季凱

（上海崇明市政工程有限公司，上海202150）

1 工程概況

老滧港河道整治工程位于長江入?？诘某缑鲘u，河道從現(xiàn)狀的44m寬拓至標(biāo)準(zhǔn)段的80m，并沿岸線向陸地側(cè)開挖出一個敞開式人工湖泊。護(hù)岸結(jié)構(gòu)型式共計(jì)10種，2種護(hù)岸結(jié)構(gòu)型式間設(shè)置過渡段銜接。

其中，E型護(hù)岸結(jié)構(gòu)（見圖1）為U型板樁護(hù)岸，該護(hù)岸采用U型預(yù)應(yīng)力混凝土板樁，穩(wěn)定可靠，過水?dāng)嗝娲螅饕獞?yīng)用在游艇碼頭?？康陌抖?。

F型護(hù)岸（見圖2）為親水平臺護(hù)岸，該護(hù)岸結(jié)構(gòu)結(jié)合了加筋麥克墊護(hù)坡、干砌塊石護(hù)坡，并結(jié)合景觀綠化在外側(cè)布置棧橋結(jié)構(gòu)。

E型和F型2種護(hù)岸結(jié)構(gòu)間的過渡段采用鋼筋混凝土格埂間灌砌塊石護(hù)坡的結(jié)構(gòu)型式，該過渡段共有6個坡面，平面圖及剖面圖如圖3和圖4所示，其中，A1′和E′點(diǎn)的平面坐標(biāo)設(shè)計(jì)圖中已給出。

圖1 E型護(hù)岸結(jié)構(gòu)

圖2 F型護(hù)岸結(jié)構(gòu)

2 過渡段結(jié)構(gòu)空間位置唯一性的確定

作為工程制圖學(xué)基礎(chǔ)的畫法幾何，它的創(chuàng)立者蒙日在談及這門學(xué)科時說道：這門學(xué)科有2個主要目的：（1）在只有2個尺度的圖紙上，準(zhǔn)確地表達(dá)出具有3個尺度而能以嚴(yán)格確定的物體；（2）根據(jù)準(zhǔn)確的圖形，推導(dǎo)出物體的形狀和物體各個組成部分的相互位置。

因此，根據(jù)設(shè)計(jì)圖上所表達(dá)的內(nèi)容，首先需要確定該過渡段的尺寸是否能嚴(yán)格限定，或者說過渡段結(jié)構(gòu)在空間上是否具有唯一性。

該過渡段是一個空間折面形結(jié)構(gòu)，A′、B′、C′等點(diǎn)是該結(jié)構(gòu)對應(yīng)點(diǎn)在水平面上的投影，而平面圖上反映的則是該結(jié)構(gòu)在水平面上的投影尺寸，為便于敘述，本文以A、B、C等點(diǎn)來表示對應(yīng)的投影點(diǎn)在空間中的實(shí)際位置[1]，如圖5所示。

根據(jù)E型/F型護(hù)岸結(jié)構(gòu)的平面尺寸、A1′、E′點(diǎn)平面坐標(biāo)及A1′E′直線與F型護(hù)岸河道藍(lán)線的夾角，可以求出B、C、D點(diǎn)在空間的位置，問題在于F、G、H3個點(diǎn)空間位置的確定。

由圖4和圖5可知，ABF坡面的坡度為1∶3，而該坡面中A、B 2點(diǎn)位置已經(jīng)確定，則包含A、B、F3點(diǎn)的平面在空間具有唯一性。AF直線為ABF坡面與板樁臨水側(cè)垂直面的交線，而F點(diǎn)（或F′點(diǎn)——兩點(diǎn)重合）則是組成該交線的點(diǎn)集中高程為0.00m的點(diǎn)。因之，F(xiàn)點(diǎn)的空間位置可以確定下來。

同樣的，由B′G′∥C′H′∥A′F′，G、H2 點(diǎn)的空間位置可以確定[2]。

3 采用解析法進(jìn)行施工測量的優(yōu)點(diǎn)

過渡段的施工在兩側(cè)護(hù)岸結(jié)構(gòu)完成后進(jìn)行，依據(jù)圖中給定的過渡段實(shí)施范圍，由原地面向下挖土至結(jié)構(gòu)底面后再施作結(jié)構(gòu)層。由于結(jié)構(gòu)底面位置由頂面標(biāo)高減去結(jié)構(gòu)層厚度即可，因此，算得過渡段完成面特征點(diǎn)平面位置及高程后即可采用GPS或全站儀進(jìn)行定位。

圖3 E型護(hù)岸與F型護(hù)岸過渡段平面圖

圖4 E型護(hù)岸與F型護(hù)岸過渡段剖面圖

圖5 過渡段各點(diǎn)在空間中的實(shí)際位置

如采用立體幾何方法，由3個已知坡度的坡面頂點(diǎn)向水平面引垂線作出2個平面的二面角，利用已知條件亦可求得各坡面邊界的幾何尺寸，但是要算得每個坡面內(nèi)格埂內(nèi)側(cè)邊線的位置則十分不易。因格埂并非位于水平位置，其橫斷面坡度并非為 1∶3。

采用解析法的優(yōu)點(diǎn)是形象和直觀，將包含該坡面的平面方程求出，各個坡面交線相互之間的交點(diǎn)即為該坡面邊界特征點(diǎn)，而格埂內(nèi)側(cè)邊線即為過坡面邊界線而與水平面垂直的平面向坡面內(nèi)側(cè)方向偏移0.4m后的平面與該坡面的交線。利用解析法求出交線方程，交線之間的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得。

4 解析法計(jì)算精度的控制

大家知道，利用解析法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時產(chǎn)生的數(shù)據(jù)位數(shù)很多，而為確保計(jì)算的精度，數(shù)據(jù)位數(shù)應(yīng)盡量取多。河道過渡段的各坡面平面方程的表達(dá)式是根據(jù)該坡面的邊界特征點(diǎn)利用解析法求得的，而已知的A1′點(diǎn)和E′點(diǎn)坐標(biāo)其小數(shù)位精確至后3位，為控制在該坡面內(nèi)各坐標(biāo)數(shù)據(jù)的精度（偏離該坡面區(qū)域越遠(yuǎn)，數(shù)據(jù)偏差越大），數(shù)據(jù)位數(shù)的取舍宜保證該坡面內(nèi)坐標(biāo)數(shù)據(jù)偏差在厘米范圍[3]。

5 解析法坐標(biāo)系統(tǒng)的建立

由于上海城市平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于國際飯店樓頂旗桿中心，上海市高程系統(tǒng)采用吳淞高程。因此，以國際飯店樓頂旗桿中心處對應(yīng)的吳淞零點(diǎn)位置作為笛卡爾空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，正北方向?yàn)閄軸，正東方向?yàn)閅軸，垂直向上為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

6 過渡段各坡面特征點(diǎn)及坡面方程的確定

6.1 A、B、C、D 各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

根據(jù)設(shè)計(jì)圖，利用幾何關(guān)系，A、B、C、D各點(diǎn)坐標(biāo)容易求出，計(jì)算結(jié)果如下：A（43967.997，-4631.542，3.975）、B（43 962.510，-4 630.633，2.3）、C（43 958.252，-4 629.927，2.3）、D（43 951.712，-4 628.843，1.1）。

6.2 F點(diǎn)位置的確定

AF直線是ABF坡面與過AF直線的垂直面（即為板樁臨水面）的交線，F(xiàn)點(diǎn)是組成AF直線的點(diǎn)集中Z=0的點(diǎn)。

6.2.1 過AF直線的垂直面方程（板樁臨水面平面方程）

由A、B坐標(biāo)，算得A′B′方位角為 170°35′36.84″，則A′F′方位角為 170°35′36.84″-64°38′7.01″=105°57′29.83″。

A′F′直線方程為：（注意：測量坐標(biāo)系中的x軸為正北方向，與數(shù)學(xué)坐標(biāo)系中相反）

式（1）為XY平面中A′F′直線的方程，如在XYZ空間直角坐標(biāo)系中亦可理解為過AF直線（或A′F′直線）的垂直面方程。

6.2.2ABF坡面方程的確定

首先，引入一個定理：含3個變數(shù)x、y、z的每個一次方程，在笛卡爾坐標(biāo)中表示一個平面，反之每個平面在任意的笛卡爾坐標(biāo)中都用這樣的方程來表示。即空間的任一平面可用三元一次方程：

Ax+By+Cz+D=0（平面的一般方程）或A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（平面的點(diǎn)法式方程）來表示，式中，A、B、C為該平面一個法線向量的x、y、z坐標(biāo)。

由于A點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)已求出，則 AB={-5.487，0.909，-1.675}。將A點(diǎn)坐標(biāo)（43 967.997，-4 631.542，3.975）及AB分別代入平面的點(diǎn)法式方程，得：

由于存在A、B、C3個未知數(shù)，為求解該平面方程需3個獨(dú)立的條件方程，為此還需要另外一個條件。

根據(jù)設(shè)計(jì)圖，ABF坡面坡比為1∶3，即ABF所在平面與水

取水平面為Z=0，則該平面的一個法線向量為（0，0，1），用點(diǎn)法式表示該平面則為0x+0y+1z=0

ABF坡面與水平面二面角的余弦值此處用A、B、C分別代替A2、B2、C2，故解得：

6.2.3F點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

過AF直線的垂直面與ABF坡面的交線即為AF直線，AF直線中Z=0的點(diǎn)則是F點(diǎn)，于是問題轉(zhuǎn)化為解方程組：

得：x=43 963.762 88；y=-4 616.735 296。

保留3位小數(shù)后，得F點(diǎn)坐標(biāo)為（43963.763，-4616.735，0）

6.3 G點(diǎn)、H點(diǎn)位置的確定

G點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算思路同F(xiàn)點(diǎn)，由B點(diǎn)坐標(biāo)及B′G′∥A′F′，計(jì)算出過BG直線（或B′G′直線）的垂直面方程，再由B點(diǎn)、C點(diǎn)坐標(biāo)及BCG坡面坡比為1∶3，計(jì)算出過BCG坡面的平面方程，從而解出過B、G2點(diǎn)的空間直線方程，該直線中z=0的點(diǎn)即為G點(diǎn)。

H點(diǎn)稍有不同，其高程不為0，計(jì)算時按-0.5～0m內(nèi)插得高程為-0.1585m。解出過C、H2點(diǎn)的空間直線方程后，令z=-0.1585，得出H點(diǎn)的X、Y坐標(biāo)。

限于篇幅，現(xiàn)將G點(diǎn)、H點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果及過BCG、CDH坡面的平面方程列出：

BCG坡面方程為：

CDH坡面方程為：

6.4 BFG、CGH、DHE坡面方程的確定

由已求出的各坡面的3個邊界特征點(diǎn)，根據(jù)平面的三點(diǎn)式方程：

即可求出BFG、CGH、DHE3個坡面的平面方程。

現(xiàn)以BFG坡面為例。

首先將平面的三點(diǎn)式方程展開：

B、F、G3 點(diǎn)坐標(biāo)已求出，分別如下：B（43 962.510，-4 630.633，2.3）；F（43 963.763，-4 616.735，0）；G（43 960.410，-4 623.291，0）。

將B點(diǎn)坐標(biāo)記為（x0，y0，z0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)記為（x1，y1，z1），G點(diǎn)坐標(biāo)記為（x2，y2，z2），得：

將上述數(shù)據(jù)代入三點(diǎn)式方程，整理得BGF坡面方程為：

同理可得CGH坡面方程為：

DHE坡面方程為：

7 各坡面格埂內(nèi)側(cè)邊線位置的確定

由于各坡面格埂外側(cè)邊線即為坡面邊線，而內(nèi)側(cè)邊線為位于該坡面內(nèi)的一條空間直線，其與外側(cè)邊線間距離的水平投影長度為0.4m（即格埂寬度），據(jù)此，格埂內(nèi)側(cè)邊線的位置邊可以確定下來。

限于篇幅，以位于ABF坡面的格埂內(nèi)側(cè)邊線JK為例進(jìn)行計(jì)算。

7.1 過B′F′（BF）直線的垂直面方程

由B′（43962.510，-4630.633），F(xiàn)′（43963.763，-4616.735），解出過B′F′的直線方程為：

式（14）為平面坐標(biāo)系中過B′F′的直線方程，在三維空間直角坐標(biāo)系中該式亦可理解為過B′F′的垂直平面方程[4]。

7.2 過J′K′（JK）直線的垂直面方程

根據(jù)相關(guān)定理，如果2個平面平行，那么其方程里變數(shù)項(xiàng)的系數(shù)成比例，也就是說，存在一個因子λ≠0，使得A2=λA1，B2=λB1，C2=λC1，實(shí)際上，將第 2 個平面方程兩邊同除以 λ 后，得到2個僅自由項(xiàng)系數(shù)不同的平面方程，因此，如果2個三元一次方程僅自由項(xiàng)系數(shù)不同，那么該2個平面為平行平面。

由于過B′F′直線的垂直平面方程為x-0.090 15y-44 379.96223=0，因此，將與該平面平行的平面方程設(shè)為x-0.09015y+D=0。

由于過J′K′直線的垂直平面與過B′F′直線的垂直平面之間的距離為0.4m，利用2個平行平面之間的距離公式：

去掉絕對值后分2種情況：

當(dāng)D+44379.96223≥0時，則D=-44379.56061，該D值為對應(yīng)于向ABF坡面外側(cè)偏移0.4m的垂直平面方程。

當(dāng)D+44379.96223≤0，則D=-44380.36385，該D值為對應(yīng)于向ABF坡面內(nèi)側(cè)偏移0.4m的垂直平面方程。

因此，過J′K′直線的垂直面方程為：

7.3 JK直線方程

過J′K′直線的垂直面與ABF坡面的交線即為JK直線，聯(lián)立方程（16）和方程（5），求解JK直線方程[5]。

取x=0，求得y=-492294.6628，z=80706.62073，將該點(diǎn)記為M1（0，-492294.6628，80706.62073）；

取y=0，求得x=44380.36385，z=-763.9199265，將該點(diǎn)記為M2（44380.36385，0，-763.9199265）。

故 M1M2=｛44380.36385,492294.6628,-81470.54066｝

因此，將M1點(diǎn)及方向向量M1M2代入直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解得JK直線方程為：

7.4 J點(diǎn)、K點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

按7.3節(jié)方法求得IK直線方程為：

由于A、B點(diǎn)坐標(biāo)已知，易求得AB直線方程為：

而AB直線與JK直線交點(diǎn)即為J點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立式（17）和式（18）2個直線方程，解得J點(diǎn)坐標(biāo)為：

IK直線與JK直線交點(diǎn)即為K點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立式（15）和式（16）2個直線方程，解得K點(diǎn)坐標(biāo)為：

同樣的，按此方法將各坡面內(nèi)格埂邊線特征點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出，隨后便可利用測量儀器進(jìn)行定位放線。

8 結(jié)語

該河道護(hù)岸過渡段施工測量的難點(diǎn)在于利用已知坡面的坡比求解各坡面特征點(diǎn)坐標(biāo)，包括位于該坡面內(nèi)的兩條格埂邊線，通過求解坡面方程和交線方程得到各邊界特征點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此進(jìn)行測量定位。運(yùn)用CAD軟件建立三維模型后對解算結(jié)果進(jìn)行復(fù)核，坐標(biāo)精度偏差在1cm以內(nèi)，證明該方法是可行的。對于類似的空間折面形結(jié)構(gòu)的測量定位，可按照上述思路及原理編制程序后進(jìn)行解算，通過控制數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)，即可達(dá)到滿意的精度。