劉 賽，李長春，朱 敏，李宇鵬，熊學(xué)文

（北京航天長征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

導(dǎo)彈是現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的主要兵器之一，子母戰(zhàn)斗部由于其能夠有效擴(kuò)大針對目標(biāo)的覆蓋面積，在導(dǎo)彈武器發(fā)展中得到了廣泛的應(yīng)用，如果按照目標(biāo)特性和毀傷效果對子母彈系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，則能夠大幅提高子母戰(zhàn)斗部的毀傷效能。

子母戰(zhàn)斗部最終的毀傷效能由子彈數(shù)量、威力及其落點分布決定。子彈的落點分布主要取決于母彈的彈道參數(shù)特性、子彈的氣動特性、子母彈拋撒特性和子彈的拋撒高度等因素。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]均對子母彈的拋撒半徑優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行了研究，其研究成果均可作為子母彈拋撒半徑的優(yōu)化設(shè)計方法；文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]對子母彈開艙高度的高低散布因素進(jìn)行了分析，提出了敏感參數(shù)和敏感度的概念?？梢妼τ谧幽笍?，拋撒半徑是一個非常重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，針對拋撒半徑開展優(yōu)化分析工作也是研究的熱點。

本文首先對子彈飛行彈道進(jìn)行建模，然后根據(jù)落速預(yù)測的理論對母彈飛行至理論拋撒高度時的速度進(jìn)行預(yù)測，并設(shè)計了一種重新計算拋撒高度的算法，根據(jù)該算法的計算結(jié)果在空中重新裝訂拋撒高度，通過仿真計算結(jié)果統(tǒng)計，應(yīng)用該方法后的子母彈拋撒半徑誤差將明顯減小。

1 動力學(xué)建模

導(dǎo)彈拋撒子彈時已經(jīng)進(jìn)入導(dǎo)彈的飛行末段，通常此時的飛行高度較低，在研究子母彈拋撒技術(shù)時，可以把地球看作其圓球模型與拋撒時母彈海平面高度彈下點相切的平面大地，在大地平面中建立拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系，如圖1所示。

圖1 子彈拋撒坐標(biāo)系、拋撒半徑定義Fig.1 Definition of Dispersion Coordinate System and Dispersion Radiusr—拋撒半徑

原點O為上述的切點，Oy軸垂直于大地平面指向母彈的拋撒點，Ox軸在平面內(nèi)指向母彈速度矢量在平面投影的方向（若速度方向垂直于平面，則可以任意選擇x軸方向），Oz軸按右手定則確定。

把母彈和子彈視為穩(wěn)定的質(zhì)點，在拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中建立子彈的飛行動力學(xué)和運動學(xué)方程：

式中 x，y，z為子彈在拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中的坐標(biāo)；Vx， Vy， Vz為子彈速度矢量在拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中各軸上的投影；V為子彈相對拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的速度；m為子彈的質(zhì)量； CA為子彈軸向力氣動系數(shù)即阻力系數(shù)；q為動壓；ρ為大氣密度； g0為重力加速度，考慮導(dǎo)彈拋撒高度高度通常在5 km以下，重力加速度變化較小，為簡化公式推導(dǎo)，取為海平面重力加速度，9.806 65 m/s2。

對式（1）進(jìn)行數(shù)值積分，可以計算出子彈的落點。在計算子彈落點的拋撒半徑時，可以簡化計算前、后、左、右4枚子彈的落點，然后根據(jù)落點坐標(biāo)計算等效圓半徑。在計算不同落點子彈的積分初始條件中，子彈的位置坐標(biāo)相同即母彈的位置：

式中0h為母彈在拋撒點的高度。

各子彈的初始速度不同，前落點子彈初始速度為

式中0V為母彈在拋撒點相對拋撒點當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的速度；0?為母彈在拋撒點的當(dāng)?shù)貜椀纼A角；pV為拋撒子彈的最大速度。

后落點子彈初始速度：

左落點子彈初始速度：

右落點子彈初始速度：

以式（2）～（6）為初始條件，對式（1）進(jìn)行數(shù)值積分，計算得到子彈的前、后、左、右落點，坐標(biāo)分別為：，其中 hc為落點高程，m。

計算拋撒半徑r：

2 落速預(yù)測理論

通常情況下，很難得到母彈飛行動力學(xué)的解析解，但是當(dāng)母彈在距離目標(biāo)較近的情況下，通過以下一系列假設(shè)，有利于得到落速解析解：

a）因母彈離目標(biāo)較近，可以只考慮俯仰平面飛行器的動力學(xué)方程；

b）母彈的當(dāng)?shù)貜椀纼A角變化范圍較??；

c）母彈落速的馬赫數(shù)在較小的變化區(qū)間中，且不涵蓋亞跨聲速范圍，母彈阻力系數(shù) Cx取常值（可以根據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行適當(dāng)修正）；

d）母彈拋撒前攻角近似為0；

根據(jù)以上假設(shè)，得到再入飛行器運動的動力學(xué)方程[7]：

對式（8）進(jìn)行變量替換，可得：

式中eV為進(jìn)行預(yù)測時母彈的速度；eh為進(jìn)行預(yù)測時母彈的高度。

使用式（9）計算時，可以根據(jù)需要保留不同階數(shù)，在本文的計算中，保留二階。

3 拋撒高度優(yōu)化算法

綜合式（1）～（7）可得：

根據(jù)式（10）的全微分可以近似得到[8]：

式中 Re為拋撒半徑；?Re為拋撒半徑偏差。

在導(dǎo)彈方案已經(jīng)確定的情況下，在飛行末段拋撒參數(shù)?0和Vp很難通過主動控制改變，因此可以認(rèn)為在式（11）中，??0=0，?Vpmax= 0 ，式（11）簡化為如下形式：

如果導(dǎo)彈仍在原理論高度進(jìn)行拋撒，即00h?=，可以得到：

根據(jù)式（9），即可求出導(dǎo)彈在原理論高度的速度與理論速度的偏差0V?，從而根據(jù)式（13）求出導(dǎo)彈在原理論高度拋撒時的拋撒半徑偏差eR?。本文設(shè)計一種空中裝訂拋撒高度的算法，計算導(dǎo)彈需要調(diào)整的拋撒高度，將該高度裝訂至導(dǎo)彈的引爆控制系統(tǒng)中，導(dǎo)彈將根據(jù)新裝訂的高度進(jìn)行拋撒，以抵消式（13）的偏差，從而減小拋撒半徑的誤差帶。

根據(jù)式（12）可以近似得到：

其中，可以根據(jù)式（9），以0V和0h替換式（9）中的V

根據(jù)式（13）、式（14），為抵消由拋撒點速度偏差0V?帶來的拋撒半徑偏差，可以得到：

整理式（16），得到：

式中 ?h0為在原拋撒高度基礎(chǔ)上需要調(diào)整的高度；? V0為根據(jù)式（9）預(yù)測的速度與導(dǎo)彈理論速度的差（均在原理論拋撒高度上）。

將式（15）的計算結(jié)果代入式（17），即可得到導(dǎo)彈需要調(diào)整的拋撒高度。

4 仿真計算

根據(jù)上文的算法計算1個算例：

假設(shè)導(dǎo)彈最大拋撒速度為40 m/s，設(shè)計拋撒高度為2000 m，拋撒時母彈速度為1000 m/s，拋撒時母彈當(dāng)?shù)貜椀纼A角為-60°，當(dāng)母彈飛行至5000 m時進(jìn)行落速預(yù)測并裝訂優(yōu)化后的拋撒高度。

初始條件代入式（1）～（6），計算得到拋撒半徑為96.9 m。拋撒半徑對拋散參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如表1所示。

表1 偏導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果Tab.1 Computational Results of Partial Derivatives

考慮母彈質(zhì)量、母彈速度、母彈當(dāng)?shù)貜椀纼A角、母彈氣動力系數(shù)、子彈質(zhì)量、子彈氣動力系數(shù)和大氣密度等偏差，應(yīng)用Monte Carlo法打靶計算1000條彈道，統(tǒng)計按理論高度拋撒的拋撒半徑結(jié)果和按算法裝訂拋撒高度的拋撒半徑結(jié)果。

母彈和子彈拋撒參數(shù)和特性參數(shù)的誤差如表2所示。

表2 拋撒參數(shù)和特性參數(shù)的誤差Tab.2 Errors of Dispersion Parameters and Characteristic Parameters

統(tǒng)計結(jié)果如表3所示。

表3 拋撒半徑統(tǒng)計結(jié)果Tab.3 Statistical Result of Dispersion Radius

5 結(jié) 論

本文設(shè)計的優(yōu)化算法簡單，利于導(dǎo)彈在空中進(jìn)行拋撒高度的計算裝訂，應(yīng)用本算法后，可明顯地減小子母彈拋撒半徑的誤差帶，有益于精確控制子母彈的拋撒半徑，從而實現(xiàn)最優(yōu)的毀傷效果。

同時，子彈出艙后的拋撒姿態(tài)、子彈氣動穩(wěn)定性、母彈激波層等會為子彈帶來飛行穩(wěn)定性的影響，從而會影響子彈散布，對此本文未進(jìn)行分析，這也將是后續(xù)研究的方向。但是，可以根據(jù)地面試驗和飛行試驗獲取的數(shù)據(jù)對本文所述的方法進(jìn)行修正，主要是修正母彈和子彈的阻力系數(shù)，修正后的方法仍可以適用于工程應(yīng)用。