田萌

【摘 要】大數(shù)據(jù)時代中，數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng)課堂教學(xué)面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。針對數(shù)學(xué)分析中的幾個概念及定理，提出滲透數(shù)據(jù)挖掘算法思想的教學(xué)構(gòu)思，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的同時，培養(yǎng)學(xué)生初步進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力，有效提高數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)素質(zhì)與綜合素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析;大數(shù)據(jù);數(shù)據(jù)挖掘;教學(xué)改革

中圖分類號： G642.421文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）13-0113-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.13.052

Classroom Teaching Reform of Mathematics Analysis Course in the Background of Big Data

Tian Meng

（Shandong university of technology， school of mathematics and statistics， Zibo Shandong 255000， China）

【Abstract】In the era of big data， the traditional classroom teaching of mathematical analysis is facing severe challenges. This paper puts forward the teaching idea of infiltrating the thought of data mining algorithm based on several concepts and theorems in mathematical analysis. It can promote the development of students mathematical thinking， cultivate students ability of preliminary data analysis， and improve the professional quality and comprehensive quality of students majoring in mathematics and applied mathematics effectively.

【Key words】Mathematical Analysis; Big Data; Data Mining; Classroom Teaching Reform

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)核心課程，它具有數(shù)理邏輯強(qiáng)、課程體系大、課程學(xué)時長、學(xué)習(xí)困難程度高等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)分析所涵括的基本概念、基本理論及基本技巧為該專業(yè)學(xué)生進(jìn)行后續(xù)課程如復(fù)變函數(shù)、常微分函數(shù)、泛函分析等提供了必要的知識儲備。而且數(shù)學(xué)分析的教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力、邏輯思維能力有著重要的助力作用。正因如此，數(shù)學(xué)分析教學(xué)在數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中起到了舉足輕重的作用。

1 問題的提出

多年的數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)中，一代代的授課老師在進(jìn)行學(xué)情分析和教材分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行了諸多的教學(xué)改革，如栗艷麗探究了新時期數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法[1]，吳金霞等針對數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法和考試方法進(jìn)行了探索改革[2]，張冕在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺下探索了數(shù)學(xué)分析混合式教學(xué)研究的可行性[3]，而姚玉武嘗試了分層教學(xué)方式的數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)的實(shí)現(xiàn)性[4]等。這些教學(xué)改革多為針對教學(xué)內(nèi)容不夠優(yōu)化、教學(xué)模式不夠創(chuàng)新、考核方式不夠靈活、理論與實(shí)際聯(lián)系不夠等數(shù)學(xué)分析教學(xué)中固有問題所進(jìn)行的研究探索，部分解決了數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一些問題。

自2011年麥肯錫公司發(fā)布的《大數(shù)據(jù)：創(chuàng)新、競爭和生產(chǎn)力的下一個新領(lǐng)域》報(bào)告揭開了大數(shù)據(jù)時代的序幕以來，與大數(shù)據(jù)相關(guān)的技術(shù)發(fā)展與創(chuàng)新現(xiàn)已經(jīng)滲入到學(xué)習(xí)、生產(chǎn)、生活的方方面面。身處大數(shù)據(jù)時代，在創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育背景下針對大學(xué)生進(jìn)行必要的大數(shù)據(jù)思維培訓(xùn)是必需的。開展數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的課堂滲透，對于夯實(shí)學(xué)生的專業(yè)知識、提高學(xué)生的大數(shù)據(jù)分析能力、鍛煉學(xué)生的實(shí)踐動手能力都有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)及統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課程，在當(dāng)前的大數(shù)據(jù)背景下，如何在數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng)教學(xué)中嵌入數(shù)據(jù)分析的思想是當(dāng)前數(shù)學(xué)分析教學(xué)亟待解決的問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)側(cè)重理論體系的嚴(yán)密性和推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性，忽視了理論的現(xiàn)實(shí)性和實(shí)用性，容易使學(xué)生產(chǎn)生“數(shù)學(xué)知識是可望而不可即的空中樓閣”的錯覺。適時地在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中融入數(shù)據(jù)分析的算法思想，能使學(xué)生在枯燥的數(shù)學(xué)公式推理中看到實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，這將既有助于學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)概念與結(jié)論，又能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的自覺性與主動性。本文將就數(shù)學(xué)分析中的幾個基礎(chǔ)概念及定理來探討數(shù)學(xué)分析課堂中滲透數(shù)據(jù)分析算法思想的教學(xué)可行性。

2 數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中數(shù)據(jù)挖掘算法思想的滲透探索

2.1 鄰域概念的延伸

鄰域是數(shù)學(xué)分析中的一個基本概念，在后面極限與導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算的內(nèi)容講解中，鄰域的正確理解都起到了很重要的作用。數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng)教學(xué)中，鄰域的講解都側(cè)重于數(shù)據(jù)的左右鄰域或空心鄰域，以期望學(xué)生更好地理解極限、連續(xù)等后續(xù)概念。事實(shí)上，鄰域這種思想在數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)上的樸素實(shí)現(xiàn)就是K-最近鄰算法（K-NN）。K-NN算法的基本思想就是“物以類聚”，簡單描述為對于一個未知類別的樣本點(diǎn)，可依據(jù)該樣本緊鄰的已知類別樣本的主導(dǎo)類別來對該樣本點(diǎn)進(jìn)行類別賦值。該算法是一種惰性學(xué)習(xí)算法，能極大地節(jié)省建模時間。課程教學(xué)中，K-NN算法的引入能使學(xué)生形象的理解元素緊鄰與元素本身的關(guān)系如同函數(shù)在某點(diǎn)處的左右極限與該點(diǎn)的函數(shù)值之間的關(guān)系，因此K-NN算法可視為鄰域思想的一種算法實(shí)現(xiàn)。

2.2 導(dǎo)數(shù)與梯度概念的延伸

導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析中的關(guān)鍵概念，求導(dǎo)運(yùn)算作為極限思想的一個具體體現(xiàn)，貫穿于數(shù)學(xué)分析的整個教學(xué)過程中。利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來尋找函數(shù)的極值是數(shù)據(jù)分析中的一個常規(guī)想法。牛頓法與擬牛頓法是求解無約束最優(yōu)化問題的常規(guī)算法。其中牛頓算法是利用求解目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣的逆矩陣來實(shí)現(xiàn)，而擬牛頓算法提出利用近似海森矩陣的逆矩陣來簡化海森矩陣逆矩陣的計(jì)算來減小計(jì)算復(fù)雜性。課堂教學(xué)中，授課中可以通過圖解牛頓法與擬牛頓法的算法流程，使學(xué)生直觀感受到導(dǎo)數(shù)在極值求解中的應(yīng)用，從而加深了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。梯度是導(dǎo)數(shù)在多元函數(shù)研究領(lǐng)域的體現(xiàn)。而梯度下降法與共軛梯度法則是該數(shù)學(xué)概念在數(shù)據(jù)挖掘算法中的具體實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，側(cè)重于概念的講解與計(jì)算技巧的灌輸。若在課堂教學(xué)中伺機(jī)插入梯度下降法與共軛梯度法等的算法思想，并進(jìn)行這些實(shí)際算法的動態(tài)演示，必極大地促進(jìn)學(xué)生對梯度概念的直觀理解，提高學(xué)生們學(xué)習(xí)的積極性。

2.3 區(qū)間套定理的延伸

區(qū)間套定理是數(shù)學(xué)分析中實(shí)數(shù)完備性理論的一個重要內(nèi)容，是六大實(shí)數(shù)完備性定理之一。數(shù)學(xué)分析的常規(guī)教學(xué)是通過多定理間的等價關(guān)系來論證該定理的正確性。事實(shí)上，授課老師可以穿插二分法、黃金分割法等經(jīng)典的基于區(qū)間收縮的數(shù)值搜索算法。這類方法的思想很直接，都是在已知目標(biāo)點(diǎn)包含于搜索區(qū)間內(nèi)的前提下，依據(jù)算法設(shè)定不斷縮小搜索區(qū)間的長度構(gòu)造出嵌套的區(qū)間套序列，由區(qū)間套定理知搜索區(qū)間的端點(diǎn)最終將逼近到目標(biāo)點(diǎn)。算法演示可以讓學(xué)生直觀看到區(qū)間套定理的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，從而體會數(shù)學(xué)理論的現(xiàn)實(shí)魅力。

2.4 高斯函數(shù)的延伸

在華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析[5]中，高斯函數(shù)是在二元函數(shù)的積分變換中被提及的。數(shù)學(xué)分析教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的是該函數(shù)原函數(shù)不存在，從而不適用常規(guī)積分手段，繼而借用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來求解。事實(shí)上，高斯函數(shù)在數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，高斯函數(shù)在支持向量機(jī)中的應(yīng)用。支持向量機(jī)是由Vapnic在20世紀(jì)90年提出的一種健壯準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)挖掘方法，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于人臉圖像識別、天氣預(yù)測、地理圖譜分析等諸多領(lǐng)域?；诟咚购瘮?shù)構(gòu)造的高斯核函數(shù)是支持向量機(jī)中應(yīng)用最為廣泛的核函數(shù)，其原因在于該函數(shù)的單峰性、快速衰減性以及單參數(shù)的易優(yōu)化性。數(shù)學(xué)分析教學(xué)中如果加入高斯核函數(shù)核心內(nèi)容的講解。為避免占用過多課時可側(cè)重高斯核函數(shù)的相似性度量概念。建立樣本點(diǎn)緊鄰相似度高，較遠(yuǎn)處相似度低的樸素分類思想，必能加深學(xué)生對高斯函數(shù)的單峰性與快速衰減性的理解，進(jìn)而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的獲得感。

2.5 達(dá)布和概念的延伸

數(shù)學(xué)分析在講解函數(shù)可積性條件時，會介紹達(dá)布上和和達(dá)布下和的概念，并通過達(dá)布上和和達(dá)布下和的逼近最終得出定積分的定義。各類教材都通過達(dá)布上和和下和的二維呈現(xiàn)來直觀構(gòu)建學(xué)生對定積分概念的幾何解釋。數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域有著相似思想的算法理論是粗糙集理論。粗糙集理論是上世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一門軟計(jì)算方法，它在分類機(jī)制上增加了不確定因素和不完備信息的處理手段。粗糙集的基底構(gòu)建可淺顯理解為對象肯定屬于集合（達(dá)布下和），對象肯定不屬于集合（達(dá)布上和的補(bǔ)集），對象可能屬于也可能不屬于集合（達(dá)布上和與達(dá)布下和的差）。粗糙集的主要思想就是利用已知的知識，對不確定或不精確的知識來進(jìn)行刻畫。該理論還可進(jìn)一步引申于三支決策理論中。簡單介紹粗糙集及三支決策理論，能讓學(xué)生更好地感受數(shù)學(xué)思想的一脈相承。

數(shù)學(xué)分析的思想博大精深，以上我們僅選取了幾點(diǎn)來展示數(shù)學(xué)分析中的思想在數(shù)據(jù)分析算法中的應(yīng)用。我們深刻體會到古老的數(shù)學(xué)分析思想在當(dāng)前的數(shù)據(jù)挖掘算法中所展現(xiàn)的勃勃生機(jī)。數(shù)學(xué)分析傳統(tǒng)課堂教學(xué)與時下數(shù)據(jù)挖掘算法思想的有機(jī)結(jié)合，必能提升數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)認(rèn)同感，提高他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺性和探索數(shù)據(jù)分析方法的主動性。

3 總結(jié)

基于互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的大數(shù)據(jù)時代的來臨，促發(fā)了教師與學(xué)生這兩類教學(xué)主體間交流、合作共進(jìn)的動態(tài)轉(zhuǎn)化，和課堂教學(xué)與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這兩類教學(xué)主要手段的重大變革。在當(dāng)前大數(shù)據(jù)背景下，普及數(shù)據(jù)科學(xué)知識，需要以大數(shù)據(jù)分析為核心，依托計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)等基礎(chǔ)支撐學(xué)科，培養(yǎng)滿足時代需要、社會需要的新一代人才，從而為未來國家間的角力提供必要的人才儲備資源。

社會的需求對數(shù)學(xué)分析等傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)，授課老師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變觀念，響應(yīng)時代要求，樹立大數(shù)據(jù)教育觀念，抓住數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的機(jī)遇，將數(shù)據(jù)分析的思想融入課堂教學(xué)中。這需要授課老師大范圍涉獵數(shù)據(jù)分析知識，積極革新知識儲備，使自己具備在傳統(tǒng)授課知識點(diǎn)有機(jī)貫穿數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的能力。這種授課方式既夯實(shí)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)又能強(qiáng)化學(xué)生們的學(xué)習(xí)直觀，在潛移默化中幫助學(xué)生樹立數(shù)據(jù)價值觀，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神，深層激發(fā)學(xué)生們的好奇心和戰(zhàn)斗力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)理論知識學(xué)習(xí)的獲得感。在窺探數(shù)據(jù)科學(xué)的魅力的同時，建立起順應(yīng)時代的大數(shù)據(jù)觀。

【參考文獻(xiàn)】

[1]栗艷麗.《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)方法的探究[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，35（02）：108-109.

[2]吳金霞，劉闖.數(shù)學(xué)分析教學(xué)方法及考試方法改革[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會科學(xué)版），2018，40（02）：138-142.

[3]張冕.網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺下《數(shù)學(xué)分析》課程的混合式教學(xué)研究[J].教育教學(xué)論壇，2018（18）：210-211.

[4]姚玉武.應(yīng)用型高校數(shù)學(xué)專業(yè)分析類課程教學(xué)內(nèi)容的分層與教學(xué)——以合肥學(xué)院為例[J].中國培訓(xùn)，2016（08）：23-24.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下）[M].高等教育出版社，2010.