馬小芳 編譯

(中國石油集團(tuán)石油管工程技術(shù)研究院 陜西 西安 710077)

0 引 言

海上和海底管道的重大問題是老化管道腐蝕。為了確定這些管道的剩余使用時間，需要建立確定性容量模型以及關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)概率模型。獲得這些模型后，可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)目煽啃苑治龊惋L(fēng)險評估。

有大量的文獻(xiàn)可以反映出這個問題的重要性。一些概率可靠性分析的例子可以在很多研究者的論文中找到。早期的相關(guān)設(shè)計準(zhǔn)則出現(xiàn)在ANSI/ASME B31G，而近期的設(shè)計準(zhǔn)則由DNV提出。

在已經(jīng)執(zhí)行的各種可靠性分析中采用的應(yīng)用概率模型之間存在顯著差異。這特別適用于內(nèi)部壓力和腐蝕缺陷的統(tǒng)計參數(shù)。此外，在大多數(shù)情況下，都是分析單個腐蝕缺陷。為了解決多個缺陷，通常只需要建立簡單的評論系統(tǒng)模型。

在少數(shù)情況下，系統(tǒng)分析是通過Ditlevsen界限來估計串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率。有的研究主要基于分析方法對組件故障事件與系統(tǒng)可靠性之間的相關(guān)性進(jìn)行了更詳細(xì)的研究。在本文中，系統(tǒng)建模側(cè)重于分析方法和計算結(jié)果。

1 系統(tǒng)可靠性分析方法

1.1 基本方程

用于本研究的是系統(tǒng)可靠性的改進(jìn)型基于蒙特卡羅(MC)的方法。該方法的目的是在保持原始MC模擬的優(yōu)點(diǎn)的同時降低計算成本，在處理復(fù)雜系統(tǒng)時尤其適用。它的關(guān)鍵思想是利用尾概率的規(guī)律性?；趶男⌒兔商乜_樣本獲得的中等水平可靠性的結(jié)果，這種規(guī)律性能夠預(yù)測遠(yuǎn)尾失效概率。

這種方法的動機(jī)是使用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可靠性方法，但具有多種復(fù)雜故障模式或極限狀態(tài)的系統(tǒng)時通常無法進(jìn)行分析。另一方面，即使MC沒有這個問題，小概率故障的計算上也很繁雜。這產(chǎn)生了在不同且不太可靠的范圍內(nèi)采樣并執(zhí)行統(tǒng)計尾部外推的想法。其基本原理方法為：以n個基本變量表示的安全裕度M=G(X1，Xn)，使用縮放參數(shù)λ(0≤λ≤1)擴(kuò)展到參數(shù)化的安全邊界類別：

M(λ)=M(1-λ)E(M)

(1)

在基本隨機(jī)變量分布相關(guān)的某些條件下，假設(shè)失敗概率為：

(2)

其中函數(shù)q(λ)與指數(shù)函數(shù)exp{-a(λ-b)}c相比變化緩慢。實際上，在λ>λ0的條件下，選擇一個合適的λ0,q(λ)就可以被常數(shù)q代替。顯然，如果已經(jīng)確定了參數(shù)q,a,b,c,則可以從λ0<λ<1的pf(λ)的值獲得相關(guān)的失效概率pf=pf(1)。很明顯，比目標(biāo)值本身更容易估計在λ<1的(較大的)失效概率pf(λ)，因為它們需要較少的模擬才能達(dá)到相同的精度水平。然后，將pf(λ)的參數(shù)形式qexp{-a(λ-b)}c擬合到估計值，然后通過外推法提供目標(biāo)值的估計。

1.2 系統(tǒng)可靠性分析

使用蒙特卡羅方法進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析具有幾個有吸引力的特征，最重要的是：無論系統(tǒng)的復(fù)雜性如何，故障標(biāo)準(zhǔn)都相對容易檢查。為了減少可能涉及的計算工作量，因此將上述方法擴(kuò)展使用于該系統(tǒng)。

設(shè)Mj=Gj(X1，...，Xn)，j=1，......，m，是一組給定的以n個基本變量表示的安全邊界。然后是參數(shù)化的安全邊界類Mj(λ)=Mj-(1-λ)E(Mj)，......，m。對于給定的λ值，以失效概率表示的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性可以寫成：

(3)

而對于并行系統(tǒng)

(4)

通常任何系統(tǒng)都可以編寫為并行子系統(tǒng)的串連系統(tǒng)。失敗概率可以表示為：

(5)

式中每個Cj是{1，...，m}的子集，其中j= 1，...，l。Cj表示定義并行子系統(tǒng)的索引集。針對系統(tǒng)可靠性問題，假設(shè)pf(λ)也可以表示為方程式(2)。

1.3 應(yīng)用

本節(jié)中描述的方法是基于方程式(2)所表示的假設(shè)。對于實際應(yīng)用，它以式(6)形式實現(xiàn)：

pf(λ)≈q·exp{-a(λ-b)c}

(6)

對于合適的λ0，在λ0≤λ≤1時，用四個參數(shù)q，a，b，c表示。 因此有必要確定λ的合適范圍，以便方程式(6)的右側(cè)，在λ∈[λ_0,1]時，可以表示為pf(λ)的近似值。

對于基本隨機(jī)變量X=(X1，...，Xn)的矢量大小為N的樣本，設(shè)Nf(λ)表示系統(tǒng)故障范圍中的樣本數(shù)，相應(yīng)的估計失敗概率為：

(7)

該估計量的變異系數(shù)Cv為：

(8)

(9)

現(xiàn)在假設(shè)我們已經(jīng)獲得了對失效概率的經(jīng)驗蒙特卡羅估計，那么問題就變成了對可用信息的最佳利用

在相關(guān)四個討論中，參數(shù)q，a，b，c的最優(yōu)值的問題，是通過最小化以下均方誤差函數(shù)來優(yōu)化對數(shù)水平的擬合來解決的。

(10)

其中0 <λ1<...<λM<1表示λ值的集合，其中根據(jù)經(jīng)驗估計故障概率。wj表示權(quán)重因素，更加強(qiáng)調(diào)更可靠的估計。

然后通過以下公式(11)和(12)給出a和q的最佳值，

(11)

(12)

其中

(13)

2 應(yīng)用舉例

2.1 概述

用于腐蝕管道系統(tǒng)的可靠性方程要求考慮內(nèi)部壓力和腐蝕損壞的時間變化。如果在整個時間段內(nèi)最大的缺陷與同一時期內(nèi)的最高壓力相結(jié)合，保守估計的結(jié)果會是對于單個管道橫截面的失效概率。

一個方便且非常準(zhǔn)確的簡化是應(yīng)用內(nèi)部壓力的年度最大值的分布(而不是整個期間的極端壓力)。然后將該分布與同一年的腐蝕損壞分布相結(jié)合(而不是在所考慮的時期內(nèi)分布最大的缺陷)。該建模還可以與系統(tǒng)可靠性公式相結(jié)合，以反映在許多不同可能缺陷中的一個特定情況下可能發(fā)生故障的概率。

在該方法中，對于每個橫截面(而不是在給定時間點(diǎn)的單個最大缺陷的概率分布)，應(yīng)用總腐蝕缺陷群的概率分布。因此，通過系列系統(tǒng)模型適當(dāng)?shù)乇硎驹谠S多“競爭”橫截面上失效的可能性。該公式被用作本文數(shù)值研究的基礎(chǔ)。

在文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的許多可靠性研究中，應(yīng)用的是瞬時(正常)操作壓力的概率分布而不是在指定時間間隔期間的極壓分布，其原因尚不明確，并且在嘗試為計算的失效概率建立參考時間段時也會產(chǎn)生困難(除非指定壓力的某些特征短期持續(xù)時間，即分鐘或小時的數(shù)量級)。

在本文中，操作壓力的概率分布被認(rèn)為對應(yīng)于年極限壓力。因此，相應(yīng)的失敗概率也將指一年期。然后，年度最大壓力的表示應(yīng)基于最大瞬時壓力(MAIP)，其通常高于最大允許操作壓力(MAOP)。前一壓力的平均值通常通過偏差因子乘以后者給出，通常MAIP表示為MAOP的1.05或1.07倍。即需要考慮內(nèi)部壓力隨時間變化的影響因素。

目前應(yīng)用于存在腐蝕缺陷的管道橫截面的失效函數(shù)表示如下式：

(14)

其中，sy是鋼材的屈服應(yīng)力，mf是將屈服應(yīng)力轉(zhuǎn)換成流動應(yīng)力的倍增因子。該方程基于矩形或近似矩形的缺陷形狀，缺陷深度為d，缺陷長度為L，管壁厚度由t表示，管道直徑由D表示。數(shù)量pa是內(nèi)部超壓，即在相關(guān)的橫截面上的壓力。

F是Folias因子(也稱為凸出因子)。應(yīng)用Folias因子的方程如下式：

(15)

對于管線鋼，上述轉(zhuǎn)換因子的值，即mf，通常取在1.10和1.15之間。這表明mf的值也存在不確定性。為了將這種不確定性考慮在內(nèi)，mf為隨機(jī)變量

顯然，引入額外的模型不確定因子以反映觀察到的與計算的失效壓力水平之間的差異是相關(guān)的。然而由于計算結(jié)果的范圍，本研究未涉及該主題。

精細(xì)的可靠性分析應(yīng)區(qū)分具有不同后果的不同類型的故障模式。Zhou更詳細(xì)地討論了這一點(diǎn)。在小泄漏、大泄漏和爆裂之間進(jìn)行區(qū)分。顯然，后者將代表最糟糕后果的失敗模式。在本文中，應(yīng)用了僅有單一類型故障模式(由上面給出的故障函數(shù)定義)的更簡單的方法。因此，未來需要研究更細(xì)化的細(xì)分的影響。

2.2 例1：單一腐蝕缺陷

為了說明上述概念，分析了具有已知腐蝕缺陷概率分布的管道。表1中列出了本研究中考慮的隨機(jī)變量以及變量的典型統(tǒng)計值和分布函數(shù)。

表1 隨機(jī)變量和統(tǒng)計屬性

注：LN：對數(shù)正態(tài)分布;N：正態(tài)(高斯)分布

在本文中，主要是說明如何將本模擬程序應(yīng)用于管道腐蝕可靠性的分析。因此，應(yīng)用的概率分布通常應(yīng)適合于特定應(yīng)用的可用信息。

對于一些變量(即管道直徑、缺陷深度、缺陷長度和流體壓力)應(yīng)用高斯分布原則上意味著對于這些變量可能出現(xiàn)負(fù)值。然而，應(yīng)用蒙特卡羅模擬的優(yōu)勢是：如果非物理值出現(xiàn)在模擬過程的任何階段，可以將其刪除。這實際上意味著應(yīng)用截斷為零的分布。由于每個相關(guān)量具有負(fù)值的累積概率幾乎為零，因此這對計算結(jié)果沒有任何影響。因此適用于所有級別的系統(tǒng)故障概率。

在本文中，研究了應(yīng)用不同類型的分布對內(nèi)部壓力的影響?；厩闆r分析對應(yīng)于具有高斯分布的壓力，如表1中的字母N所示。此外，對應(yīng)于Gumbel分布的壓力分布的結(jié)果在下面的靈敏度研究中也進(jìn)行了計算。

首先考慮具有高斯壓力分布和單一腐蝕缺陷的情況。對于參數(shù)λ的每個值，對失效函數(shù)的負(fù)值N-進(jìn)行計數(shù)。不同λ值的模擬結(jié)果以及相關(guān)概率水平的外推結(jié)果如圖1所示。可以看出，在內(nèi)壓平均值為7 MPa的情況下，對應(yīng)于λ=1的失效概率位于0.5×10-5至3.0×10-5的區(qū)間內(nèi)，最佳估計值為1.3×10-5。值得注意的是，這個概率略低于基于在平均點(diǎn)附近執(zhí)行失效函數(shù)的泰勒級數(shù)展開所獲得的值。

圖1 從采樣值到相關(guān)故障的故障概率外推概率水平

2.3 例1的參數(shù)研究(僅一個缺陷)

2.3.1 Gumbel與正常壓力分布的結(jié)果單一“平均”缺陷

改變壓力平均值和缺陷深度的影響。高斯壓力分布作為壓力平均值(從5 MPa及以上)和缺陷深度的平均值的函數(shù)的結(jié)果如圖2所示。可以看出低壓的組合內(nèi)部壓力和小缺陷深度提供非常高的可靠性水平(即3級及以上的可靠性指標(biāo))。高內(nèi)壓和大缺陷使可靠性水平非常低(幾乎可以確定故障)。

圖2 缺陷深度-可靠性指數(shù)圖

Gumbel型壓力分布的相應(yīng)結(jié)果如圖3所示。對于最小缺陷深度，觀察到比高斯模型略低的可靠性水平。對于最大的缺陷深度，結(jié)果之間幾乎沒有任何差異。對于目前的情況，兩個壓力分布的平均值保持相同。然而，應(yīng)該注意的是，由于Gumbel模型通常指的是如上所述的年度極端壓力，實際上平均值應(yīng)顯著高于高斯分布(如果后者旨在表示正常操作壓力)。這將導(dǎo)致相關(guān)可靠性水平的更大差異。

圖3 缺陷深度-可靠性指數(shù)圖

通過改變?nèi)毕蓍L度和缺陷深度的平均值(平均壓力恒定且等于7 MPa)的影響結(jié)果如圖4所示。可以看出，圖的左側(cè)部分可靠性水平下降明顯，但在圖的右側(cè)部分可靠性水平非常緩慢地減小。這意味著對于相對短的缺陷，對長度具有高靈敏度，而對于相對長的缺陷，對于長度的靈敏度較低。

圖4 缺陷長度-可靠性指數(shù)圖

關(guān)于缺陷深度，似乎可靠性指數(shù)與增加的深度值成比例地線性減小(保持缺陷長度的平均值恒定)。這可以從圖4中的三條不同曲線看出，它們分別代表0.5t，0.6t和0.7t的缺陷深度。

2.3.2 具有極深和長度特征的單一缺陷

首先，解決了在100個獨(dú)立缺陷中具有最大長度的缺陷的效果(同時假設(shè)缺陷深度對于所有缺陷是相同的)。通過將單個缺陷的長度的累積分布提高到100次方來獲得最大長度的累積概率分布。

對應(yīng)于該分布函數(shù)的失效概率見表2。從表2可以看出，對于最高的失效概率水平(對應(yīng)于7 MPa和8 MPa的平均壓力水平)，失效概率增加大約50%。另一方面，對于最低失效概率水平(對應(yīng)于 6 MPa的平均壓力水平)，失效概率增加約3倍，這是非常顯著的。

表2 100個樣本中最大長度的極端缺陷的失效概率(平均深度為5 mm)

然后應(yīng)用具有100個獨(dú)立缺陷的樣本中的極端深度的單個缺陷，其中所有缺陷的長度相同(即基本情況值)。此外，現(xiàn)在通過將單個缺陷長度的累積分布提高到100次方來獲得最大缺陷深度的累積分布函數(shù)。

具有極大深度的失效概率結(jié)果見表3?？梢钥闯?，該失效概率比最大長度的極端缺陷的失效概率明顯增加。對于最高失敗概率水平，增加超過一個數(shù)量級。對于最低的失效概率，增加了近兩個數(shù)量級。

表3 100個樣本中最大深度的極端缺陷的失效概率(平均長度為305 mm)

也許更相關(guān)的情況是缺陷深度和缺陷長度完全相關(guān)，使得兩者的極值同時發(fā)生(即對于相同的缺陷)。兩個累積分布函數(shù)的取冪的結(jié)果見表4?？梢钥闯?，失效結(jié)果的相對增加量與表3中的結(jié)果類似。

表4 100個樣本中最大長度和深度的極端缺陷的失效概率

作為缺陷表征結(jié)果的主要觀察結(jié)果，似乎缺陷深度的增加對缺陷概率的影響比缺陷長度的影響更加明顯(至少對于目前應(yīng)用的統(tǒng)計模型而言)。

2.4 例2：多重腐蝕缺陷和相關(guān)性的影響

2.4.1 獨(dú)立缺陷數(shù)量的影響

與一定數(shù)量的缺陷相對應(yīng)的缺陷特征應(yīng)用極值分布不同，獨(dú)立缺陷的應(yīng)用系統(tǒng)更為正確，其中缺陷深度和長度是系統(tǒng)中每個組件的隨機(jī)變量。然后可以將從這種表示獲得的失敗概率與來自前一部分的失敗概率進(jìn)行比較。

首先分析了代表缺陷特征獨(dú)立的100個管道橫截面的一系列體系。獲得的結(jié)果(基于模擬樣本大小為1 000 000)見表5?？梢钥闯?，對于兩個最高級別的失敗概率，結(jié)果大約是表4中數(shù)值的2倍。原因是：對于非常弱相關(guān)的部分，失效有可能發(fā)生在幾個額外的橫截面上，而不是最嚴(yán)重的缺陷所在的橫截面(例如許多相互競爭的失效部分)。

表5 存在缺陷的100個橫截面系統(tǒng)的失效概率

系列系統(tǒng)效應(yīng)如圖5所示。最下面曲線對應(yīng)于單個缺陷的結(jié)果，而最上面曲線對應(yīng)于100個獨(dú)立缺陷并且壓力平均值為7 MPa。

圖5 單個缺陷與100個獨(dú)立缺陷的失效概率

由于內(nèi)部壓力的變化系數(shù)非常低(即0.05)，因此考慮到故障事件之間的相關(guān)性的情況的結(jié)果與具有獨(dú)立部件的情況非常相似。實際上，幾乎不可能區(qū)分相關(guān)事件與獨(dú)立事件曲線。然而，當(dāng)內(nèi)部壓力的變化系數(shù)增加時，情況則變得不同，如一部分的結(jié)果如圖6所示。圖6是具有100個獨(dú)立腐蝕缺陷的系統(tǒng)的可靠性指數(shù)作為變化系數(shù)(對于完全相關(guān)的)內(nèi)部壓力的函數(shù)圖。對于壓力C.o.V，“失效事件”之間的相關(guān)系數(shù)等于0.04。壓力C.o.V為0.2時為0.05并且等于0.42，內(nèi)壓平均值為7 MPa。

圖6 獨(dú)立腐蝕缺陷系統(tǒng)可靠性指數(shù)變化-內(nèi)部壓力函數(shù)圖

樣品尺寸與之前相同(即1 000 000)，橫截面的數(shù)量(以及相應(yīng)的獨(dú)立缺陷的數(shù)量)隨后從100增加到1 000。失效概率結(jié)果見表6。失敗概率大概增加了10倍，除了增加稍微數(shù)量更少的最高概率水平(即因子為7)。

表6 存在缺陷的1 000個橫截面系統(tǒng)的失效概率。

2.4.2 缺陷維度之間相關(guān)性的影響

在具有1 000個存在缺陷的橫截面的情況下，在缺陷尺寸之間引入增加相關(guān)性。缺陷長度和缺陷深度之間的成對相關(guān)性在許多離散相關(guān)間隔處從0變到1。由于所得到的失效概率比較低，對于平均壓力水平為6 MPa，在表7中僅給出三個水平0, 0.5和1.0的結(jié)果的組合，并且在表8中給出平均壓力水平為8 MPa的結(jié)果。

對于兩個表格從左上角移動到右下角的兩種情況，失敗概率降低了大約2倍(即從兩個缺陷特征的完全獨(dú)立到完全相關(guān))。對于兩個平均壓力水平，相對于不同缺陷的缺陷長度的相關(guān)性，失效概率相當(dāng)?shù)?。從表中觀察到的非均勻趨勢(即為了增加表中某些條目的相關(guān)性，故障概率適當(dāng)增加)認(rèn)為是由于統(tǒng)計抽樣變異性的人為影響。

表7 存在缺陷的1 000個橫截面系統(tǒng)的失效概率

表8 具有缺陷的1 000個橫截面系統(tǒng)的失效概率

2.4.3 壓力變化增加導(dǎo)致相關(guān)性增加的影響

最后，增加100個缺陷并對各個故障事件之間的相關(guān)性的進(jìn)行了研究。通過增加內(nèi)部壓力的變化系數(shù)來解決這個問題。對于C.o.V.，結(jié)果如圖6所示，在0.05至0.2的范圍內(nèi)?？梢杂嬎銠M截面的“失效事件”之間的相應(yīng)的成對相關(guān)性，并且其范圍從最低值0.04到壓力C.o.V的最高值0.4。

3 結(jié) 論

研究了增強(qiáng)蒙特卡羅模擬方法在具有多重腐蝕缺陷的管道系統(tǒng)可靠性分析中的應(yīng)用。這種多重缺陷的存在要求進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析。還需要考慮隨機(jī)變量之間的相關(guān)效應(yīng)。增加缺陷尺寸之間的相關(guān)性的效果可以將失效概率降低兩倍。

此外，突出了失敗事件之間的相關(guān)性的影響。正如預(yù)期的那樣，隨著相關(guān)程度的增加，失敗概率會急劇下降。然而，在該效應(yīng)開始產(chǎn)生任何影響之前，相關(guān)程度需要高于約0.2。對于這種類型的相關(guān)性，一旦相關(guān)性開始顯著，故障概率可以降低幾個數(shù)量級(參見圖6)。

對于相關(guān)系數(shù)的較低值，可以簡單地通過將單個缺陷的失效概率(基于腐蝕缺陷的尺寸的集合概率分布)乘以缺陷的總數(shù)來獲得系統(tǒng)失效概率(參見表5和表6中的結(jié)果)。

如上所述，本研究主要是作為系統(tǒng)可靠性效應(yīng)如何與腐蝕管道相關(guān)的基本說明。作為未來工作的一部分，還有許多其他主題需要更詳細(xì)地解決。僅舉幾個不同類型故障模式的失效概率水平計算的例子，以及如上所述引入模型不確定因素的影響。

本文譯自BERNT J. L, ARVID N, BRANDRUD N. Reliability Analysis of Corroding Pipelines by Enhanced Monte Carlo Simulation [J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2016(144): 11-17.