韓偉，毛崎波，田文昊

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063)

0 引 言

在航空工程中，有很多梁結(jié)構(gòu)處于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如螺旋槳、渦輪葉片等。這些結(jié)構(gòu)在復(fù)雜惡劣的自然環(huán)境中長(zhǎng)期處于高強(qiáng)度、高負(fù)荷運(yùn)行狀態(tài)，容易出現(xiàn)裂紋損傷。因此，對(duì)這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)十分必要，以振動(dòng)測(cè)試技術(shù)為代表的無損檢測(cè)技術(shù)具有實(shí)時(shí)、高效、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，逐漸引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。而對(duì)損傷結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析是進(jìn)行無損檢測(cè)的重要基礎(chǔ)。目前大部分研究主要集中在非旋轉(zhuǎn)損傷梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性的研究，如大跨度橋梁、橋式起重機(jī)等，而對(duì)于螺旋槳、渦輪葉片等旋轉(zhuǎn)梁的裂紋損傷動(dòng)力特性的研究，至今只有少量文獻(xiàn)涉及。

Liu C等[5]提出了一種裂紋六面體有限元法，用于裂紋葉片的動(dòng)態(tài)分析，解決轉(zhuǎn)子系統(tǒng)葉片裂紋建模精度與效率之間的矛盾。喬社寧等[6]通過搭建風(fēng)機(jī)在自由懸掛狀態(tài)下的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析平臺(tái)，分別在無裂紋和不同裂紋深度等8種情況下對(duì)葉片振動(dòng)特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。研究結(jié)果表明：離心式風(fēng)機(jī)葉輪結(jié)構(gòu)固有頻率隨裂紋深度的增加而單調(diào)下降，裂紋越深，固有頻率下降越快。范博楠等[7]研究了葉盤葉片進(jìn)氣及出氣邊產(chǎn)生的橫向貫穿型裂紋的分布位置及深度變化對(duì)葉片一階彎曲振動(dòng)特性的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)葉片進(jìn)氣或出氣邊位置閾值內(nèi)出現(xiàn)裂紋及擴(kuò)展時(shí)，一階彎曲振動(dòng)頻率會(huì)小于正常值，此時(shí)葉片的一階彎曲共振區(qū)域會(huì)增大。蔣憲宏等[8]對(duì)具有剛?cè)狁詈闲?yīng)的帶裂紋旋轉(zhuǎn)柔性梁進(jìn)行建模和動(dòng)力學(xué)特性分析研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：裂紋梁的固有頻率與裂紋處的彎矩正相關(guān)。J.W.Lee等[9]基于局部柔度模型模擬裂紋效應(yīng)，用冪級(jí)數(shù)法結(jié)合傳遞矩陣法求解了含裂紋旋轉(zhuǎn)梁振動(dòng)特性，并討論了轉(zhuǎn)速與損傷程度對(duì)梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的聯(lián)合影響機(jī)理。但是上述方法主要是針對(duì)等截面梁，且過程較為繁瑣，計(jì)算程序復(fù)雜。

本文采用Frobenius方法將文獻(xiàn)[9]等截面梁模型推廣到高度和寬度均可按任意比例線型變化的梁體，提出一種求解變截面旋轉(zhuǎn)裂紋梁橫向振動(dòng)特性的新方法，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性以及文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論，此外還研究裂紋位置和深度對(duì)振動(dòng)特性的影響。

1 含裂紋梁局部柔度模型

以旋轉(zhuǎn)懸臂梁為基礎(chǔ)建立裂紋梁局部柔度模型，如圖1所示。梁上含有n個(gè)開口裂紋，第i個(gè)裂紋距梁固定端的距離為xi，深度為hi，由文獻(xiàn)[10]可知，裂紋可用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬。

圖1 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁局部柔度模型

梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，梁的密度和彈性模量分別為ρ、E，轉(zhuǎn)軸半徑為r，轉(zhuǎn)速為Ω，梁截面為矩形，其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小，可以表示為

(1)

(2)

式中：h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度；ch和cb分別為高度和寬度的漸變系數(shù)；當(dāng)cb，ch均為0時(shí)，為均勻梁。

基于歐拉-伯努利梁理論，第i段完整梁的橫向自由振動(dòng)微分方程[11]為

(3)

x∈[xi-1,xi]，A(x)和I(x)分別是橫截面積和慣性矩，T(x)是旋轉(zhuǎn)梁所受離心力，可表示為

A(x)=b(x)h(x)

(4)

(5)

(6)

2 梁振動(dòng)方程的Frobenius方法解

根據(jù)振動(dòng)分析理論可知，梁的橫向位移函數(shù)可分離為空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)，即方程(3)的解具有如下形式：

w(x,t)=φ(x)eiωt

(7)

將式(7)代入式(3)進(jìn)行變量分離并將變量無量綱化，可得

(8)

根據(jù)Frobenius方法[12]，第i段完整梁的自由振動(dòng)位移可以表示為

Φi(X)=N1iF1(X)+N2iF2(X)+N3iF3(X)+

N4iF4(X)

(9)

裂紋梁邊界條件為

(10)

(11)

由文獻(xiàn)[10]可知，在第i條裂紋處連續(xù)性條件為

(12)

式中：Xi為裂紋相對(duì)位置，Xi=xi/L。θi為梁的第i條裂紋引起的無量綱柔度[13]。

θi=5.346h0·J(si)

(13)

(14)

式中：si為相對(duì)裂紋深度，si=hi/h0。

由于式(13)中的無量綱柔度θi為J(si)和固定端截面高度h0的函數(shù)，因此必須給定梁的固定端截面高度h0才能得到無量綱柔度θi。

聯(lián)合邊界條件、裂紋處連續(xù)性條件、質(zhì)量塊處連續(xù)性條件可以得到由4(n+1)個(gè)方程組成的齊次線型方程組：

K(λ)N=0

(15)

式中：

|K(λ)|=0

(16)

由式(16)可解出無量綱固有頻率λ。

3 數(shù)值模擬

3.1 方法有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，以圖1所示的旋轉(zhuǎn)裂紋梁為研究對(duì)象，設(shè)置其彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3，轉(zhuǎn)軸半徑r=0 mm，梁長(zhǎng)L=800 mm，轉(zhuǎn)速Ω=300 rad/s，固定端截面寬度b0=30 mm，高度h0=10 mm，相對(duì)裂紋深度s=0.5，寬度漸變系數(shù)cb=0，高度漸變系數(shù)cb=0～0.8，采用本文方法計(jì)算得到裂紋位于Xc=0.2,0.4,0.8三種工況下的前四階固有頻率，并將結(jié)果與文獻(xiàn)[9]進(jìn)行比對(duì)。文獻(xiàn)[9]僅給出了等截面梁的結(jié)果，包含在本文的結(jié)果中。因之前在Frobenius方法的計(jì)算推導(dǎo)過程中對(duì)振動(dòng)控制方程進(jìn)行了無量綱化處理，使得關(guān)于旋轉(zhuǎn)梁的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速Ω、轉(zhuǎn)軸半徑等r)無量綱化，而文獻(xiàn)[9]中的各參數(shù)均是有量綱的，故需先對(duì)文獻(xiàn)[9]中的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速Ω、轉(zhuǎn)軸半徑r)進(jìn)行無量綱化處理得到無量綱化的各參數(shù)(轉(zhuǎn)速U、轉(zhuǎn)軸半徑R)，再運(yùn)用本文方法計(jì)算得到無量綱化的固有頻率λ，然后將無量綱固有頻率有量綱化。

裂紋位于Xc=0.2,0.4,0.8三種工況下的前四階固有頻率如表1～表3所示，可以看出：采用本文方法計(jì)算得到的前四階固有頻率與文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果匹配良好；隨著高度漸變系數(shù)的增加，一階固有頻率呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，而其他三階頻率均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。這是因?yàn)橛绊懽兘孛媪夯l的主要因素為其根部的質(zhì)量比重，而影響較高階頻率的主要因素為梁的平均柔度。

表1 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.2,x=0.5)

表2 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.4,x=0.5)

表3 含裂紋旋轉(zhuǎn)梁前四階固有頻率(Xc=0.8,x=0.5)

3.2 裂紋位置和深度對(duì)梁振動(dòng)頻率的影響分析

為了進(jìn)一步研究開口裂紋損傷對(duì)變截面旋轉(zhuǎn)梁振動(dòng)頻率的影響，設(shè)置無量綱轉(zhuǎn)速U=3，無量綱轉(zhuǎn)軸半徑R=1，厚度h0=0.02 m，寬度漸變系數(shù)cb=0.3，高度漸變系數(shù)ch=0.5，裂紋相對(duì)位置Xc在固定端和自由端之間移動(dòng)，相對(duì)裂紋深度s=0,0.1,0.2,0.4，前三階無量綱固有頻率隨裂紋位置和深度的變化情況如圖2～圖4所示。

圖2 一階固有頻率變化

圖3 二階固有頻率變化

圖4 三階固有頻率變化

從圖2～圖4可以看出：隨著裂紋深度的增加，梁的前三階固有頻率均有逐漸減小的趨勢(shì)，當(dāng)裂紋位于固定端附近時(shí)，對(duì)固有頻率的影響最大，對(duì)于第一階固有頻率，當(dāng)裂紋向自由端移動(dòng)時(shí)，裂紋損傷對(duì)其影響逐漸減弱，當(dāng)裂紋移動(dòng)至接近Xc=0.8時(shí)，梁的固有頻率幾乎不再變化；對(duì)于第二階固有頻率，當(dāng)裂紋位于Xc=0.25,0.95附近時(shí)，無論裂紋深度如何變化，均不會(huì)對(duì)其造成影響，即為無效損傷位置；對(duì)于第三階頻率，當(dāng)裂紋位于Xc=0.15,0.55,0.95附近時(shí)，為無效損傷位置。

3.3 損傷程度和轉(zhuǎn)速對(duì)梁振動(dòng)頻率的聯(lián)合影響分析

下面討論損傷程度和轉(zhuǎn)速同時(shí)變化時(shí)前兩階固有頻率的變化情況。以鋼制矩形變截面單裂紋懸臂梁為算例，設(shè)定彈性模量E=200 GPa，密度ρ=785 0 kg/m3，梁長(zhǎng)L=1 m，固定端截面寬度b0=0.1 m，高度h0=0.1 m，轉(zhuǎn)軸半徑r=0.5 m，寬度漸變系數(shù)cb=0.1，高度漸變系數(shù)ch=0.3，梁的轉(zhuǎn)速n在0～10 000 rpm之間漸變，相對(duì)裂紋深度s在0～0.5之間漸變。由前述分析可知，當(dāng)裂紋位于固定端附近時(shí)，前兩階固有頻率均出現(xiàn)最大衰減，為了體現(xiàn)裂紋損傷的影響，在數(shù)值計(jì)算中，設(shè)置裂紋相對(duì)位置為Xc=0.05。計(jì)算得到轉(zhuǎn)速和相對(duì)裂紋深度連續(xù)變化時(shí)梁的前兩階固有頻率，結(jié)果分別如圖5～圖6所示，可以看出：隨著裂紋加深，前兩階固有頻率均出現(xiàn)相應(yīng)的衰減，但是隨著轉(zhuǎn)速增加，裂紋損傷所導(dǎo)致的頻率衰減程度有逐漸減小的趨勢(shì)；轉(zhuǎn)速的增加使得梁的前兩階固有頻率增大，并且隨著裂紋加深，這種由轉(zhuǎn)速提升引起的固有頻率提升有逐漸增大的趨勢(shì)。由此可見，損傷程度和轉(zhuǎn)速對(duì)梁的前兩階固有頻率具有明顯的疊加作用效果。

圖5 一階固有頻率變化

圖6 二階固有頻率變化

為了進(jìn)一步量化這種疊加作用效果，設(shè)不同裂紋深度所對(duì)應(yīng)的前兩階固有頻率分別為f1s和f2s，不同旋轉(zhuǎn)速度所對(duì)應(yīng)的前兩階固有頻率分別為f1n和f2n，計(jì)算不同裂紋深度下轉(zhuǎn)速變化引起的前兩階固有頻率比f1n/f1和f2n/f2以及不同轉(zhuǎn)速下裂紋深度變化引起的前兩階固有頻率比f1s/f1和f2s/f2，結(jié)果如表4～表5所示。

表4 轉(zhuǎn)速變化引起的一階和二階固有頻率比值

表5 裂紋深度變化引起的一階和二階固有頻率比值

從表4可以看出：隨著轉(zhuǎn)速的逐漸提升，一階固有頻率比值逐漸增大；但是當(dāng)梁發(fā)生裂紋損傷后，這種由旋轉(zhuǎn)效應(yīng)引起的固有頻率提升隨相對(duì)裂紋深度的增加而變得更加顯著。當(dāng)相對(duì)裂紋深度s=0時(shí)，f1n/f1由轉(zhuǎn)速n=2 000 rpm時(shí)的113.99%提升為轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時(shí)的286.31%，當(dāng)相對(duì)裂紋深度s=0.5時(shí)，f1n/f1由轉(zhuǎn)速n=2 000 rpm時(shí)的122.48%提升為轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時(shí)的365.71%。

從表5可以看出：隨著相對(duì)裂紋深度逐漸加深，一階頻率衰減量逐漸增大；但是當(dāng)梁旋轉(zhuǎn)后，這種由裂紋損傷引起的頻率衰減幅度隨轉(zhuǎn)速的提升有逐漸減小的趨勢(shì)。當(dāng)轉(zhuǎn)速n=0時(shí)，f1s/f1由裂紋深度s=0.1時(shí)的98.75%下降至裂紋深度s=0.5時(shí)的74.52%，當(dāng)轉(zhuǎn)速n=10 000 rpm時(shí)，f1s/f1由裂紋深度s=0.1時(shí)的99.65%下降至裂紋深度s=0.5時(shí)的95.19%。

通過觀察表4和表5的二階固有頻率比值發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)速和損傷程度與前兩階固有頻率比值均有同樣的耦合作用效應(yīng)。但相比之下，這種耦合作用效應(yīng)對(duì)一階固有頻率比值的影響更為顯著。

上述分析所得出的結(jié)論和文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論一致，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論，并將該結(jié)論的適用范圍從均勻梁拓展到了變截面梁。

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)于變截面梁，隨著高度漸變系數(shù)的增加，一階固有頻率呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，而其他三階頻率均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。

(2) 當(dāng)裂紋位于梁的固定端附近時(shí)，對(duì)固有頻率的影響最大，前三階固有頻率分別包含一、二、三個(gè)無效損傷位置。

(3) 轉(zhuǎn)速和損傷程度對(duì)前兩階固有頻率比值均有耦合作用效應(yīng)，相比之下這種耦合作用效應(yīng)對(duì)一階固有頻率影響更為明顯。該結(jié)論不僅適用于均勻梁，對(duì)變截面梁也同樣適用。