杜堅(jiān) 謝聰

（西南石油大學(xué)，成都 610500）

主題詞：鋰電池 SOC估計(jì) 強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波

1 前言

對于電動(dòng)汽車，電池荷電狀態(tài)SOC反映了汽車當(dāng)前狀態(tài)下的續(xù)航能力，研究電池荷電狀態(tài)估計(jì)問題，對合理管理電池、確定汽車?yán)m(xù)航能力具有重要意義。

電池SOC無法直接測量，只能通過測量電池電壓、內(nèi)阻等參數(shù)間接估計(jì)。電池SOC估計(jì)方法分為傳統(tǒng)算法和智能算法，傳統(tǒng)算法根據(jù)開路電壓與某一參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行測量，包括開路電壓法、內(nèi)阻法、安時(shí)積分法等[1-3]。其中，開路電壓法在電池長期靜置后才可使用，無法應(yīng)用于汽車行駛狀態(tài)；內(nèi)阻法問題在于內(nèi)阻難以測量；安時(shí)積分法由于使用積分算法而容易產(chǎn)生積累誤差。由上述分析可知，傳統(tǒng)SOC估計(jì)方法限制較多，因此當(dāng)前SOC估計(jì)研究熱點(diǎn)集中在基于智能算法的SOC估計(jì)方面。智能算法使用算法的群智能性搜索SOC最優(yōu)估計(jì)值，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、粒子群算法、卡爾曼濾波等[4-6]。

本文針對狀態(tài)突變、模型不準(zhǔn)確、SOC初值誤差大等異常情況下SOC估計(jì)問題進(jìn)行研究，提出了基于強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法的估計(jì)方法。仿真結(jié)果表明，該方法在以上特殊情況下能夠給出高精度的SOC估計(jì)值。

2 鋰電池模型及參數(shù)辨識

2.1 鋰電池模型

電池建模要遵循兩個(gè)原則：一是模型不能太復(fù)雜，保證計(jì)算量在接受范圍內(nèi)；二是模型能準(zhǔn)確模擬電池動(dòng)靜態(tài)特性。選用電路模型模擬電池內(nèi)部狀態(tài)，常用電路模型包括理想模型、戴維南模型、PNGV模型和雙階RC模型等[7,8]。雙階RC模型將電化學(xué)極化過程和濃度極化過程分開表示，與其它電池模型相比具有較高擬合精度，因此選用雙階RC模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中Uoc為電池開路電壓；R0為電池歐姆內(nèi)阻，反映電池濃差極化過程，即狀態(tài)突變后快速反應(yīng)過程；RdCd回路反映電池電化學(xué)極化過程，即狀態(tài)突變后慢速反應(yīng)過程；I為電池內(nèi)部電流；Ut為電池端電壓。

圖1 雙階RC模型[8]

鋰電池狀態(tài)空間方程是SOC估計(jì)的基礎(chǔ)，首先設(shè)定鋰電池狀態(tài)向量為：

式中，Us為RsCs回路端電壓；Ud為RdCd回路端電壓；τs、τd為2個(gè)RC回路的時(shí)間常數(shù)。

則鋰電池狀態(tài)空間方程為：

式中，I(t)為電池內(nèi)部電流；Qc為電池容量；Cs為RsCs回路電容；Cd為RdCd回路電容。

輸出方程為：

2.2 模型參數(shù)辨識

由圖1中雙RC模型可知，待辨識參數(shù)包括R0、Rs、Rd、Cs、Cd等，當(dāng)電池SOC值不同時(shí)，參數(shù)值也不同，因此每隔10%SOC值進(jìn)行1次參數(shù)辨識。由于鋰電池具有滯回特性，參數(shù)在充電和放電時(shí)數(shù)值相差較大，因此對充電和放電過程分別進(jìn)行參數(shù)辨識。采用HPPC方法進(jìn)行參數(shù)辨識，為了保證電池狀態(tài)穩(wěn)定性，每次試驗(yàn)后將電池靜置30min后再進(jìn)行下次試驗(yàn)。充電和放電過程參數(shù)辨識結(jié)果如表1和表2所示。

表1 放電過程參數(shù)辨識結(jié)果

表2 充電過程參數(shù)辨識結(jié)果

2.3 開路電壓-荷電狀態(tài)關(guān)系

因式（3）中Uoc(SOC)的函數(shù)關(guān)系未知，所以需要建立Uoc與SOC之間的函數(shù)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)證鋰電池在充電和放電過程中，Uoc與SOC之間的函數(shù)曲線幾乎重合，滯回特性表現(xiàn)不明顯，因此取充電和放電過程的均值曲線建立函數(shù)關(guān)系式。利用25℃恒溫試驗(yàn)方法進(jìn)行函數(shù)關(guān)系辨識，將鋰電池在滿電狀態(tài)下靜置2 h使?fàn)顟B(tài)穩(wěn)定；然后放電5min，釋放電量為1 C；再靜置5min使?fàn)顟B(tài)穩(wěn)定，記錄靜置期間最大開路電壓并作為此SOC值時(shí)的開路電壓。重復(fù)以上步驟直至放電完畢，得到不同SOC值時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用多項(xiàng)式擬合Uoc與SOC之間的關(guān)系式。

經(jīng)驗(yàn)證，7階多項(xiàng)式模型擬合精度比6階模型擬合精度高一個(gè)數(shù)量級，8階多項(xiàng)式模型擬合精度與7階模型相差不大，因此選用7階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖2所示，Uoc與SOC關(guān)系式為：

3 強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法

3.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波只適用于線性系統(tǒng)，對于鋰電池這種非線性系統(tǒng)，可使用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)[9]。擴(kuò)展卡爾曼濾波使用泰勒級數(shù)將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，再使用卡爾曼濾波估計(jì)方法[10]。

圖2 Uoc與SOC的擬合曲線

非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程為：

式中，f(xk,uk)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；wk為狀態(tài)噪聲；h(xk,uk)為觀測函數(shù)；vk為觀測噪聲。

使用泰勒級數(shù)將非線性函數(shù)f(xk,uk)、h(xk,uk)在處展開，保留零次項(xiàng)和一次項(xiàng)，得

設(shè)

則可將式（5）近似為線性系統(tǒng)：

對此線性系統(tǒng)進(jìn)行卡爾曼濾波估計(jì)使用的迭代公式為：

一步狀態(tài)估計(jì)方程：

估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣：

修正系數(shù)矩陣：

系統(tǒng)狀態(tài)更新公式：

誤差協(xié)方差陣更新公式：

對此過程反復(fù)迭代就可以對鋰電池狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)最優(yōu)估計(jì)，得到鋰電池SOC最優(yōu)估計(jì)值。

3.2 強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法原理

對于電動(dòng)汽車鋰電池SOC估計(jì)問題，存在以下異常情況：

a.汽車行駛過程中，由于爬坡、加速、制動(dòng)等使電池電流、開路電壓等狀態(tài)發(fā)生突變；

b.電池模型無法完全模擬電池復(fù)雜的內(nèi)部過程，且電池使用過程中模型參數(shù)容易變化，使電池模型與實(shí)際狀態(tài)相差更大；

c.電池SOC初始值難以準(zhǔn)確給出，存在較大初值誤差等。

對于以上異常情況，需要一種在任何情況下都能夠強(qiáng)行使估計(jì)殘差保持正交，即在任何情況下都能夠?qū)埐顝?qiáng)行轉(zhuǎn)化為白噪聲的濾波方法?；诖?，引入時(shí)變漸消因子，提出了強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法。

通過引入估計(jì)殘差，將擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中系統(tǒng)狀態(tài)更新公式改寫為：

強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波的實(shí)質(zhì)是通過設(shè)計(jì)增益矩陣Lk，使殘差γk為高斯序列，即滿足：

式（16）表示當(dāng)電池出現(xiàn)狀態(tài)突變、模型不準(zhǔn)確、SOC初始誤差大等異常情況時(shí)，狀態(tài)估計(jì)值與實(shí)際值會產(chǎn)生較大的殘差，通過在線確定增益矩陣Lk，強(qiáng)行使殘差相互正交保持高斯特性，保持對系統(tǒng)的精確跟蹤；若沒有異常情況，上式自然成立，此時(shí)強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波退化為擴(kuò)展卡爾曼濾波。

3.3 強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)

分析擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中修正系數(shù)矩陣表達(dá)式可知，可以通過調(diào)節(jié)改變修正系數(shù)矩陣。為了實(shí)現(xiàn)算法的強(qiáng)跟蹤特性，引入漸消因子λk減小舊數(shù)據(jù)在估計(jì)值中的權(quán)重，即誤差協(xié)方差矩陣改進(jìn)為：

可以通過式（16）中的正交公式對式（17）求解，求解方法為梯度法和非線性規(guī)劃法，但是求解過程復(fù)雜、計(jì)算量巨大，因此給出次優(yōu)漸消因子為：

式中，λk為次優(yōu)漸消因子；tr（）為矩陣的秩；V0,k為殘差協(xié)方差陣；ρ為遺忘因子；β為弱化因子，且β≥1。

將式（17）和式（18）代入到修正系數(shù)矩陣公式，得到強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波修正系數(shù)矩陣。

將鋰電池的狀態(tài)空間方程和觀測方程進(jìn)行離散化處理，即

根據(jù)式（22）給出的離散方程、式（18）給出的次優(yōu)漸消因子計(jì)算方法，強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法使用的迭代公式為：

狀態(tài)一步估計(jì)：

計(jì)算觀測輸出：

誤差協(xié)方差矩陣：

修正系數(shù)矩陣：

系統(tǒng)狀態(tài)更新公式：

誤差協(xié)方差矩陣更新公式：

此6個(gè)公式反復(fù)迭代就實(shí)現(xiàn)了鋰電池SOC的強(qiáng)跟蹤最優(yōu)估計(jì)。

4 仿真驗(yàn)證

設(shè)計(jì)了兩組仿真驗(yàn)證，第1組仿真驗(yàn)證用于驗(yàn)證強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波對模型不準(zhǔn)確、系統(tǒng)狀態(tài)突變這兩種異常情況下的估計(jì)精度；第2組仿真驗(yàn)證用于驗(yàn)證電池SOC初始誤差較大情況下的SOC估計(jì)精度。

4.1 第1組仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法對系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確和狀態(tài)突變時(shí)的估計(jì)精度，在開路電壓中加入均值為0.01、方差為0.1的隨機(jī)噪聲，用于模擬模型不準(zhǔn)確的情況；同時(shí)設(shè)計(jì)了帶有電流突變的充放電試驗(yàn)，用于模擬狀態(tài)突變。數(shù)據(jù)采集頻率為1 Hz，采集時(shí)間共8 320 s，仿真得到的電流、電壓曲線如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)采集結(jié)果

分別使用擴(kuò)展卡爾曼濾波和強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法對電池SOC值進(jìn)行估計(jì)，算法參數(shù)設(shè)定為：遺忘因子ρ=0.95、弱化因子β=1.2、觀測噪聲R=0.05、狀態(tài)初始值x0=[8 0 %,0,0]T、誤差協(xié)方差矩陣初始值P0=I3×3、狀態(tài)噪聲Q=diag(0 .001,0.1,0.1)。兩種算法對電池SOC估計(jì)結(jié)果如圖4所示。

從圖4可看出，在系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確和狀態(tài)突變的情況下，擴(kuò)展卡爾曼濾波得到的SOC估計(jì)結(jié)果波動(dòng)較大，而強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波得到的SOC估計(jì)值波動(dòng)較小。為更加直觀比較兩個(gè)算法的估計(jì)結(jié)果，對估計(jì)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波的估計(jì)誤差維持在2%之內(nèi)，而擴(kuò)展卡爾曼濾波的最大估計(jì)誤差達(dá)到了4.5%。這是因?yàn)楫?dāng)出現(xiàn)模型不準(zhǔn)確和狀態(tài)突變等異常情況時(shí)，強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波能夠及時(shí)調(diào)整修正系數(shù)矩陣，使殘差成為白噪聲序列，確保估計(jì)值的最優(yōu)；而擴(kuò)展卡爾曼濾波的非線性誤差、狀態(tài)突變誤差、模型不準(zhǔn)確誤差相互疊加，使估計(jì)誤差較大。

圖4 兩種算法的SOC估計(jì)結(jié)果

4.2 第2組仿真驗(yàn)證

第2組仿真驗(yàn)證的目的是驗(yàn)證電池SOC初始誤差較大時(shí)估計(jì)精度問題。根據(jù)式（4）可以準(zhǔn)確計(jì)算出SOC初始值，但是測量開路電壓時(shí)，要求電池靜置0.5 h以上，這一條件在汽車使用過程中難以滿足，所以多數(shù)情況下電池SOC初始值難以計(jì)算。仿真時(shí)設(shè)置電池SOC真值為80.5%，為了驗(yàn)證算法對初始誤差的估計(jì)精度，將SOC初始值設(shè)置為40%，分別使用擴(kuò)展卡爾曼濾波和強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波對電池SOC進(jìn)行估計(jì)，算法參數(shù)與第1組仿真一致。為了更加清晰地比較兩算法對初始誤差的修正速度，給出了前50個(gè)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果，如圖5所示。

圖5 前50數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)果（放大圖）

從圖5可看出，兩種算法最終都可以收斂到真值，但是強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法在15 s內(nèi)就收斂至真值附近，而擴(kuò)展卡爾曼濾波在40 s時(shí)才收斂到真值附近，這充分說明強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波應(yīng)對SOC初始誤差時(shí)具有更快的收斂速度。這是因?yàn)閺?qiáng)跟蹤卡爾曼濾波的修正系數(shù)矩陣能夠依據(jù)異常情況自適應(yīng)地調(diào)整，使SOC估計(jì)值快速向真值靠攏。

5 結(jié)束語

建立了鋰電池的雙RC等效電路模型，在分析擴(kuò)展卡爾曼濾波基礎(chǔ)上，提出了強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法。通過仿真驗(yàn)證表明，所提出的強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法對狀態(tài)突變、模型不準(zhǔn)確、SOC初始誤差等異常情況時(shí)的估計(jì)精度和收斂速度明顯優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波。因此通過調(diào)整增益矩陣，強(qiáng)行使殘差正交，可以使強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波算法應(yīng)對異常情況時(shí)，SOC估計(jì)精度依然很高。