系數(shù)a0～a3由p(x)在首尾端點(diǎn)pi-1和pi的約束條件決定. 將式(1)代入式(2)，可求得Catmull-Rom樣條曲線的表達(dá)式為

p(x)=[1xx2x3]×

(3)

其中，x∈[0, 1]；τ為張力因子．

分析Catmull-Rom樣條曲線發(fā)現(xiàn)，只需超過(guò)4個(gè)控制點(diǎn)就可形成該曲線．與單一的二次曲線或三次曲線相比，可用較少的控制點(diǎn)形成任意形狀的曲線，適應(yīng)擬合花卉重要器官的二維形狀(如葉片、花瓣和花蕾等)．

在自然界中，大部分的葉片和花瓣往往呈對(duì)稱狀．考慮到花卉的中心軸對(duì)稱性，將一側(cè)的建模控制點(diǎn)鏡面映射到另一側(cè)，引入首尾控制點(diǎn)(0,0)和(0,1)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化建模難度．通過(guò)2個(gè)或3個(gè)控制點(diǎn)就可較好地繪制葉片、花蕾和花瓣的草圖，如圖2．同時(shí)，張力因子τ取通用值0.5，可令樣條曲線更好地?cái)M合二維草圖．

圖2 二維草圖Fig.2 Two-dimensional sketch

1.2 基于Perlin噪聲的三維重建

基于Perlin噪聲的花卉建模[8]，需定義一個(gè)晶格結(jié)構(gòu)，為每個(gè)整數(shù)晶格頂點(diǎn)賦值偽隨機(jī)梯度向量．對(duì)于坐標(biāo)為(i,j)的晶格點(diǎn)，偽隨機(jī)梯度g的生成需要使用梯度向量查找表G和用于哈希計(jì)算的隨機(jī)數(shù)組Q， 即

g[i,j]=G[(Q[imod 256]+j)mod 256]

(4)

其中，G為PERLIN[9]通過(guò)蒙特卡洛方法預(yù)計(jì)算的隨機(jī)梯度表；Q是長(zhǎng)度為256的數(shù)組，隨機(jī)且無(wú)重復(fù)地存放0～255的整數(shù)．

對(duì)于二維的花卉草圖，晶格結(jié)構(gòu)是一個(gè)平面網(wǎng)格，且每點(diǎn)的噪聲值由其最接近的4個(gè)晶格頂點(diǎn)決定，如圖3．

圖3 二維Perlin噪聲的插值Fig.3 The interpolation of two-dimensional Perlin noise

首先，根據(jù)式(5)計(jì)算點(diǎn)(x,y)到各個(gè)晶格頂點(diǎn)的距離向量．

v[i,j]=(x,y)-(xi,yj)

(5)

其次，將每個(gè)距離向量與頂點(diǎn)上的梯度向量進(jìn)行點(diǎn)乘，即

δ[i,j]=v[i,j]·g[i,j]

(6)

二維Perlin噪聲的權(quán)重需要緩和曲線插值：

ψ(x)=6x5-15x4+10x3

(7)

每點(diǎn)的噪聲值需加權(quán)最近梯度向量，即將式(6)和式(7)相乘求和

noise(x,y)=Ψ(1-x, 1-y)δ[0,0]+

Ψ(x, 1-y)δ[1,0]+

Ψ(1-x,y)δ[0,1]+

Ψ(x,y)δ[1,1]

(8)

其中，Ψ(x,y)=ψ(x)ψ(y)，ψ(x)和ψ(y)為插值函數(shù)．

考慮到花卉器官凹凸程度各不相同，可基于Perlin噪聲引入噪聲值的縮放系數(shù)Nd、x軸和y軸的偏移值Nsx和Nsy， 來(lái)計(jì)算二維草圖的三維深度值

(9)

其中，k∈(0, +∞)；Nsx和Nsy為Perlin噪聲x軸和y軸的縮放值．

在花卉片狀器官三維重建中，通過(guò)Nsx和Nsy控制噪聲在x軸和y軸的頻率，使用Nd控制噪聲值的振幅．葉片草圖的三維重建如圖4．由圖4可見(jiàn)，當(dāng)Nd、Nsx和Nsy較小時(shí)，噪聲波動(dòng)趨于平緩，得到平整的葉片模型；當(dāng)增大Nsy和Nd值時(shí)，草圖y軸的深度值波動(dòng)頻率增加且上下波動(dòng)幅度變大，生成沿縱軸卷曲的葉片模型．

圖4 不同參數(shù)的葉片模型Fig.4 The leaf models with different parameters

針對(duì)花瓣凹凸程度的對(duì)稱性，用草圖中軸線做鏡面映射，將花瓣左側(cè)草圖的深度值賦值給右側(cè)映射點(diǎn)．然后根據(jù)草圖的不同，調(diào)節(jié)參數(shù)可生成所需花瓣的mesh模型，結(jié)果如圖5．

圖5 生成的花瓣模型Fig.5 Generated petal models

1.3 花卉的Vogel模型

VOGEL[10]在研究向日葵花盤時(shí)，發(fā)現(xiàn)花盤種子排序呈斐波納契螺旋狀，并建立了該形態(tài)結(jié)構(gòu)的Vogel數(shù)學(xué)模型

(10)

其中，n是花盤種子的順序號(hào)，從中心向外計(jì)數(shù)；r是花盤中心點(diǎn)與第n個(gè)種子之間的距離；c是縮放系數(shù)；θ是第n個(gè)種子繞花盤中心旋轉(zhuǎn)的角度，斐波納契角一般取值為137.5°．Vogel模型中花盤種子分布如圖6．

圖6 種子分布圖[4]Fig.6 Seeds distribution diagram[4]

自然界中即使同一株花卉的各個(gè)花瓣也不盡相同，因此構(gòu)建形態(tài)結(jié)構(gòu)前需預(yù)設(shè)多個(gè)花瓣草圖及其相關(guān)噪聲參數(shù)．在構(gòu)建第n個(gè)花瓣時(shí)，需從預(yù)置的花瓣模型中隨機(jī)選擇，再根據(jù)計(jì)算的歐拉角和距離放置花瓣．運(yùn)用Vogel模型生成玫瑰花和睡蓮等花卉形態(tài)結(jié)構(gòu)，如圖7．

圖7 Vogel模型生成的花卉Fig.7 The flowers generated by Vogel model

2 花卉渲染

光與花卉的交互是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，傳統(tǒng)的Lambert和Blinn-Phong等經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚11]無(wú)法較好地進(jìn)行模擬．引入雙向反射分布函數(shù)(bidirectional reflectance distribution function, BRDF)光照模型，可使漫反射項(xiàng)和高光反射項(xiàng)真實(shí)地渲染花卉．

2.1 漫反射模擬效果

Lambertian BRDF是應(yīng)用廣泛的漫反射BRDF模型，但其忽略了菲涅爾反射和次表面散射．本研究考慮到真實(shí)的物理光照渲染，對(duì)漫反射項(xiàng)使用Disney的BRDF模型，用符合物理現(xiàn)象的漫反射來(lái)模擬[12]

[1+(FD90-1)(1-n·v)5]

(11)

其中，fd(l,v)為漫反射項(xiàng)；l為光源的入射方向；v為觀察方向；Bc是表面顏色；FD90為粗糙系數(shù)計(jì)算項(xiàng)，F(xiàn)D90=0.5+2Rn(h·l)2，h為l和v的半角度矢量，Rn是花卉表面的粗糙度；n為表面法向量．該光照模型還兼顧了掠射角的能量變化．

2.2 高光反射模擬效果

物理光照渲染中，高光反射項(xiàng)通常應(yīng)用微面元理論[13]．該理論認(rèn)為：物體表面是由微觀的面元組成，每個(gè)面元被假設(shè)為光學(xué)平滑，即光線和花卉表面一點(diǎn)相交時(shí)，實(shí)際是一系列微面元交互的結(jié)果．

引入Black Ops2的微面元光照模型進(jìn)行花卉的高光效果模擬[14]

fspec(l,v)=Dpl(h)F(l,h)V(v,h)

(12)

其中，fspec(l,v)為高光反射項(xiàng)；Dpl(h)是微面元的法線分布函數(shù)，計(jì)算法線為h的微面元所占比例；F(l,h)是環(huán)境映射的菲涅爾反射函數(shù)，它不僅計(jì)算反射光線占入射光線的比例，而且包含部分光線遮蔽因素；V(v,h)是可見(jiàn)度逼近函數(shù)，計(jì)算陰影遮掩以及校正微面元從局部到整體的數(shù)量差異．

考慮到物理渲染的計(jì)算復(fù)雜度，使用法線分布函數(shù)Dpl(h)對(duì)Blinn-Phong高光模型進(jìn)行改進(jìn)，即保留其模型較少的計(jì)算量，同時(shí)引入簡(jiǎn)單的參數(shù)替代Beckmann NDF[15]，得到新法線分布函數(shù)為

(13)

其中，α為反射強(qiáng)度，α=8 192g，g為光澤度．

環(huán)境映射的菲涅爾反射函數(shù)為

F(l,h)=r0+(1-r0)2-10(l·h)

(14)

其中，r0為高光反射系數(shù)．

可見(jiàn)度逼近函數(shù)為

(15)

其中，k=min(1.0,g+0.545).

將渲染算法用于三維虛擬場(chǎng)景中的視覺(jué)效果，如圖8．相對(duì)傳統(tǒng)光照，改進(jìn)后的算法使用物理渲染，更符合物理學(xué)規(guī)律模擬光線．

圖8 三維場(chǎng)景中的葉片F(xiàn)ig.8 Leaves in 3D scene

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)在Intel Core i3-2130 CPU、4 Gbyte內(nèi)存、Intel HD集成顯卡(128 Mbyte)的計(jì)算機(jī)上，以自然景物中的花卉為研究對(duì)象，采用C#語(yǔ)言并結(jié)合ShaderLab在Unity 3D的平臺(tái)下，實(shí)現(xiàn)多種花卉的真實(shí)感建模．根據(jù)本研究仿真算法，結(jié)合所獲取的數(shù)據(jù)，得到真實(shí)感渲染后的玫瑰花植株如圖9(b)，圖9(a)為拍攝的真實(shí)玫瑰花．將仿真結(jié)果同實(shí)物照片比較可得，所構(gòu)造的花卉葉片模型呈橢圓形[16]，花瓣呈倒卵形，逼真地再現(xiàn)了玫瑰花的形態(tài)特征．通過(guò)增大Perlin噪聲的Nsx和Nd值，能較好地模擬出玫瑰花瓣的波浪狀褶皺紋理．

圖9 玫瑰花的仿真Fig.9 The simulation of roses

仿真算法采用控制點(diǎn)生成花卉器官，通過(guò)參數(shù)調(diào)整可得到不同的花卉仿真模型．算法不僅可以構(gòu)造重瓣花，還可仿真各式各樣的單瓣花，圖10(b)給出了單瓣花三色堇的建模效果．首先繪制卵狀三角形的花瓣草圖，然后使用Perlin噪聲生成平整的三色堇花瓣，最后組合各個(gè)花卉器官得到形似彩蝶的三色堇．

圖10 三色堇的仿真Fig.10 The simulation of pansies

圖9和圖10兩種不同花卉的具體參數(shù)設(shè)置如表1．其中，Np是花瓣數(shù)；Nl是葉片數(shù)；h是莖稈高度；φ和d分別為花被片角度和花瓣間距．其他類型的花卉仿真結(jié)果請(qǐng)掃描論文頁(yè)末右下角二維碼，見(jiàn)補(bǔ)充材料圖S1和圖S2．

表1 不同花卉的參數(shù)設(shè)置Table 1 The parameter settings in the different flowers

由表1可見(jiàn)，重瓣花玫瑰的花瓣層數(shù)多，最內(nèi)側(cè)的花蕾接近直立狀，φ通常設(shè)成90°．而單瓣花三色堇只有兩層花瓣，花瓣之間緊密相連，φ設(shè)定為30°，d僅為玫瑰花的1/2．

同時(shí)，使用花蕾的數(shù)量Nb、花瓣角度比例Sa和花的大小S進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，可生成不同生長(zhǎng)時(shí)期的花卉，結(jié)果如圖11．由圖11可知，當(dāng)花蕾數(shù)量較多且比例較小時(shí)，仿真結(jié)果呈現(xiàn)花卉生長(zhǎng)初期．當(dāng)花蕾數(shù)量較少且比例較大時(shí)，仿真結(jié)果呈現(xiàn)花卉盛開(kāi)時(shí)期．

圖11 玫瑰花的不同生長(zhǎng)時(shí)期Fig.11 Different growth stages of the rose

3.2 算法比較

圖12分別展示了采用分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲方法生成的仿真花卉．由圖12可見(jiàn)，Perlin噪聲生成的花卉真實(shí)感比另外兩種更強(qiáng)．

圖12 不同算法生成的花卉Fig.12 The flowers generated by different algorithms

對(duì)比各種算法生成的花卉，其結(jié)果如表2.由表2可見(jiàn)，分形幾何生成的花瓣和葉片不可卷曲，仿真效果較差且需要花卉的迭代函數(shù)系統(tǒng)(iterated function system, IFS)碼，如圖12(a)．Bézier曲面需要使用較多的控制點(diǎn)以生成花瓣，但花卉建模繁瑣，如圖12(b)．基于Perlin噪聲的算法易于建模并能獲得較好的花卉仿真效果，如圖12(c)．此外，還可以調(diào)整控制點(diǎn)和關(guān)鍵參數(shù)生成不同的花卉及其生長(zhǎng)時(shí)期．

表2 三種不同算法的比較Table 2 Comparison of three different algorithms

3.3 性能分析

表3比較了分別采用分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲算法生成單株玫瑰花時(shí)的性能數(shù)據(jù)．由表3可見(jiàn)，用Perlin噪聲算法繪制的玫瑰花復(fù)雜度較低，且繪制速度最快，所需存儲(chǔ)空間與Bézier曲面算法相比減少了31.3%，而繪制時(shí)間僅增了0.5 s．

表3 三種仿真方法的效率比較Table 3 Comparison of the efficiency of three methods

當(dāng)模擬空間規(guī)模大小為64×64×8像素的場(chǎng)景時(shí)，采用增加花卉數(shù)量的方法可以比較分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲3種仿真方法在實(shí)際場(chǎng)景的性能，其結(jié)果如圖13．

圖13 渲染幀率對(duì)比Fig.13 Comparison of rendering frame rate

由圖13可知，分形幾何平均幀率最高，性能變化較平緩，適用于對(duì)場(chǎng)景真實(shí)感要求不高，但花卉數(shù)量較多的虛擬場(chǎng)景；Perlin噪聲的性能隨著花卉數(shù)量增加而下降，適用于真實(shí)感要求較高，但不需要大量花卉仿真的虛擬場(chǎng)景；Bézier曲面的性能下降較快，幀率不如同等條件下的Perlin噪聲，適用于對(duì)花卉真實(shí)感要求特別高的小范圍虛擬場(chǎng)景．

結(jié) 語(yǔ)

根據(jù)花卉的對(duì)稱特性，將一側(cè)控制點(diǎn)映射到另一側(cè)，利用Catmull-Rom樣條曲線繪制草圖．通過(guò)二維Perlin噪聲生成深度值，引入噪聲x軸和y軸縮放參數(shù)去控制花瓣和葉片的卷曲程度，實(shí)現(xiàn)花卉器官的三維重建；采用Vogel數(shù)學(xué)模型生成花序，并構(gòu)建花卉形態(tài)結(jié)構(gòu)；提出一種改進(jìn)的物理光照方程，從漫反射項(xiàng)和高光反射項(xiàng)對(duì)花卉進(jìn)行渲染．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本研究方法在花卉仿真時(shí)使用控制點(diǎn)少、建模高效，生成的花卉模型仿真度高且數(shù)據(jù)量小，渲染光照真實(shí)感強(qiáng)．但是，該方法的花卉仿真類型局限于單瓣花和符合Vogel模型的重瓣花，也僅能模擬花卉開(kāi)放的過(guò)程．如何擴(kuò)展花卉仿真類型、模擬花卉從開(kāi)放到衰落過(guò)程，以及綜合考慮花卉的植物學(xué)特性等是下一步研究的方向．