江蘇省盱眙中學(xué) 張 勇

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，歷年的高考試題都涉及大量的函數(shù)知識(shí)，而其中導(dǎo)數(shù)解答題常處于壓軸題的位置，難度較大，意在考查考生的運(yùn)算求解能力、化歸轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

一、真題再現(xiàn)

該題結(jié)果簡(jiǎn)潔精煉，第一問(wèn)考查常規(guī)具體三次函數(shù)的單調(diào)性，較簡(jiǎn)單，第二問(wèn)表述雖極其簡(jiǎn)單，但重點(diǎn)考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，如何通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)零點(diǎn)的存在性與唯一性。

二、解法探究

第（1）問(wèn)較常規(guī)，過(guò)程如下：

第（2）問(wèn)解法探究如下：

解法一：

故g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

此方法從函數(shù)g（x）著手尋找零點(diǎn)所處位置，關(guān)鍵在于尋找較g（x）大的函數(shù)和較g（x）小的函數(shù)

解法二：

在解法一的基礎(chǔ)上，g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)。也可以從函數(shù)f（x）著手尋找零點(diǎn)所處的位置。

這里說(shuō)明為什么取3a-1 和3a+1，事實(shí)上，取滿足上述條件的值均可，如可知等。

解法三：

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

解法四：

?

綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

此方法通過(guò)討論三次函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用極值點(diǎn)代換來(lái)判斷函數(shù)極值的正負(fù)。