歐偉明, 王祝文, 寧琴琴, 徐方慧, 于 洋

(吉林大學地球探測科學與技術學院,吉林長春 130026)

一般裂縫性儲集層具有相當高的滲透率,裂縫對油氣藏的開采非常重要[1-3]。裂縫的存在會使聲波測井的波形發(fā)生很大的變化,因此掌握裂縫對井中聲波傳播的影響規(guī)律,將對裂縫的檢測和評價起到重要作用。國內外關于裂縫對井中聲波傳播影響方面已經(jīng)做了大量的研究,一方面根據(jù)實際聲波測井和相關物理實驗的數(shù)據(jù)進行分析;另一方面把裂縫當作一個流體薄層,采用有限差分和有限元方法數(shù)值模擬。Morris等[4]利用聲波測井資料中縱、橫波幅度檢測裂縫的位置。Paillet[5]根據(jù)聲波測井資料中斯通利波和橫波幅度的變化研究在裂縫附近的聲波傳播。Zlatev等[6]采用物理實驗模擬全波列聲波在含有裂縫的井中傳播,研究裂縫寬度和傾角對波形的影響。采用數(shù)值模擬的方法能避免人為誤差、節(jié)約實驗成本。魏周拓等[7]對井旁不同角度和不同位置裂縫的全波波列進行了數(shù)值模擬。龔丹和章成廣[8]應用三維應力-速度有限差分方法模擬含有傾斜裂縫地層中的井孔聲場。Matuszyk等[9]采用頻率域有限元法模擬在裂縫性地層中井中聲波的波形。閻守國等[10]運用變網(wǎng)格有限差分法模擬井中聲波在含有傾斜薄裂縫的孔隙地層中的傳播。閆怡飛等[11]采用有限元方法模擬存在井旁裂縫情況下的反射波波形特征。由于裂縫的寬度一般小于1 mm,這些流體薄層模型需要用非常小的網(wǎng)格來描述裂縫寬度,這會增加大量的計算時間。在地震波傳播方面,裂縫經(jīng)常被看作是一個位移不連續(xù)的線性滑動界面[12-13]。在線性滑動模型(LSM)中,假定裂縫可以用一個界面來表示,穿過這個界面,由地震波引起的位移是不連續(xù)的,而應力保持連續(xù)。位移矢量的跳躍與應力矢量之間的線性關系由斷裂柔度張量決定。Coates和Schoenberg[14]在線性滑動模型基礎上引入一種等效介質理論來模擬與裂縫相交的有限差分網(wǎng)格的性能。Wu等[15]采用有限差分法模擬一個開放的充滿流體裂縫的地震響應,對比了線性滑動模型和流體薄層模型,并發(fā)現(xiàn)這兩種模型具有很好的一致性,但計算前者所需要的時間非常少。吳國忱和秦海旭[16]采用線性滑動模型模擬裂縫性介質的響應。目前還沒有線性滑動理論在聲波測井響應模擬方面的研究。鑒于采用線性滑動模型模擬計算的高效性,筆者基于線性滑動模型,采用有限差分法來模擬不同裂縫寬度和不同裂縫條數(shù)情況下的全波列聲波測井響應,研究水平的線性滑動裂縫對聲波波形的影響規(guī)律。

1 線性滑動模型

為了把線性滑動模型的裂縫合并到有限差分網(wǎng)格中,Coates和Schoenberg[14]提出等效介質理論。該理論中,所有含有裂縫的有限差分網(wǎng)格單元被模擬裂縫的等效各向異性網(wǎng)格代替,如圖1所示。等效介質理論被用于計算有裂縫穿過的有限差分網(wǎng)格的彈性參數(shù)。等效介質理論計算需要每個差分網(wǎng)格的參數(shù),包括基巖的拉梅常數(shù)λ和μ、裂縫寬度h、每個網(wǎng)格包含的裂縫長度L以及法向和切向的裂縫柔度ZN和ZT。

τij=cijklekl.

(1)

式中,τij為應力;cijkl為彈性張量;ekl為應變。在等效介質理論中,公式(1)中的彈性張量定義為

(2)

圖1 在有限差分模型中代替一條水平裂縫的各向異性的網(wǎng)格Fig.1 Anisotropic grids instead of a horizontal fracture in finite-difference model

對于二維模型,r=λ/(λ+2μ),δN=ZN(λ+2μ)/[L+ZN(λ+2μ)],δT=ZTμ/(L+ZTμ)。當δN和δT的值為0時,表示有限差分網(wǎng)格中沒有裂縫。對于開口的、充滿流體的裂縫,ZN=h/Kf,ZT=∞(Kf為流體體積模量)。公式(2)描述的等效彈性介質是橫向各向同性的。如果裂縫的傾角和網(wǎng)格之間存在角度,需要對方程進行旋轉變換,得到每個網(wǎng)格的等效介質參數(shù)后,可以采用交錯網(wǎng)格有限差分法來模擬各向異性介質。

2 模型和有限差分實現(xiàn)

2.1 計算模型

地層中一些裂縫是單獨存在的,影響聲波的傳播;還有一些多條裂縫相距較近,它們組成裂縫帶,共同作用于聲波的傳播。本文中要模擬的模型包括單條裂縫模型和多裂縫模型。如圖2所示,夾在兩個相同的彈性地層中的水平裂縫穿過充滿流體的井孔,裂縫的寬度為h,裂縫帶的寬度為H,井孔半徑為a,a=10 cm。聲源位于井軸上,裂縫或裂縫帶的下表面到聲源的距離d=2 m。在裂縫帶中,裂縫的間距為5 cm。

圖2 被無限長水平裂縫穿過的井孔模型Fig.2 Borehole model inserted by infinite horizontal fractures

2.2 有限差分方法

圖3 介質參數(shù)和應力、速度分量在交錯網(wǎng)格中的位置Fig.3 Position of medium parameters and stress and velocity components in staggered grids

由于井是圓柱形,使用柱坐標系來描述需要模擬的模型。因為模型具有對稱性,可以將模型簡化為在r-z平面上的二維模型。采用交錯網(wǎng)格有限差分法[17-20]模擬彈性波在本文模型中的傳播。介質的物性參數(shù)和應力、速度分量在交錯網(wǎng)格中的位置,如圖3所示。空心圓表示剪切應力,實心圓表示正應力,空心方形表示z方向上的速度分量vz,實心方形表示r方向上的速度分量vr。括號中的參數(shù)i和j分別表示r、z方向上的網(wǎng)格點數(shù)。在r、z方向上網(wǎng)格步長分別為Δr和Δz,Δr=Δz。二維柱坐標系下,時間上二階、空間上二階、聲波在模型中傳播的速度-應力方程為

(3)

式中,τrr、τθθ和τzz分別為r、θ和z方向上的正應力;τrz為剪切應力;上標n為時間層數(shù);Δt為時間步長;Lr和Lz分別為r、z方向上的有限差分算子;σi為正向的算術平均算子,定義為σifi=(fi+fi-1)/2;參數(shù)ρ和μ分別為介質的密度和剪切模量。在介質的分界面上,分別對ρ和μ取算術平均值和調和平均值;在固-液分界面上,μ的值為0。

為了減小在計算期間的數(shù)值頻散,空間網(wǎng)格的步長需要滿足不等式:

Δr≤vmin/10fmax.

4.有利于黨形成良好政治生態(tài)。黨內政治生活與政治生態(tài)二者相互作用，密不可分。政治生活造就政治生態(tài)，政治生活是政治生態(tài)形成的基礎；政治生態(tài)影響政治生活，政治生態(tài)是政治生活的集中反映。一段時間以來，由于黨內政治生活存在寬松軟的問題，一些地方和部門的政治生活出現(xiàn)庸俗化、隨意化、平淡化的現(xiàn)象，給黨內政治生態(tài)帶來極大的負面影響。因此，良好的黨內政治生態(tài)要從嚴肅黨內政治生活中來。正如習近平同志所說：“黨內政治生活、政治生態(tài)、政治文化是相輔相成的?！盵4]

式中,vmin為模型中最小的縱波速度;fmax為聲源的最高頻率。對于二維的二階交錯網(wǎng)格有限差分法需要滿足如下穩(wěn)定性條件:

(4)

式中,vmax為模型中最大的縱波速度。本文中選取中心頻率為10 kHz的聲源,聲源函數(shù)s(t)的表達式為

(5)

式中,f0為聲源的中心頻率;Tc為聲源脈沖寬度,本文中Tc=2/f0。

3 數(shù)值模擬結果

3.1 單條無限長裂縫

根據(jù)公式的有限差分方程編寫程序,模擬聲波在被單條水平裂縫穿過的井中傳播。模型的尺寸為6.4 m×2.56 m;根據(jù)有限差分的穩(wěn)定性條件,選取差分網(wǎng)格的步長Δr為1 cm,時間步長Δt為1 μm。彈性地層的縱波速度和橫波速度分別為3 570 m/s和2 170 m/s,地層密度ρ為2 350 kg/m3。井中流體的密度和縱波速度分別為1 000 kg/m3和1 500 m/s。在模型中加入非分裂完全匹配層吸收邊界[21],消除模型邊界產(chǎn)生的虛假反射波。

圖4展示了在不同時刻t井中聲波在含有水平裂縫的地層中傳播的波場快照。虛線代表著井壁,聲源位于z=500 cm和r=0 cm處,寬度為2 mm的水平裂縫位于z=300 cm處。聲波沿著地層傳播到模型邊界后,聲波被充分吸收了,地層中沒有產(chǎn)生反射波,說明程序中加入的吸收邊界是有效的。在1 ms時刻,井中縱波傳播的距離最遠,但它的能量非常小;之后是橫波首波,它的能量比縱波大一些;傳播距離最近的是斯通利波,它的能量最高。在1.5 ms時刻,井中橫波首波和一部分斯通利波穿過裂縫,波的能量明顯減小了很多。在2 ms時刻,井中可以看見明顯的反射斯通利波和反射橫波首波。

圖5為模擬井中聲波在單條水平裂縫模型中傳播得到的波形。接收器的最小源距為1 m,接收器的間隔為0.2 m,水平裂縫位于源距上方2 m處。在裂縫上方的接收器記錄的波列中,橫波和斯通利波的幅度明顯減小了。穿過裂縫后,橫波幅度的驟降,說明了線性滑動裂縫對橫波具有很強的衰減作用。由于裂縫引起波的強反射,在裂縫下面的波列中出現(xiàn)了反射橫波首波和反射斯通利波。

圖4 在1、1.5和2 ms時刻的波場快照Fig.4 Acoustic wave field snapshots at 1, 1.5 and 2 ms respectively

圖5 井中聲波在單條水平裂縫模型中傳播的波形Fig.5 Waveforms of borehole acoustic waves propagating in a single horizontal fracture model

圖6展示了在裂縫上面不同源距的接收器所記錄的透射波波形。在有裂縫和無裂縫情況下,縱波的波形幾乎沒有發(fā)生變化,可見裂縫對縱波的影響很小。即使寬度很小的裂縫,也使橫波的幅度衰減了很多,這說明裂縫對橫波的衰減作用很強。對于流體薄層模型,物理實驗和基于有限元法的數(shù)值模擬也展現(xiàn)了裂縫會明顯降低橫波的幅度[6,9]。裂縫的存在使斯通利波的幅度也發(fā)生了明顯的衰減,隨著裂縫寬度的增加在同一源距斯通利波幅度的衰減程度增大。不同寬度裂縫對應的透射斯通利波的幅度非常接近,該現(xiàn)象說明在線性滑動模型中斯通利波幅度對裂縫寬度的變化不是很敏感?；诹黧w薄層模型的數(shù)值模擬表明隨著裂縫寬度的改變,透射斯通利波的幅度發(fā)生了明顯變化[8-9]。對于流體薄層模型,因為井中流體流入裂縫和裂縫散射,斯通利波發(fā)生衰減[22]。線性滑動模型忽略了流體流入裂縫的影響,因此它不能反映裂縫寬度與斯通利波衰減之間的關系。

圖6 不同源距的透射波波形Fig.6 Transmitted waveforms with different source distances

為了更清晰展示在不同寬度裂縫情況下,透射縱波和透射橫波幅度的變化,用時間窗截取圖6中的縱波首波和橫波首波。圖7和圖8分別為不同源距的透射縱波和透射橫波首波波形。在同一接收器下,將有裂縫與沒有裂縫情況下縱波首波幅度作對比:圖7(a)中前者稍微小一些;圖7(b)中前者稍微大一些;而圖7(c)和(d)中兩者幾乎一致。從這些現(xiàn)象可以看出:當接收器距離裂縫很近時,接收器記錄的波列除了滑行波以外,還有由狹窄的裂縫口引起的散射波;由于這兩種波重疊在一起,并且由于不同源距它們相位的差異不同,記錄到縱波首波的幅度可能會增加也可能會減小。圖7(a)中隨著增加模型的裂縫寬度,縱波首波的幅度衰減程度增加,說明了寬度較大的裂縫產(chǎn)生的散射波對透射縱波幅度的影響也更大。由圖8可以看出:隨著源距的增加,即隨著接收器到裂縫的距離增加,橫波首波幅度的衰減程度增大;同一源距不同寬度裂縫對應的橫波幅度變化很小;裂縫的存在使橫波的相位發(fā)生了變化。

圖7 不同源距的透射縱波首波波形Fig.7 Waveforms of transmitted compressional head wave with different source distances

圖8 不同源距的透射橫波首波波形Fig.8 Waveforms of transmitted shear head waves with different source distances

圖9為源距為1 m的接收器記錄的不同寬度裂縫情況下的反射波形。裂縫的寬度分別為0.1、0.5和5 mm。如圖9所示,這3種不同寬度的裂縫對應的反射波曲線幾乎重疊在一起,可見反射波的幅度對線性滑動模型的裂縫寬度的變化不敏感。

圖9 不同寬度裂縫的反射波形Fig.9 Reflected waveforms of fractures with different widths

3.2 有限延伸距離的裂縫

圖10 不同裂縫延伸距離情況下的透射波波形Fig.10 Waveforms of transmitted waves with different extended distances of fractures

地層中的自然裂縫從井眼軸向徑向延伸了有限距離,一些水壓力縫的延伸距離很短[23]。假設水平裂縫從井軸向徑向方向延伸有限的距離l,模擬井中聲波在有限長裂縫模型中傳播,研究裂縫長度對聲波波形的影響。圖10和圖11分別展示了不同裂縫延伸距離情況下的透射全波、透射橫波首波波形,接收器的源距為3 m。模型中裂縫的寬度均為1 mm,彈性地層的參數(shù)和圖6中的相同。在圖10中裂縫的延伸距離分別為0.3、0.4、0.6 m和無限長,在圖11中裂縫的延伸距離分別為0.3、0.4、0.5、0.6 m和無限長。發(fā)現(xiàn)透射縱波和透射斯通利波的波形受裂縫的延伸距離影響不明顯,而透射橫波的幅度和相位隨著裂縫延伸距離的改變而發(fā)生了明顯變化。當裂縫的延伸距離為0.3 m時,橫波的衰減也很小,透射橫波的幅度較大。隨著裂縫延伸距離增加,透射橫波首波的幅度減小、波峰右移。當裂縫的延伸距離為0.6 m時,透射橫波首波的波峰突然左移到無限長裂縫情況下的波峰附近,并且透射橫波首波的幅度也與無限長裂縫情況下的幅度相近。

圖11 不同裂縫延伸距離情況下透射橫波首波的波形Fig.11 Waveforms of transmitted shear head waves with different extended distances of fractures

3.3 多條裂縫模型

模擬井中聲波在多條裂縫模型中傳播,研究不同裂縫條數(shù)對聲波波形的影響。圖12為不同裂縫條數(shù)情況下的透射聲波波形,接收器的源距為3 m。模型中裂縫的條數(shù)分別為2、4和6,每條裂縫的寬度為1 mm。如圖12所示,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射縱波的波形變化不大,透射橫波和透射斯通利波的幅度減小,其中斯通利波幅度的衰減非常明顯。觀察橫波首波可以發(fā)現(xiàn),由于裂縫帶的寬度隨著裂縫條數(shù)的增加而增加,多條裂縫模型使透射橫波的相位發(fā)生了很大變化;不同裂縫條數(shù)對應的相位不同。

圖12 不同裂縫條數(shù)情況下的透射聲波波形Fig.12 Waveforms of transmitted acoustic wave with different fracture numbers

4 結 論

(1)裂縫對縱波的影響很小,距離裂縫較遠的縱波波形幾乎沒有改變;由于狹窄的裂縫對聲波的散射作用,靠近裂縫的透射縱波受到散射波的干擾,波的幅度發(fā)生了改變;裂縫的寬度越大,散射波對透射縱波幅度影響越大。

(2)橫波對裂縫非常敏感,裂縫不僅對橫波有很強的衰減和反射作用,而且使橫波的相位發(fā)生了改變;距離裂縫越遠,橫波的衰減程度越高;不同寬度裂縫對應的橫波幅度變化很小;當裂縫的延伸距離很短時,隨著裂縫延伸距離增加,透射橫波首波的幅度減小,波峰右移;對于多條裂縫,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射橫波的幅度減小,橫波的相位也發(fā)生了很大變化。

(3)裂縫也會引起斯通利波很強的衰減和反射;斯通利波對線性滑動理論所描述的裂縫寬度的變化不是很敏感,隨著裂縫寬度的增加,斯通利波幅度的衰減增加不明顯,因此在線性滑動模型中,不適合用斯通利波定量評價裂縫寬度;對于多條裂縫,隨著裂縫條數(shù)的增加,透射斯通利波的幅度明顯減小。