魏峰 金亮? 柳軍 丁峰 鄭新萍

1)(國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

2)(國(guó)防科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

1 引 言

在計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域,笛卡爾網(wǎng)格相比貼體網(wǎng)格有著高效率、高魯棒性、高靈活性等突出優(yōu)勢(shì),能夠很好地應(yīng)對(duì)復(fù)雜的流動(dòng)問題[1,2].作為笛卡爾網(wǎng)格技術(shù)的關(guān)鍵,物面處理的方式一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者們研究的熱點(diǎn),近年來,浸入邊界法(immersed boundary method)[3]越來越受到研究者們的重視,這種方法相比切割單元法(cut-cell method)[4]不需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行切割,極大地減小了計(jì)算量,在模擬包含運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題時(shí)有著明顯的優(yōu)勢(shì).常規(guī)的浸入邊界法包括連續(xù)力法和離散力法,這兩種方法在模擬不可壓縮流的領(lǐng)域都獲得了極大的成功[5,6],然而在模擬高雷諾數(shù)情況下的可壓縮流動(dòng)時(shí)都存在著很大的誤差.為了彌補(bǔ)這一缺陷,Majumdar等[7]提出了虛擬單元法(ghost cell method),即在物體內(nèi)部構(gòu)建虛擬流場(chǎng),通過對(duì)虛擬流場(chǎng)內(nèi)的虛擬單元進(jìn)行合理的賦值,隱式地表達(dá)物面邊界條件.一般情況下,虛擬單元定義為周圍至少存在一個(gè)流場(chǎng)單元的物體內(nèi)部單元,但是對(duì)于一些高階的虛擬單元法,則需要擴(kuò)展更多的虛擬單元[8],對(duì)于存在細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的幾何模型,虛擬單元還可以定義在流場(chǎng)內(nèi)部[9].虛擬單元法以其靈活簡(jiǎn)單、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)得到了眾多學(xué)者的關(guān)注.Tseng和Ferziger[10]對(duì)浸入邊界虛擬單元法在各種邊界條件下的應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)的研究;Dadone和Grossman[11],Farooq等[12]以及Chi等[13]都對(duì)可壓縮流動(dòng)中的虛擬單元法進(jìn)行了詳細(xì)研究并發(fā)展了各自的虛擬單元法.

對(duì)于含有運(yùn)動(dòng)邊界的復(fù)雜流動(dòng)問題,早期的物面邊界處理方式為切割單元法,容易導(dǎo)致所謂的“細(xì)小網(wǎng)格”問題,嚴(yán)重限制了時(shí)間步長(zhǎng).為了避免這一問題,Mittal 和Iaccarino[5]將細(xì)小的切割單元與周圍的流場(chǎng)單元進(jìn)行融合以消除細(xì)小單元,Forrer 和Berger[14]借鑒了浸入邊界法的思想,將切割單元進(jìn)行了填充并且設(shè)置了一系列的虛擬單元,兩者都成功地求解了含有運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題.Lee 等分析研究了求解運(yùn)動(dòng)邊界問題時(shí)產(chǎn)生的壓力振蕩,通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)減小網(wǎng)格尺寸或者增大時(shí)間步長(zhǎng)都可以減小壓力振蕩[15],進(jìn)而提出了一種能夠有效地控制壓力振蕩的隱式浸入邊界虛擬單元法[16].Tan和Shu[8]推導(dǎo)了一種復(fù)雜的能夠處理運(yùn)動(dòng)邊界問題的高階虛擬單元法,通過有限差分的方法分別求解了一維算例和二維算例,其精度分別達(dá)到了四階和三階.Peter和De[17]在非慣性系下對(duì)GCIBM (ghost-cell immersed boundary method)方法進(jìn)行了拓展,同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)并行求解,相比在慣性系下求解包含運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題,避免了壓力的數(shù)值振蕩,但是也存在著無法模擬多體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的局限性.在國(guó)內(nèi),趙寧等[18,19]在自適應(yīng)笛卡爾網(wǎng)格的基礎(chǔ)上對(duì)虛擬單元法進(jìn)行了大量的研究,同時(shí)也對(duì)包含運(yùn)動(dòng)邊界的情況進(jìn)行了數(shù)值模擬.

在文獻(xiàn)[12]提出的SGCM (simplified ghost cell method)基礎(chǔ)上,本文提出了一種改進(jìn)的虛擬單元法,同樣使用了流場(chǎng)點(diǎn)作為鏡像點(diǎn),但是相比之下具有更高的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率.考慮到物面邊界變速運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致邊界附近的壓力、密度和切向速度存在梯度,給出了改進(jìn)型虛擬單元法的推廣形式,用于求解包含運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題.通過求解Schardin問題和激波抬升輕質(zhì)圓柱問題驗(yàn)證了該虛擬單元法及其推廣形式在處理包含靜止/運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題時(shí)的準(zhǔn)確性.本文第2節(jié)簡(jiǎn)要介紹了求解過程中使用的控制方程以及空間、時(shí)間離散格式,進(jìn)而詳細(xì)介紹了改進(jìn)的虛擬單元法及其推廣;第3節(jié)給出了兩種經(jīng)典的流動(dòng)問題的計(jì)算結(jié)果和討論;第4節(jié)給出了結(jié)論.

2 數(shù)值方法

2.1 控制方程

二維無黏可壓縮歐拉方程的有限體積形式如下[20]：

其中,

U為守恒變量;F(U)和G(U)分別為X和Y方向上的通量;ρ為密度;u和v分別為沿X和Y方向的速度分量;p為壓強(qiáng);E為總能.考慮到氣體的熱力學(xué)性質(zhì),補(bǔ)充方程(5)封閉上述方程系統(tǒng),

其中比熱比γ取1.4.

2.2 離散

采用AUSM + (advection upstream splitting method +)格式計(jì)算對(duì)流通量[21],為了提高計(jì)算精度,通過MUSCL (monotonic upstream-centered scheme for conservation laws)方法[22]在單元交界處采用二階精度重構(gòu)格式對(duì)變量進(jìn)行重構(gòu),同時(shí)選用MINMOD限制器限制重構(gòu)時(shí)使用的梯度,防止重構(gòu)格式出現(xiàn)振蕩.

時(shí)間離散采用顯式三階TVD (total-variationdiminishing)Runge-Kutta格式[23],具體形式如下：

其中R(*)為殘值,Δt為時(shí)間步長(zhǎng).對(duì)于非定常問題,應(yīng)采用全場(chǎng)統(tǒng)一時(shí)間步長(zhǎng),全場(chǎng)統(tǒng)一時(shí)間步長(zhǎng)是所有當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)的最小值,即

式中Δti為當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng).

2.3 改進(jìn)的虛擬單元法

在使用常規(guī)的虛擬單元法求解可壓縮流動(dòng)問題時(shí),通常需要得到虛擬單元關(guān)于物面的鏡像點(diǎn),然后通過插值得到鏡像點(diǎn)的變量值,進(jìn)而求得虛擬單元的變量值.一般情況下,鏡像點(diǎn)周圍都有著足夠的插值點(diǎn),因此能夠采用各種插值方法得到比較準(zhǔn)確的數(shù)值,但是對(duì)于圖1中出現(xiàn)的情況,物體底部虛擬單元的鏡像點(diǎn)缺乏合適的插值點(diǎn),因此需要進(jìn)行特殊的處理.一般地,可以將距離鏡像點(diǎn)最近流場(chǎng)點(diǎn)的變量值賦給鏡像點(diǎn),或者是距離虛擬單元最近流場(chǎng)點(diǎn)的變量值賦給鏡像點(diǎn).然而,這種近似的賦值方式會(huì)引入一定的誤差,對(duì)于誤差存在積累效應(yīng)的非定常問題,如果一開始就存在較大的誤差將嚴(yán)重影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性.

圖1 狹縫問題(物體底部虛擬單元的鏡像點(diǎn)缺乏合適的插值點(diǎn))Fig.1.Slit problem,which is caused by the lack of interpolation points of the mirror points.

為了不采用這種近似的處理方法,與Farooq等[12]在2013年提出的SGCM相似,選擇了X或者Y方向的流場(chǎng)點(diǎn)代替了鏡像點(diǎn),避免了插值運(yùn)算,因此能夠很好地處理狹縫問題.考慮到鏡像點(diǎn)與物面點(diǎn)十分接近時(shí),速度賦值公式存在分母接近0的情況而產(chǎn)生非物理解,在SGCM中假設(shè)了物面點(diǎn)位于虛擬單元和鏡像點(diǎn)中間,但同時(shí)也引入了一定的誤差.如圖2所示,使用了精確的物面點(diǎn)位置求得虛擬單元的變量值,從而能夠精確地表達(dá)物面邊界,同時(shí)為了保證方法的穩(wěn)定性,在計(jì)算過程設(shè)定當(dāng)鏡像點(diǎn)與物面點(diǎn)距離小于0.2個(gè)網(wǎng)格單元長(zhǎng)度時(shí),就要取鏡像點(diǎn)向外延伸后的第二個(gè)流場(chǎng)點(diǎn)作為鏡像點(diǎn),例如,圖2中虛擬單元B的鏡像點(diǎn)本來應(yīng)該是流場(chǎng)點(diǎn)N,但是由于N點(diǎn)與物面點(diǎn)MB的距離過近而選擇了N點(diǎn)上方的流場(chǎng)點(diǎn)FB.值得注意的是,對(duì)于這種改進(jìn)的虛擬單元法,如果虛擬單元距離在X方向或者Y方向上的鏡像點(diǎn)過遠(yuǎn),則將只考慮距離虛擬單元最近的鏡像點(diǎn),例如圖中的虛擬單元B沿X方向的第一個(gè)鏡像點(diǎn)為流場(chǎng)點(diǎn),這兩點(diǎn)的距離達(dá)到了3倍的網(wǎng)格長(zhǎng)度,因此在對(duì)虛擬單元B賦值時(shí)只需考慮其沿Y方向的鏡像點(diǎn)即可,在實(shí)際計(jì)算時(shí),當(dāng)虛擬單元與第一個(gè)鏡像點(diǎn)之間距離為1到2個(gè)網(wǎng)格長(zhǎng)度時(shí)需要考慮兩個(gè)方向的鏡像點(diǎn),如虛擬單元A和C.對(duì)于非曲面物面,虛擬單元的賦值方法如下所示：

圖2 改進(jìn)的虛擬單元法示意圖Fig.2.Demonstration of the improved ghost cell method.

其中Q代表壓強(qiáng)p、密度ρ以及沿著物面的切向速度ut;un代表物面法向速度;a和b分別代表鏡像點(diǎn)到物面點(diǎn)的距離和虛擬單元到鏡像點(diǎn)的距離.對(duì)于曲面物面,在計(jì)算除un以外的其他變量時(shí)不能忽略曲率半徑的影響,因此在計(jì)算這些變量時(shí)需要對(duì)(10)式進(jìn)行修改,本文采用了與文獻(xiàn)[12]相同的壓力賦值公式.在SGCM中,鏡像點(diǎn)的選擇(X方向上選擇或者Y方向上選擇)依據(jù)物面的法向向量,因此在鏡像點(diǎn)選擇更替的區(qū)域,流場(chǎng)變量會(huì)可能出現(xiàn)不連續(xù),如圖3所示,在使用SGCM方法計(jì)算超聲速圓柱繞流時(shí),在r/R=0.7附近的壓力系數(shù)會(huì)出現(xiàn)扭曲現(xiàn)象.為了解決這個(gè)問題,Farooq等[12]在鏡像點(diǎn)的選擇中增加了斜上(下)方的流場(chǎng)點(diǎn),得到了MSGCM (modified simplified ghost cell method),消除了扭曲,但是使得代碼中的判斷語(yǔ)句變得非常多.我們則根據(jù)距離加權(quán)的方式來光滑變量值,即同時(shí)得到X方向以及Y方向的鏡像點(diǎn),通過(10)和(11)式分別求出相應(yīng)的虛擬單元變量值,最終的虛擬單元變量值根據(jù)它們距離物面的長(zhǎng)短進(jìn)行加權(quán),這一過程并沒有引入過多的判斷語(yǔ)句.在相同的設(shè)置參數(shù)和網(wǎng)格量下我們求解了文獻(xiàn)[12]中的超聲速圓柱繞流算例,計(jì)算結(jié)果如圖3所示,可以看出本文發(fā)展的改進(jìn)型虛擬單元法(ISGCM)同樣能夠消除計(jì)算過程中出現(xiàn)的扭曲現(xiàn)象,并且比SGCM和MSGCM更加精確.

圖3 SGCM中出現(xiàn)的扭曲現(xiàn)象(標(biāo)記區(qū)域)以及采用ISGCM求得的圓柱表面壓力系數(shù)與采用SGCM、MSGCM、貼體網(wǎng)格得到的結(jié)果的對(duì)比Fig.3.Kink noted in the picture,which is happened when using the SGCM,and the comparison of the pressure coefficients obtained by using SGCM,MSGCM,ISGCM and the body fitted mesh.

2.4 推廣的改進(jìn)型虛擬單元法

對(duì)于變速度的運(yùn)動(dòng)邊界問題,邊界附近存在著壓力、密度和切向速度的梯度[12],因此在計(jì)算虛擬單元的變量值時(shí)我們額外選取了一層鏡像點(diǎn)(圖4),增加了FA,2,以及FB,2,結(jié)合對(duì)應(yīng)的第一層鏡像點(diǎn)FA,1,和FB,1得到近壁面的變量梯度,進(jìn)而求解虛擬單元的變量值.(12)和(13)式給出了這種推廣形式的虛擬單元賦值方法：

在對(duì)虛擬單元賦值時(shí),除了上文中提到的特殊情況,都需要分別得到沿X和Y方向求得的虛擬單元變量值,再根據(jù)虛擬單元與物面點(diǎn)之間的距離進(jìn)行加權(quán).當(dāng)物面附近存在激波時(shí),例如一道激波介于流場(chǎng)點(diǎn)FA,1和FA,2之間,采用(12)式得到的壓力等變量會(huì)出現(xiàn)很大或者很小的數(shù)值,甚至出現(xiàn)負(fù)值,導(dǎo)致計(jì)算發(fā)散.因此我們?cè)黾恿艘粋€(gè)激波監(jiān)測(cè)器α,用來檢測(cè)FA,1和FA,2之間是否激波,其定義如下：

圖4 推廣的改進(jìn)型虛擬單元法示意圖Fig.4.The demonstration of the extended ISGCM.

3 計(jì)算結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證本文發(fā)展的改進(jìn)型虛擬單元法,首先求解了Schardin問題,并與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了方法在求解包含靜止邊界的非定常流動(dòng)問題時(shí)的準(zhǔn)確性,進(jìn)而求解了存在狹縫問題的激波抬升輕質(zhì)圓柱問題,通過和相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了在包含運(yùn)動(dòng)邊界情況下方法的準(zhǔn)確性以及對(duì)狹縫問題的處理效果.

3.1 Schardin問題

Schardin問題于1957年由Schardin提出[24],此后,一些學(xué)者對(duì)該問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬,本算例選用了Chang等[25]提出的研究模型,模型描述如圖5所示,初始時(shí)刻(T=0),距離左邊界50 mm處有一道激波,隨著時(shí)間的推移,激波將以Ma=1.34向后掃過一個(gè)夾角約為60°的三角楔,流動(dòng)過程中將出現(xiàn)馬赫桿、三波點(diǎn)、滑移線、膨脹波等復(fù)雜的流場(chǎng)結(jié)構(gòu),初始時(shí)低壓區(qū)的靜壓為0.05 MPa,更多的細(xì)節(jié)可以查看文獻(xiàn)[25].左邊界賦值為波后條件,右邊界以及上下邊界為超聲速出口條件,物面邊界采用本文發(fā)展的ISGCM,計(jì)算網(wǎng)格采用了均勻的笛卡爾網(wǎng)格,分別計(jì)算了網(wǎng)格量大小為142×100,426×300和710×500時(shí)的流動(dòng)情況.

圖5 Chang等[25]用來研究Schardin問題的物理模型Fig.5.Physical model of the Schardin's problem proposed by Chang et al.[25].

圖6 不同時(shí)刻下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(左)、Chang等[25]計(jì)算所得的密度等值線(中)和采用ISGCM計(jì)算所得的密度等值線(右)(a)T=28 μs;(b)T=53 μs;(c)T=102 μs;(d)T=130 μs;(e)T=172 μsFig.6.Experimental results (left),Chang et al.[25] results and the density contour computed by us (right)：(a)T=28 μs;(b)T=53 μs;(c)T=102 μs;(d)T=130 μs;(e)T=172 μs.

圖6分別給出了在網(wǎng)格量大小為710×500時(shí)采用ISGCM所得的密度等值線圖(右)、Chang等[25]使用數(shù)值計(jì)算得到的密度等值線圖(中)以及通過雙脈沖全息干涉法得到的T=28,53,102,130,172 μs時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(左),其中文獻(xiàn)[25]在數(shù)值計(jì)算過程中在自適應(yīng)的四邊形貼體網(wǎng)格上使用MUSCL方法得到了二階精度的計(jì)算結(jié)果.圖7(a)給出了不同網(wǎng)格量下計(jì)算所得的沿模型中間對(duì)稱線上的密度分布與文獻(xiàn)[25]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比,圖7(b)給出了不同網(wǎng)格量下計(jì)算所得的沿模型中間對(duì)稱線上的馬赫數(shù)分布與文獻(xiàn)[25]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比.可以看出,計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[25]的實(shí)驗(yàn)以及計(jì)算結(jié)果基本一致,表明本文所發(fā)展的改進(jìn)型虛擬單元法能夠達(dá)到與貼體網(wǎng)格相同的精度.

圖7 (a)計(jì)算所得沿模型中間對(duì)稱面上的密度分布與Chang等[25]的計(jì)算結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比;(b)沿模型中間對(duì)稱面上的馬赫數(shù)分布與Chang等[25]的計(jì)算結(jié)果的對(duì)比Fig.7.(a)Comparison of the density distribution along the symmetry plane between the results obtained by this paper and Chang et al.[25] as well as the experiment;(b)the comparison of the Mach number distribution along the symmetry plane between the results obtained by this paper and the results of Chang et al.[25].

3.2 激波抬升輕質(zhì)圓柱

在此算例中,一道激波從左至右傳播,一個(gè)剛性輕質(zhì)圓柱放置在管道內(nèi),當(dāng)激波接觸圓柱后,會(huì)對(duì)圓柱產(chǎn)生作用力并將其抬升,文獻(xiàn)[8,14,26]都求解了該問題并進(jìn)行了分析.本文采用文獻(xiàn)[8]的計(jì)算模型,模型示意圖見圖8,計(jì)算域的大小為[0,1]×[0,0.2],剛性輕質(zhì)圓柱的半徑為0.05,密度為10.77.初始時(shí)刻,圓柱中心點(diǎn)的位置為(0.15,0.05),一道激波在X=0.08處,并以馬赫數(shù)Ma=3的速度朝著X的正方向傳播.左邊界設(shè)置為波后條件,右邊界為超聲速出口邊界,上下邊界均為固壁.初始流場(chǎng)中低壓區(qū)的靜壓為1.0,密度為1.4.

上下邊界采用了對(duì)稱反射邊界條件,物面邊界采用了ISGCM的推廣形式.初始時(shí)刻,圓柱剛好與計(jì)算域的下邊界接觸,形成狹縫問題,設(shè)定在計(jì)算距離下邊界很近的虛擬單元變量值時(shí)只考慮X方向的鏡像點(diǎn).值得注意的是,這里并沒有引入對(duì)鏡像點(diǎn)的近似賦值,仍然是對(duì)物面邊界的精確表達(dá).表1列出了不同網(wǎng)格量下T=0.1641和0.30085時(shí)圓柱中心的坐標(biāo),計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]符合得較好.圖9和圖10分別給出了網(wǎng)格量為600×120時(shí)計(jì)算所得T=0.1641和0.30085時(shí)的壓力等值線圖(a)和網(wǎng)格量為640×128時(shí)文獻(xiàn)[8]的計(jì)算結(jié)果(b),其中文獻(xiàn)[8]在計(jì)算過程中使用了復(fù)雜的三階精度虛擬單元法.可以看出計(jì)算結(jié)果基本吻合,表明推廣的改進(jìn)型虛擬單元法能夠用于求解包含運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題.

圖8 激波抬升輕質(zhì)圓柱問題的模型描述Fig.8.Physical model of the cylinder lift-off problem.

圖9 T=0.1641時(shí)的壓力等值線圖 (a)本文所推廣的改進(jìn)型虛擬單元法(網(wǎng)格量為600×120);(b)Tan等[8]使用的高階虛擬單元法(網(wǎng)格量為640×128)Fig.9.Pressure contour atT=0.1641：(a)Extended ISGCM with the grid size of 600×120;(b)high-order ghost cell method proposed by Tan et al.[8] with the grid size of 640×128.

圖10 T=0.30085時(shí)的壓力等值線圖 (a)本文所推廣的改進(jìn)型虛擬單元法(網(wǎng)格量為600×120);(b)Tan等[8]使用的高階虛擬單元法(網(wǎng)格量為640×128)Fig.10.Pressure contour atT=0.30085：(a)Extended ISGCM with the grid size of 600×120;(b)high-order ghost cell method proposed by Tan et al.[8] with the grid size of 640×128.

表1 不同網(wǎng)格量下T=0.1641和0.30085時(shí)圓柱中心的坐標(biāo)Table 1.Position of the center of the cylinder atT=0.1641 and 0.30085.

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的虛擬單元法求解包含靜止和運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題.在該方法中,虛擬單元的鏡像點(diǎn)用沿X和Y方向的流場(chǎng)點(diǎn)代替,虛擬單元的最終值通過其沿X和Y方向得到的變量值按照距離長(zhǎng)短加權(quán)得到.考慮到物面邊界變速運(yùn)動(dòng)時(shí)不能忽略近壁面處的變量梯度,我們對(duì)該虛擬單元法進(jìn)行了推廣,增加了一層鏡像點(diǎn),使其能夠處理包含變速運(yùn)動(dòng)邊界的流動(dòng)問題,同時(shí)為了避免激波貼體時(shí)產(chǎn)生非物理解,加入了激波監(jiān)視器,提高了方法的穩(wěn)定性.最后通過求解Schardin問題和激波抬升輕質(zhì)圓柱兩個(gè)經(jīng)典算例驗(yàn)證了方法的可靠性和準(zhǔn)確性.本文的結(jié)論如下：

1)與傳統(tǒng)的虛擬單元法相比,本文的方法不需要插值得到鏡像點(diǎn)的變量值,保持了笛卡爾網(wǎng)格的簡(jiǎn)單性,減少了計(jì)算量,同時(shí)由于鏡像點(diǎn)就是流場(chǎng)點(diǎn),因而能夠很好地處理狹縫問題;

2)與SGCM相比,本文的方法使用了精確的物面點(diǎn)求解虛擬單元的變量值,能夠準(zhǔn)確地表達(dá)物面邊界條件,并且不存在扭曲現(xiàn)象,同時(shí)還避免了過多判斷語(yǔ)句的引入,具有更高的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率;

3)通過求解Schardin問題驗(yàn)證了本文的方法可以較好地處理包含靜止邊界的流動(dòng)問題,同時(shí)能夠達(dá)到與貼體網(wǎng)格相同的精度;通過求解激波抬升輕質(zhì)圓柱問題,并與復(fù)雜的高階虛擬單元法進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了本文相對(duì)簡(jiǎn)單的虛擬單元法能夠滿足處理包含運(yùn)動(dòng)邊界問題的要求.

感謝上海航天科技創(chuàng)新基金提供的資金支持,同時(shí)衷心感謝審稿人的建設(shè)性意見和建議.