繆佩佳，倪若蘭，蔡 璐

(阿壩師范學院數(shù)學與計算機科學學院， 四川 汶川 623000)

用Mn表示所有n×n 復矩陣的集合， 對于Hermite 矩陣A，B∈Mn， 偏序A≥B 表示矩陣A-B 半正定. 設v為實數(shù)， 且0 ≤v ≤1，矩陣A 和B 的v-加權幾何均值的定義如下:

設A，B∈Mn正定， Kittaneh 和Manasrah 在文獻[12]中證明了: 若0 ≤v ≤1，則

其中r0＝min v，1 -v{ }，s0＝max v，1 -v{ }.

隨后， 鄒黎敏在文獻[16]中將不等式(1)改進為: 若0 ≤v ≤1，則

在本文中，將利用文獻[12] 和文獻[16]中的方法， 進一步改進不等式(2).

1 關于幾個標量不等式的改進

在文獻[10]中， Bhatia 證明了， 若0 ≤v ≤1， α v( )＝4(v-v2)， 則

首先改進不等式(3)、(4).

定理1 設a，b≥0，0 ≤v ≤1， 則

證明 不等式(5)等價于

即證.

因此， 不等式(5)是不等式(3)的進一步加強.

下面， 將不等式(4)進一步改進為:

定理2 設a，b ＞0，d ＝max a，b( )，0 ≤v ≤1， 則

證明 由于a，b ＞0， 因此可令a ＝ex，b ＝ey(x，y∈R). 設

下面首先證明:

由雙曲函數(shù)cosh x 的泰勒級數(shù)展開式可知

因此(8)式等價于

即

于是， (9)式成立， 因而(8)式成立.

在(8)式中， 令a ＝ex，b ＝ey(x，y∈R)， 則可得

則

由(10)式和(11)式即可得， 不等式(7)成立.證畢.

并且由于1 -2v( )2≥0，4v-4 v2≥0， 因此， (7)式是(4)式的進一步加強.

2 主要定理及其證明

在這節(jié)中，將改進不等式(2).

定理3 設A，B∈Mn是正定矩陣， 若0≤v≤1， 則

證明 對任意的正定矩陣T，由譜分解定理可知， 存在酉矩陣U∈Mn，使得T ＝UD U?，

其中，

對任意的正數(shù)a，由不等式(5)有

因此

其中I 為單位矩陣. 將(13)式的左右兩邊分別乘以U，U?，可得

在不等式(14)中，令

因為A、B 是正定的， 即可得不等式(12).

定理4 設A，B∈Mn是正定矩陣， 假設B-A 正定， 若0 ≤v ≤1， 則

其中D ＝diag ( λ1…λn)，λj＞0，1 ≤j ≤n.

令式(7)中令a ＝1，對任意的正數(shù)b≥0， 則有

其中d ＝max(1， b). 因此

其中

在上式的左右兩邊分別乘以U，U?，可得

在(16)式中，不妨設F ＝D， 則T-I 正定， 由于

其中α v( )＝4(v-v2).

證明 對任意的正定矩陣T， 由譜分解定理可知， 存在酉矩陣U∈Mn， 使得T ＝UD U?，

3 結(jié)論

該文首先對不等式(3)以及不等式(4)這兩個標量不等式進行了進一步改進， 再利用譜分解定理， 對關于矩陣A 和B 的v-加權幾何均值的上下界進行了相應的改進， 得到了不等式(12)和(15)， 從而進一步加強了Kittaneh 和Manasrah、鄒黎敏等學者的文獻中的結(jié)果.

致謝 作者衷心感謝阿壩師范學院楊仕椿教授的悉心指導和熱情幫助!