郭軍 蔡明建

【摘要】反問題在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景，近三十年來得到相關(guān)領(lǐng)域科研人員的極大關(guān)注，在國內(nèi)外取得了很大的發(fā)展.因此，反問題學(xué)習(xí)和研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義和學(xué)術(shù)價(jià)值，然而數(shù)學(xué)以及相關(guān)理工專業(yè)在本科階段設(shè)置反問題的選修課程并不多見.本文簡要介紹反問題相關(guān)概念、研究狀況，使讀者對反問題背景知識(shí)和內(nèi)容有一個(gè)初步的了解.在此基礎(chǔ)上，討論在本科生中開展反問題課程教學(xué)相關(guān)問題，并就教學(xué)方式、內(nèi)容、教材建設(shè)等方面提出建議和意見.

【關(guān)鍵詞】反問題;反問題教學(xué);課程設(shè)置;教學(xué)方式;教材

一、反問題及其發(fā)展現(xiàn)狀

“反問題”一詞出現(xiàn)在20世紀(jì)60年代，特別是在地球物理中，通過輸入、輸出或是因果實(shí)驗(yàn)來確定地球物理方程中的未知量.現(xiàn)在，“反問題”一詞指用最好的方法來重建缺失的信息.例如，確定污染源，散射體的位置或是模型參數(shù)等.歷史上，反問題在自然界的探索以及科學(xué)研究中有不少著名的例子.19世紀(jì)初期，由于當(dāng)時(shí)并沒有發(fā)現(xiàn)海王星，天文學(xué)家利用牛頓的萬有引力計(jì)算天王星的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，發(fā)現(xiàn)與觀測到的軌道不相符.1844年，法國天文學(xué)家Le Verrier假設(shè)有一顆行星使得天王星的運(yùn)行軌跡如觀察到的，利用反擾動(dòng)方法計(jì)算出了海王星的位置.第二個(gè)例子是Abel積分方程，它源于對等時(shí)曲線問題的求解：測出物體從曲線不同高度下降的時(shí)間，尋求曲線的形狀.這一方程在地震學(xué)、天體物理學(xué)、成像以及許多其他物理科學(xué)中具有基礎(chǔ)性作用.在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中，CT掃描發(fā)揮著十分重要的檢測作用.在這個(gè)過程中，從不同方向拍攝多個(gè)X射線圖像，然后將X射線數(shù)據(jù)送入層析重建程序，由計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理并得到反映人體組織結(jié)構(gòu)的圖片.其中的核心算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是奧地利數(shù)學(xué)家Radon在1917推導(dǎo)的Radon變換.

反問題與正問題往往是成對出現(xiàn)的.正問題常常用來刻畫符合自然規(guī)律的事物或現(xiàn)象，通過正問題來求得其演化的結(jié)果，其結(jié)果通常滿足法國數(shù)學(xué)家Hadamard提出的適定性、存在性、唯一性、穩(wěn)定性.而反問題常常是根據(jù)可觀測的現(xiàn)象來探求事物的內(nèi)部規(guī)律，即由果求因，其求解過程違背了事物發(fā)展的自然順序，往往是不適定的.數(shù)學(xué)上，正問題可以看成是把一個(gè)算子K作用于一個(gè)已知模型空間中的變量x，即用算子方程Kx=y來描述并求計(jì)算結(jié)果y.而反問題是給出y的值求解x.下面以矩陣方程為例來說明反問題求解中會(huì)產(chǎn)生不適定性.

大部分反問題都可以歸結(jié)為算子方程：Kx=y，其中K：X→Y是緊算子，X、Y為Hilbert空間.此時(shí)K-1：Y→X是一個(gè)無界算子，從而解是不穩(wěn)定的.但是，在已知解的更多信息情況下，可以用正則化方法構(gòu)造出K-1的有界近似算子，使得近似解趨于真實(shí)解.這種方法首先由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Tikhonov在20世紀(jì)60年代初提出的，它奠定了反問題理論基礎(chǔ)與計(jì)算基礎(chǔ).

現(xiàn)在，反問題的研究已經(jīng)深入到生活、生產(chǎn)、研究的眾多領(lǐng)域，它在機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)推斷、地球物理、醫(yī)學(xué)成像、遙感、海洋聲學(xué)層析、無損檢測、工業(yè)控制、地質(zhì)探測、雷達(dá)、天文學(xué)、航空航天等許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[1].很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家以及工程技術(shù)專家在反問題的研究、發(fā)展及應(yīng)用上取得了豐富成果.目前，反問題的研究主要集中在數(shù)學(xué)物理反問題.根據(jù)反問題所要反演目標(biāo)的不同，通常分為參數(shù)識(shí)別問題、逆時(shí)反問題、反源問題、邊界控制問題、幾何反問題等.我國馮康先生在20世紀(jì)80年代初曾經(jīng)著文《數(shù)學(xué)物理中的反問題》，較早地介紹了這個(gè)新的研究方向.國內(nèi)已有不少學(xué)者出版了反問題相關(guān)專著，例如，肖庭延、于慎根、王彥飛著的《反問題的數(shù)值解法》，劉繼軍著的《不適定問題的正則化方法及應(yīng)用》，韓波、李莉著的《非線性不適定問題的求解方法及應(yīng)用》等.國外同行學(xué)者也有很多經(jīng)典的專著，如Victor Isakov的Inverse Problems for Partial Differential Equations，Andreas Kirsch的An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems，F(xiàn)ioralba Cakoni，David Colton 的Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory，David Colton，Rainer Kress的Inverse Acousticand Electromagnetic Scattering Theory，Alexander G.Ramm的Inverse problems，Richard C.Aster，Brian Borchers，Clifford H.Thurber的Parameter Estimation and Inverse Problems，Mario Bertero，Patrizia Boccacci的Introduction to Inverse Problems in Imaging等等.這些書中既包括反問題的一般理論，也各有側(cè)重地介紹反問題在不同領(lǐng)域的求解方法，它們大體上反映了反問題在相關(guān)領(lǐng)域的研究成果，是青年學(xué)者不可多得的學(xué)習(xí)書籍，其中各種不同數(shù)學(xué)方法的理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)尤其值得關(guān)注.歐美等國為推進(jìn)反問題發(fā)展紛紛開辦刊物，如現(xiàn)在已經(jīng)成為權(quán)威期刊的Inverse Problems，Inverse Problems and Imaging，Inverse Problems in Science Engineering，J.of Inverse and Ill-posed Problems等，方便了全球?qū)＜覍W(xué)者交流學(xué)習(xí).

國內(nèi)一些大學(xué)、研究所在反問題及其應(yīng)用方面做出了突出貢獻(xiàn).如浙江大學(xué)包剛教授的研究團(tuán)隊(duì)、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院張波研究員的研究團(tuán)隊(duì)、東南大學(xué)劉繼軍教授的研究團(tuán)隊(duì)、香港中文大學(xué)鄒軍教授的研究團(tuán)隊(duì)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)韓波教授的研究團(tuán)隊(duì)、蘭州大學(xué)魏婷教授的研究團(tuán)隊(duì)以及中山大學(xué)、吉林大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、上海大學(xué)、華中師范大學(xué)的相關(guān)研究團(tuán)隊(duì)等，他們的研究成果豐碩，科研水平與能力處于國際領(lǐng)先位置，帶動(dòng)了國內(nèi)反問題的研究與開展，舉辦了一系列與反問題相關(guān)的國際會(huì)議，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的青年學(xué)者，在國家一些重大項(xiàng)目上有很大貢獻(xiàn).近年來反問題的研究及其應(yīng)用取得很大的發(fā)展，在促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步、國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展上具有重要價(jià)值.

二、反問題教學(xué)相關(guān)建議和意見

反問題目前只在研究生教學(xué)中展開，與其他學(xué)科有很強(qiáng)的交叉性特點(diǎn)，考慮到反問題應(yīng)用的廣泛性及其對生活、生產(chǎn)的重要促進(jìn)作用，從培育應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才的角度來看，我們應(yīng)該在大學(xué)本科階段開設(shè)反問題選修課程，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，開闊學(xué)生視野，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).科學(xué)化的反問題研究為我們在解決問題、增長智慧方面提供了很好的案例和方法論.開設(shè)反問題選修課程，可以提供一個(gè)途徑，讓感興趣的同學(xué)系統(tǒng)地了解和接觸這門知識(shí)，彌補(bǔ)高校選修課開設(shè)不足的缺陷[2].下面對課程相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)準(zhǔn)備、授課對象、教學(xué)方式的確定和教材編寫或選取等四個(gè)方面給出建議和意見.

（一）預(yù)備知識(shí)的介紹

反問題的學(xué)習(xí)與研究分為三個(gè)步驟：建立數(shù)學(xué)模型，分析并提出解決方法，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證方法的正確性.因此，需要學(xué)生具備數(shù)學(xué)理論知識(shí)和計(jì)算機(jī)編程技巧方面的能力.一般地，從建模中得到數(shù)學(xué)物理方程反問題，從反演的類型來看可分為以下幾個(gè)方面：（1）計(jì)算機(jī)斷層成像;（2）反散射;（3）熱傳導(dǎo)反問題;（4）地球物理反問題;（5）成像反問題;（6）微分方程參數(shù)識(shí)別.因此，選修學(xué)生需具備數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程、拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析等基礎(chǔ)以理解問題的描述和解決思路.對工科學(xué)生，只需要在高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)專門針對工科學(xué)生微分方程和泛函分析的基礎(chǔ)書籍即可.反問題本身的實(shí)用性決定了，需要研究者用具體的例子來證明結(jié)果的有效性，因此，需要掌握計(jì)算機(jī)編程、數(shù)值模擬來呈現(xiàn)實(shí)例.對學(xué)習(xí)者而言，就需要計(jì)算方法、數(shù)值分析，微分方程數(shù)值解、Matlab等知識(shí).這些內(nèi)容數(shù)學(xué)專業(yè)和其他理工科學(xué)生一般在專業(yè)課程中都要學(xué)到.當(dāng)然不同類型的反問題涉及不同領(lǐng)域的背景知識(shí)，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有針對性地介紹.

（二）授課對象的設(shè)定

反問題應(yīng)用范圍十分廣泛，涉及社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域，社會(huì)生活、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、國防安全出現(xiàn)大量的反問題需要解決，這給相關(guān)技術(shù)人才提供了廣闊的舞臺(tái)，也使得人才的培養(yǎng)顯得十分必要.恰當(dāng)?shù)剡x取授課對象，可以幫助反問題知識(shí)進(jìn)行精準(zhǔn)推廣和有效傳播.反問題不僅是數(shù)學(xué)問題，也與相關(guān)學(xué)科的專業(yè)知識(shí)緊密聯(lián)系在一起，更多地體現(xiàn)在應(yīng)用領(lǐng)域.反問題教學(xué)應(yīng)以應(yīng)用為導(dǎo)向，選擇多學(xué)科、跨專業(yè)學(xué)生為宜.建議在應(yīng)用數(shù)學(xué)、地球物理、醫(yī)學(xué)技術(shù)、遙感、雷達(dá)、系統(tǒng)工程、無損檢測等相關(guān)專業(yè)大三或大四的學(xué)生中進(jìn)行推介，一來該類學(xué)生已具備相應(yīng)基礎(chǔ)知識(shí)，再則選修課程將幫助學(xué)生選定專業(yè)研究方向，豐富研究手段和思路，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力，可實(shí)現(xiàn)課程服務(wù)于學(xué)生.

（三）教學(xué)方式的確定

我國高校實(shí)行教學(xué)質(zhì)量工程建設(shè)和評估，推進(jìn)了教學(xué)質(zhì)量的量化、可視化，同時(shí)促進(jìn)教學(xué)方式不斷改革以更適應(yīng)學(xué)生和社會(huì)的需求.授課對象決定了我們不能簡單地將反問題在研究生中的教學(xué)方式搬到本科生中來，教學(xué)目標(biāo)不是培養(yǎng)專門的學(xué)者，而旨在拓寬學(xué)生知識(shí)，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，供有需求的學(xué)生選擇.因此，教學(xué)中吸引學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生的思考，引導(dǎo)他們探索是首要的，對初學(xué)者接受起來較難的系統(tǒng)的、專業(yè)的理論知識(shí)可以放在稍次要的位置.講述方式應(yīng)以問題為導(dǎo)向，輔之以必要的理論分析，重在介紹思維方式，做到深入淺出，通俗易懂.例子選取重在體現(xiàn)反問題的應(yīng)用性背景，展現(xiàn)反問題的求解思路與關(guān)鍵所在.一般選修課程在32～48學(xué)時(shí)左右，教學(xué)者需在知識(shí)的深度、廣度和學(xué)生的接受程度上做出很好的平衡.另外，反問題的教學(xué)應(yīng)該充分發(fā)揮第二課堂的作用，開展專家學(xué)者的專題報(bào)告，或是工程技術(shù)人員的實(shí)踐教學(xué).

反問題的教學(xué)還因該包括數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，需要學(xué)生用一定的數(shù)值方法反演目標(biāo).反問題的求解需要用正則化理論，這對本科生而言稍顯困難，建議有能力的學(xué)生加入研究生的團(tuán)隊(duì)中學(xué)習(xí).考慮到反問題的理論知識(shí)無須講解十分詳細(xì)、完備，建議用多媒體教學(xué).

（四）教材選取和編寫

反問題涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)范圍廣，同時(shí)也是一個(gè)跨學(xué)科的前沿理論，國外和國內(nèi)目前只在研究生階段培養(yǎng)研究型、應(yīng)用型專業(yè)人才，針對本科生的教材不多見.因此，在確定培養(yǎng)目標(biāo)、選取教學(xué)內(nèi)容、編排教學(xué)材料、設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)等方面都需要進(jìn)行探索，既要考慮到學(xué)生的接受能力，也要反映反問題的基本知識(shí)、思想和方法，以期讓學(xué)生對反問題有一個(gè)初步而相對完整的認(rèn)識(shí).我國高校多鼓勵(lì)教師根據(jù)本校課程設(shè)置和學(xué)生特點(diǎn)，編寫合適的教材，在反問題授課材料的編寫上我們給出以下幾個(gè)建議.

1.從已學(xué)過的內(nèi)容中挖掘出反問題的例子，如線性方程組的求解[3][4]，常微分方程的特征值，高等數(shù)學(xué)中的積分與求導(dǎo)，積分變換，數(shù)值分析中的拉格朗日插值、數(shù)據(jù)擬合等內(nèi)容.這樣的題材便于學(xué)生理解、掌握反問題的要領(lǐng)，體會(huì)反問題的特點(diǎn).

2.理論知識(shí)包括泛函分析中廣義空間、緊算子的基本理論，不適定問題的基礎(chǔ)理論以及微分方程的數(shù)值解法.在這些知識(shí)的介紹中無須求全，應(yīng)盡量簡潔易懂、突出重點(diǎn)，讓學(xué)生掌握最基本的知識(shí)、思想與方法.

3.適當(dāng)?shù)亟榻B反問題在相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展、應(yīng)用，合理設(shè)計(jì)專題知識(shí).目前反問題的數(shù)學(xué)模型大都是數(shù)學(xué)物理方程，因此，要重點(diǎn)講解數(shù)學(xué)物理反問題，如逆時(shí)反問題、反源問題[5]、反邊值問題等.突出不同類型反問題的求解方法與技巧.

4.安排適量的、難度適中的反問題數(shù)值實(shí)驗(yàn)很有必要，既鍛煉了學(xué)生反問題程序編寫能力，又能促進(jìn)對反問題的理解與認(rèn)識(shí).教材中編寫一定量的小組作業(yè)既能培養(yǎng)學(xué)生對知識(shí)的運(yùn)用能力、又可以發(fā)揮解決問題的能力.

5.近年來在大學(xué)生的競賽活動(dòng)中也出現(xiàn)了一些實(shí)際應(yīng)用中的反問題，這樣的題材融入教學(xué)中對教學(xué)效果有很大的促進(jìn)作用.

三、總?結(jié)

近年來，反問題的應(yīng)用與研究已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中發(fā)展和成長最快的領(lǐng)域之一，它在應(yīng)用領(lǐng)域的多個(gè)學(xué)科取得了很多成果，為國家建設(shè)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出了應(yīng)有的貢獻(xiàn).反問題的研究中涌現(xiàn)出了一系列新的問題、理論和方法.在本科生中推薦、介紹反問題，有利于學(xué)生拓展思維、增長眼界、提高技能素質(zhì).本文介紹了反問題及其發(fā)展?fàn)顩r，并就反問題在本科生中開展教學(xué)進(jìn)行探討，這也響應(yīng)了我國當(dāng)前全面深化教育領(lǐng)域綜合改革的政策[6]，為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，滿足社會(huì)需求做出一點(diǎn)努力.

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