張伯源 高國(guó)偉

北京信息科技大學(xué)傳感器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101

一、引言

隨著MEMS技術(shù)的快速發(fā)展，微機(jī)械（MEMS）陀螺儀在體積、重量、成本上優(yōu)勢(shì)十分明顯[1-5]，目前已廣泛應(yīng)用于無(wú)人機(jī)、吊艙、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、慣性導(dǎo)航等各個(gè)領(lǐng)域。角速率的測(cè)量是慣性導(dǎo)航領(lǐng)域里的關(guān)鍵參數(shù)之一，但其精度問(wèn)題限制了其在慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展。對(duì)MEMS陀螺儀信號(hào)誤差進(jìn)行辨識(shí)分析、建模補(bǔ)償是提高陀螺儀角速率測(cè)量精度的重要方法[6]。

MEMS陀螺誤差包括固定常值漂移（零偏）、標(biāo)度因數(shù)誤差、非正交安裝誤差、溫度漂移誤差以及隨機(jī)漂移誤差[7]，其中固定常值漂移（零偏）、標(biāo)度因數(shù)誤差、非正交安裝誤差、溫度漂移誤差能夠使用高精度三軸轉(zhuǎn)臺(tái)設(shè)備校準(zhǔn)以減小對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響[8]。而隨機(jī)漂移誤差是陀螺儀在外界各種干擾力矩的作用下偏離原來(lái)的方向產(chǎn)生的，它隨時(shí)間、外界環(huán)境條件不斷變化，難以使用標(biāo)定方法進(jìn)行處理。

首先，本文介紹了隨機(jī)誤差辨識(shí)的Allan方差法，并對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行了時(shí)間序列分析，建立基于時(shí)間序列的陀螺儀誤差模型，接著在經(jīng)典卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)上加入衰減因子和一階低通濾波后的差分控制項(xiàng)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)補(bǔ)償，最后結(jié)合硬件系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)，并利用Allan方差法對(duì)濾波前后的效果進(jìn)行對(duì)比分析。

二、模型分析與濾波算法原理

1、Allan方差法

Allan方差法的提出主要用于分析振蕩器的頻率和相位的不穩(wěn)定性，也常用于定量地對(duì)陀螺儀各項(xiàng)隨機(jī)誤差進(jìn)行辨識(shí)[9]，誤差分離結(jié)果較好，可以作為通過(guò)不同算法對(duì)陀螺儀補(bǔ)償前后評(píng)價(jià)其性能的重要指標(biāo)。

假設(shè)陀螺儀的樣本信號(hào)長(zhǎng)度N，采樣頻率f，則采樣間隔為1/f。然后把樣本數(shù)據(jù)平均分成K個(gè)子序列，每個(gè)子序列有n=N/K個(gè)樣本，每個(gè)子序列的時(shí)間長(zhǎng)度稱(chēng)為相關(guān)時(shí)間t=nf(n＜N/2)，則每個(gè)序列的平均值)為：

以Allen方差法分析MEMS陀螺儀隨機(jī)噪聲包含：量化噪聲（Quantization Noise）、角度隨機(jī)游走（AngularRandomWalk）、偏差不穩(wěn)定性（BiasInstability）、速率隨機(jī)游走（RateRandomWall）、速率斜坡（RateRamp）等5種隨機(jī)噪聲[10-12]。各種隨機(jī)誤差源與Allan方差的關(guān)系如式（3）所示：

然后用最小二乘法對(duì)Allan方差的曲線(xiàn)擬合，可以求得這幾個(gè)系數(shù)：

MEMS陀螺儀的隨機(jī)漂移的誤差的5種隨機(jī)誤差的計(jì)算公式如表1所示。

表1 Allen標(biāo)準(zhǔn)差與常見(jiàn)噪聲的對(duì)應(yīng)關(guān)系

2、時(shí)間序列分析方法與參數(shù)估計(jì)

如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)后得到一個(gè)平穩(wěn)非白噪聲序列，那么該序列中就蘊(yùn)含著相關(guān)性的信息。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，通常是建立一個(gè)線(xiàn)性模型來(lái)擬合該時(shí)間序列的趨勢(shì)。較為常見(jiàn)的模型有AR、MA、ARMA和ARIMA模型[13]。不同系統(tǒng)生成的隨機(jī)序列需要用不同的模型描述，這三種模型之間存在著差異。ARMA模型、AR模型和MA模型的區(qū)別在于它們?cè)谧韵嚓P(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)上反映出不同的特征。AR模型的正則方程是一組線(xiàn)性方程，而MA和ARMA模型的方程一般是非線(xiàn)性。AR模型具有一系列好的性能，因此也是研究最多并且實(shí)現(xiàn)廣泛應(yīng)用的一種模型。

由于陀螺漂移模型階數(shù)相對(duì)不高，一般不超過(guò)3階，所以可以在參數(shù)個(gè)數(shù)不超過(guò)3的范圍內(nèi)的模型進(jìn)行定階。

本文選擇相對(duì)簡(jiǎn)單的AR(P)模型。AR(P)表示是p階的自回歸模型，是一種線(xiàn)性的預(yù)測(cè)，如式（5）所示：

其中，aj—AR(P)模型的自回歸系數(shù)；

自回歸模型表征的含義是把t時(shí)刻測(cè)量值由在t時(shí)刻之前的p個(gè)時(shí)間點(diǎn)的測(cè)量值的線(xiàn)性擬合與噪聲疊加的輸出結(jié)果。

在確定模型之后，就要對(duì)陀螺儀漂移模型進(jìn)行定階。定階的通用方法有BIC準(zhǔn)則、AIC準(zhǔn)則、FPE準(zhǔn)則。本文采用AIC準(zhǔn)則，AIC準(zhǔn)則中文簡(jiǎn)稱(chēng)為最小信息準(zhǔn)則，是由日本數(shù)學(xué)家赤池弘次提出的。因此，也叫做赤池信息量準(zhǔn)則，是估計(jì)隨機(jī)序列模型階次的一種優(yōu)良的度量。AIC準(zhǔn)則的公式如式（6）所示：

其中，AIC(n)是關(guān)于階數(shù)n的函數(shù)，當(dāng)AIC(n)的值取最小時(shí)，n即為AR模型的階數(shù)[13]。

確定好AR模型的階數(shù)之后的工作就是對(duì)AR模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，也就是計(jì)算其系數(shù)與白噪聲。一般選擇最小二乘法對(duì)AR模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，原因是計(jì)算簡(jiǎn)單、高效并且精度較高，可以滿(mǎn)足計(jì)算的需求。最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的公式為：

參數(shù)估計(jì)的公式為：

利用上述公式就可以建立MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移的模型。

3、經(jīng)典卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波是時(shí)域內(nèi)一種基于最小方差估計(jì)的遞推濾波器，將狀態(tài)空間的方法引入到了隨機(jī)估計(jì)理論中，利用系統(tǒng)狀態(tài)方程，觀測(cè)方程和系統(tǒng)過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲描述信號(hào)系統(tǒng)的輸入輸出[14]，與最小二乘法、維納濾波等用于估計(jì)的算法相比其優(yōu)點(diǎn)如下：

（1）利用狀態(tài)空間法進(jìn)行系統(tǒng)描述，狀態(tài)方程能夠描述復(fù)雜的多維信號(hào)動(dòng)力學(xué)特性，可以避免對(duì)信號(hào)進(jìn)行功率譜分解，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，容易用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；

（2）不需要保存大量過(guò)去的數(shù)據(jù)，而是通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程遞推計(jì)算出新的估計(jì)值；

（3）根據(jù)當(dāng)前測(cè)量數(shù)據(jù)，可以實(shí)時(shí)遞推計(jì)算最優(yōu)估計(jì)值，適用于各種閉環(huán)控制系統(tǒng)。

離散隨機(jī)系統(tǒng)的卡爾曼狀態(tài)方程和測(cè)量方程的公式表示為：

其中：Xk—k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)量；

Zk—k時(shí)刻系統(tǒng)觀測(cè)量；

uk—k時(shí)刻系統(tǒng)控制量；

A —系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

H —系統(tǒng)量測(cè)矩陣；

wk—系統(tǒng)過(guò)程噪聲；

vk—系統(tǒng)測(cè)量噪聲。

計(jì)算k時(shí)刻狀態(tài)的預(yù)測(cè)值：

利用k-1時(shí)刻狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)結(jié)果，由對(duì)k時(shí)刻狀態(tài)作一步預(yù)測(cè)，當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有控制量時(shí)uk=0。

均方誤差預(yù)測(cè)為：

其中，Pk-1—一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣；

Pk|k-1—上個(gè)濾波周期最優(yōu)估計(jì)的協(xié)方差矩陣；

Q —狀態(tài)噪聲矩陣。

計(jì)算濾波增益為：

其中，Kk—卡爾曼增益，表征系統(tǒng)觀測(cè)量與一步預(yù)測(cè)量對(duì)于濾波輸出貢獻(xiàn)的大?。?/p>

R —k時(shí)刻量測(cè)噪聲矩陣。

定義k時(shí)刻觀測(cè)值與其估計(jì)值的誤差為新息：

則k時(shí)刻卡爾曼濾波輸出的最優(yōu)估計(jì)為：

為下個(gè)濾波周期的一步預(yù)測(cè)做準(zhǔn)備，估計(jì)的均方誤差：

狀態(tài)量及協(xié)方差的更新如圖1所示。

三、改進(jìn)的卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)

采用傳統(tǒng)卡爾曼濾波對(duì)陀螺儀進(jìn)行濾波設(shè)計(jì)時(shí)，通常假設(shè)系統(tǒng)沒(méi)有確定的控制輸入：

即式（21）中uk=0，正是由于這種情況，使得陀螺儀輸出的零點(diǎn)穩(wěn)定效果不好，不能控制陀螺儀的動(dòng)態(tài)誤差。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波在實(shí)際應(yīng)用時(shí)要求有精確的誤差模型和各種噪聲的先驗(yàn)信息，但通常在許多條件下它們是未知的。使用不精確的模型和噪聲統(tǒng)計(jì)特征來(lái)設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器可能會(huì)產(chǎn)生狀態(tài)估計(jì)的誤差，甚至?xí)?dǎo)致濾波發(fā)散。

本文在此基礎(chǔ)上增加控制輸入量，即計(jì)算一階低通濾波之后的數(shù)據(jù)y(n)進(jìn)行差分求取輸入的控制項(xiàng)uk，如下：

其中，y(i) —當(dāng)前時(shí)刻陀螺儀采樣數(shù)據(jù)；

y(i-1) —上一時(shí)刻陀螺儀采樣數(shù)據(jù)；

第二，渠道網(wǎng)絡(luò)。在中小零售企業(yè)電子商務(wù)商業(yè)運(yùn)營(yíng)模式中，企業(yè)要將產(chǎn)品或者是服務(wù)直接提供到目標(biāo)客戶(hù)，無(wú)論應(yīng)用何種方式，都要建立良好的管理渠道和運(yùn)行監(jiān)督管控體系，以便于能在較為適當(dāng)?shù)臅r(shí)間、地點(diǎn)和人群提供相應(yīng)的產(chǎn)品以及服務(wù)。伴隨著時(shí)代的發(fā)展和進(jìn)步，現(xiàn)代渠道具有價(jià)值創(chuàng)造的潛力，企業(yè)要結(jié)合自身的實(shí)際需求完善相應(yīng)的渠道管理機(jī)制。

β —低通濾波器系數(shù)。

自適應(yīng)卡爾曼濾波可以利用觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行遞推，同時(shí)實(shí)時(shí)地對(duì)不確定的模型參數(shù)和噪聲Q和R的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓烙?jì)和修正，使得模型誤差減小。但相對(duì)計(jì)算量偏大，增加時(shí)間復(fù)雜度。因此本文在傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器對(duì)一步預(yù)測(cè)方差計(jì)算式中增加了一個(gè)衰減因子[15]，并且可以在運(yùn)算速率和提高計(jì)算的準(zhǔn)確性?xún)烧唛g獲得平衡。

帶入狀態(tài)方程計(jì)算k時(shí)刻的狀態(tài)一步預(yù)測(cè)：

在傳統(tǒng)卡爾曼濾波器的計(jì)算式中加入衰減因子λ，其公式如下：

其中，λ為預(yù)測(cè)方差引入的衰減因子[17-18]，使新數(shù)據(jù)可以充分參與到估計(jì)當(dāng)中去，λ通常在0～1之間取值，通過(guò)對(duì)比方差和標(biāo)準(zhǔn)差本文λ取值為0.9。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

為驗(yàn)證模型可靠性與設(shè)計(jì)的濾波器的性能，使用單軸ADXRS450水平放在高精度三軸轉(zhuǎn)臺(tái)上，如圖2所示。用電腦連接好數(shù)據(jù)線(xiàn)串口，接通電源后將陀螺儀保持靜止?fàn)顟B(tài)，預(yù)熱30min，等待數(shù)據(jù)穩(wěn)定后開(kāi)始采集陀螺儀數(shù)據(jù)，時(shí)長(zhǎng)2h，并截取前30min的角速率數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行分析，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行零均值檢驗(yàn)，并驗(yàn)證平穩(wěn)性和正態(tài)性。

表2 AR模型系數(shù)與AIC值

首先，獲取MEMS陀螺儀的隨機(jī)信號(hào)，通過(guò)求取采樣數(shù)據(jù)平均值得到隨機(jī)漂移的常量值，再用采集到的原始數(shù)據(jù)減去這個(gè)值得到如圖3所示。

圖4為陀螺儀隨機(jī)誤差的功率譜圖。由于陀螺隨機(jī)誤差的頻率主要分布在低頻段，沒(méi)有明顯的尖峰現(xiàn)象，這意味著陀螺儀信號(hào)沒(méi)有強(qiáng)周期性，即陀螺隨機(jī)誤差中基本沒(méi)有明顯的周期分量，滿(mǎn)足平穩(wěn)性的要求。

圖5為MEMS陀螺儀角速率隨機(jī)誤差的概率密度直方圖，由圖可知隨機(jī)誤差結(jié)果滿(mǎn)足正態(tài)性的要求。

驗(yàn)證之后的建模步驟是：依次以AR(1)、AR(2)、AR(3)模型進(jìn)行擬合，表2為AR模型擬合系數(shù)和AIC計(jì)算值。

由表2得出計(jì)算的AR模型的AIC最小值為AR(1)模型，因此，本文采用該模型對(duì)陀螺儀信號(hào)進(jìn)行模型建立，經(jīng)過(guò)AR(1)模型后的MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移信號(hào)。

將經(jīng)典卡爾曼濾波處理后的數(shù)據(jù)與自適應(yīng)卡爾曼濾波處理后的效果進(jìn)行比較，如圖6所示?？梢钥闯鼋?jīng)過(guò)濾波處理后系統(tǒng)有效信號(hào)的隨機(jī)量明顯減小，波形更加平穩(wěn)光滑，說(shuō)明改進(jìn)的自適應(yīng)卡爾曼濾波器能有效的補(bǔ)償MEMS陀螺儀靜態(tài)隨機(jī)噪聲對(duì)系統(tǒng)量測(cè)精度的影響，較經(jīng)典卡爾曼濾波算法濾波效果提升明顯。

采用Allan方差分析法對(duì)兩種濾波方法誤差補(bǔ)償后的信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)分析，兩種濾波方法的方差曲線(xiàn)均整體下移，傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼濾波的濾波效果提升不明顯，而改進(jìn)的濾波誤差補(bǔ)償算法較傳統(tǒng)算法有較大性能提高，零偏不穩(wěn)定性經(jīng)濾波后降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

濾波前后各指標(biāo)對(duì)比如表3所示。從表中可見(jiàn)原始數(shù)據(jù)濾波后均值提升1個(gè)數(shù)量級(jí)，方差提升2個(gè)數(shù)量級(jí)，量化噪聲精度提高近1個(gè)數(shù)量級(jí)，角度隨機(jī)游走精度提高93.3%，角速率游走提高94.48%。綜上所述，改進(jìn)的濾波方法對(duì)陀螺儀靜態(tài)隨機(jī)誤差的補(bǔ)償效果顯著。

表3 濾波前后各指標(biāo)對(duì)比

五、總結(jié)

為了解決低成本MEMS陀螺儀相較于高精度陀螺儀容易受噪聲干擾的問(wèn)題，本文提出自適應(yīng)卡爾曼濾波處理方法。首先介紹了用來(lái)辨識(shí)陀螺儀各種噪聲的Allen方差分析法，對(duì)時(shí)間序列模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則進(jìn)行分析定階，進(jìn)而確定了MEMS陀螺儀模型。在傳統(tǒng)卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了帶衰減因子的自適應(yīng)卡爾曼濾波器，并引入一階低通濾波后的差分控制項(xiàng)，對(duì)MEMS隨機(jī)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的算法對(duì)數(shù)據(jù)濾波效果明顯，能夠減小隨機(jī)噪聲對(duì)MEMS陀螺儀靜態(tài)性能的影響，提高角速率輸出的精度。