楊志強(qiáng),趙愛(ài)民

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引 言

因自然因素或人為因素引入的外來(lái)物種會(huì)跟隨本土物種建群、擴(kuò)散、不斷繁衍,很有可能對(duì)本地物種的生存和繁衍造成影響[1]。從生物學(xué)角度對(duì)其分析,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量研究,可為科學(xué)家對(duì)自然界復(fù)雜現(xiàn)象的研究提供依據(jù)[2]。近幾年,隨著外來(lái)物種數(shù)量的增加,人們開(kāi)始將多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)應(yīng)用于生態(tài)理論研究。將空間因素與種群之間的關(guān)系緊密結(jié)合,可對(duì)個(gè)體模擬元素進(jìn)行空間位置跟蹤,使得系統(tǒng)預(yù)測(cè)與地理位置聯(lián)系更密切[3]。目前,在反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題的研究上,已經(jīng)存在一些近似解法,如初始邊界法、匹配漸近校正法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析法等。利用上述方法討論反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題,效果較為普遍[4],但這些方法存在預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度差的問(wèn)題。

近些年,在自然現(xiàn)象中,系統(tǒng)漸進(jìn)波的傳播被廣泛發(fā)現(xiàn),如燃燒現(xiàn)象、化學(xué)反應(yīng)和生物種群等。漸進(jìn)波在空間中以某一常數(shù)速度傳播,更容易獲取屬性一致的解[5],而相對(duì)于多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),漸進(jìn)波是一種非常容易獲得且容易分析的波束,利用漸進(jìn)波的特殊性質(zhì)去構(gòu)造整體解,能夠解釋種群擴(kuò)散方面的一些問(wèn)題。因此,設(shè)計(jì)新的多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法,提高預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度,對(duì)研究多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)具有重要意義[6-7]。

1 漸進(jìn)波波速預(yù)估算法設(shè)計(jì)

多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)工作原理可表示為

(1)

式中:p為小擴(kuò)散系數(shù),q為小種群變化速率,這2個(gè)參數(shù)能夠表示多種群生存競(jìng)爭(zhēng)反應(yīng)擴(kuò)散正參數(shù);yi為i個(gè)種群數(shù);λi為i個(gè)種群增長(zhǎng)率與死亡率之差;rij為第i個(gè)種群和第j個(gè)種群間密度系數(shù);S為算子;Ω為有界區(qū)域;α為系統(tǒng)參數(shù)。式(1)可研究多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的漸近性態(tài)[8]。

在實(shí)際生存環(huán)境中,不同生物種群在不同生態(tài)系統(tǒng)中具有不同擴(kuò)散模式,而其中的擴(kuò)散表示種群從某一位置向其他位置移動(dòng)的行為。

1.1 漸進(jìn)波波速特性分析

將多種群生存空間看作是具有齊次性的,即在空間內(nèi)幾乎全局都具有齊次性,擴(kuò)散距離相對(duì)較小。參考Dirichlet 邊界下特征值可發(fā)現(xiàn),多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的擴(kuò)散特征值是存在的。如果擴(kuò)散特征值不存在,那么積分算子無(wú)法在空間周期區(qū)域上展現(xiàn)其主要特性[12-13]。因此,考慮利用非局部算子主譜理論研究多種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為,表達(dá)式為

ρ[f(b-a)]

(2)

式中:D為光滑界面;f(.)為多競(jìng)爭(zhēng)種群具有相同增長(zhǎng)率函數(shù);L為擴(kuò)散率。采用Dirichlet邊界條件來(lái)限制種群非局部擴(kuò)散。

根據(jù)多種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為描述空間齊次性,假設(shè)f(t)表示在一定空間內(nèi),存在全部周期大于0的數(shù)據(jù),可滿足種群擴(kuò)散速率單穩(wěn)假設(shè):

(3)

式中:q為種群擴(kuò)散時(shí)間周期。如果小種群擴(kuò)散速率為0,說(shuō)明多種群反應(yīng)擴(kuò)散速率不穩(wěn)定,則證實(shí)系統(tǒng)中至少存在2個(gè)0和時(shí)間周期解。因此,雖然多種群反應(yīng)擴(kuò)散速率不穩(wěn)定,但時(shí)間周期解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,通過(guò)該時(shí)間周期解可確定多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速大小[14-15]。當(dāng)非負(fù)連續(xù)初值ω0滿足supqω0>0時(shí),對(duì)應(yīng)初始波速應(yīng)滿足如下性質(zhì):

(4)

根據(jù)該性質(zhì),可證明周期擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)中的普通波是不需要主特征值存在的,但在證明漸進(jìn)波波速存在性問(wèn)題時(shí),必須存在主特征值。利用有限區(qū)域逼近無(wú)界區(qū)域,增加擾動(dòng)項(xiàng)目可證實(shí)系統(tǒng)存在時(shí)間周期解,也能夠說(shuō)明漸進(jìn)波波速是具有穩(wěn)定且唯一特性的[16]。

1.2 設(shè)計(jì)方案

在進(jìn)行多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估前,需先分析多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)工作原理,根據(jù)該原理確定漸進(jìn)波波速特性,得到多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)情況。面對(duì)多種群、競(jìng)爭(zhēng)行為不同的信息,需先做好預(yù)處理工作。同時(shí)對(duì)各種信息進(jìn)行統(tǒng)一處理,根據(jù)處理結(jié)果進(jìn)行波速預(yù)估[17-19]。

信息統(tǒng)一處理過(guò)程:首先,掃描不同時(shí)期種群分布圖像;其次,對(duì)圖像進(jìn)行矢量化處理,儲(chǔ)存矢量處理信息;再次,從矢量處理信息中挑選多種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)擴(kuò)散等屬性參數(shù);最后,將這些參數(shù)的信息形成待分析信息庫(kù)。

建立預(yù)估機(jī)制,依據(jù)信息統(tǒng)一處理結(jié)果,設(shè)計(jì)預(yù)估方案如下:

(1) 樣本分析過(guò)程。①分析不同種群擴(kuò)散影響參數(shù),根據(jù)參數(shù)對(duì)下一個(gè)預(yù)估時(shí)刻所產(chǎn)生的擴(kuò)散影響進(jìn)行分析;② 結(jié)合①過(guò)程分析信息庫(kù)中種群之間復(fù)雜關(guān)系,選擇自適應(yīng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu);③ 選取預(yù)估點(diǎn)的屬性信息,構(gòu)成推理機(jī)輸入向量,并建立樣本集合。選擇不同數(shù)據(jù)進(jìn)行組合,確定輸出結(jié)果誤差。

(2) 網(wǎng)絡(luò)擬合。激活自組織學(xué)習(xí)函數(shù),選擇最優(yōu)預(yù)估點(diǎn)的屬性信息進(jìn)行推理擬合。如果預(yù)估結(jié)果誤差小于設(shè)定閾值,則完成網(wǎng)絡(luò)擬合,否則,需返回到(1)重新開(kāi)始。

(3) 預(yù)估結(jié)果輸出。將待預(yù)估結(jié)果輸入到推理機(jī)之中,依據(jù)網(wǎng)絡(luò)擬合獲取推理結(jié)果,即多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估結(jié)果[20]。

根據(jù)上述內(nèi)容,漸進(jìn)波波速預(yù)估算法設(shè)計(jì)方案實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。依據(jù)該流程,可實(shí)現(xiàn)多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估。

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

傳統(tǒng)算法通常將記錄的數(shù)據(jù)作為樣本,預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間指定區(qū)域內(nèi)的多種群擴(kuò)散情況,并每隔相同的時(shí)間統(tǒng)計(jì)一次擴(kuò)散結(jié)果,預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度較低。將傳統(tǒng)預(yù)估算法與與本文方法在相同條件下進(jìn)行對(duì)比,以此驗(yàn)證本文所提的多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法的合理性。

2.1 數(shù)據(jù)收集

分別收集季節(jié)因素和天氣因素影響下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),具體收集情況如下所示。

圖 1 漸進(jìn)波波速預(yù)估算法設(shè)計(jì)方案實(shí)現(xiàn)流程

2.1.1 季節(jié)因素 為了收集季節(jié)因素影響下的漸進(jìn)波波速數(shù)據(jù),需從某種群擴(kuò)散數(shù)據(jù)庫(kù)中選取部分?jǐn)?shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,并對(duì)其進(jìn)行分析整理,由此獲取不同季節(jié)下漸進(jìn)波波速變化曲線,如圖2所示。

圖 2 不同季節(jié)下漸進(jìn)波一天波速變化曲線Fig.2 Variation curve of asymptotic wave velocity in different seasons

分析圖2可知:春季漸進(jìn)波波速在333～366 m/s范圍內(nèi)波動(dòng),當(dāng)時(shí)間為11 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最低為333 m/s,當(dāng)時(shí)間為6 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最高為366 m/s;夏季漸進(jìn)波波速在322～366 m/s范圍內(nèi)波動(dòng),當(dāng)時(shí)間為23 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最低為322 m/s,當(dāng)時(shí)間為17 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最高為366 m/s;秋季漸進(jìn)波波速在333～355 m/s范圍內(nèi)波動(dòng),當(dāng)時(shí)間為11 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最低為334 m/s,當(dāng)時(shí)間為6 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最高350m/s;冬季漸進(jìn)波波速在311～344 m/s范圍內(nèi)波動(dòng),當(dāng)時(shí)間為10 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最低為340 m/s,當(dāng)時(shí)間為6 h時(shí),漸進(jìn)波波速達(dá)到最高為350 m/s。

由于種群生存習(xí)慣決定了漸進(jìn)波波速變化規(guī)律,因此在春季,種群擴(kuò)散數(shù)量較多,尤其在反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)階段,大部分種群都會(huì)進(jìn)行擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)。

一天內(nèi)的漸進(jìn)波波速僅能代表小種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)情況,而對(duì)于大種群來(lái)說(shuō),則需選取這4個(gè)季節(jié)內(nèi)每個(gè)季節(jié)中隨機(jī)一周來(lái)檢驗(yàn)漸進(jìn)波波速變化規(guī)律,結(jié)果如表1所示。

表 1 隨機(jī)一周的漸進(jìn)波波速

由于大部分種群在天氣寒冷情況下活動(dòng)速度較慢,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)效果也不明顯,因此在秋冬季節(jié)漸進(jìn)波波速變化較小。而在春夏季節(jié),多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)效果較為明顯,因此在春夏季節(jié)漸進(jìn)波波速變化較大。

2.1.2 天氣因素 天氣因素也是導(dǎo)致多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速變化的主要因素之一,為了收集該因素影響下漸進(jìn)波波速數(shù)據(jù),同樣從某種群擴(kuò)散數(shù)據(jù)庫(kù)中選取部分?jǐn)?shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,并對(duì)其進(jìn)行分析整理,獲取不同天氣下漸進(jìn)波波速變化曲線,結(jié)果如圖3所示。

圖 3 不同天氣下漸進(jìn)波一年內(nèi)波速變化曲線

Fig.3 Evolution curve of asymptotic wave velocity per day in different weather

從圖3可知,不同月份下,受雨雪、大風(fēng)和大霧等天氣因素的影響,漸進(jìn)波波速出現(xiàn)不同程度的變化。2月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為132.7 m/s,大風(fēng)天氣下漸進(jìn)波波速為225 m/s,雨雪天氣下漸進(jìn)波波速為235 m/s;4月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為132.6 m/s,大風(fēng)天氣下漸進(jìn)波波速為227 m/s,雨天氣下漸進(jìn)波波速為190 m/s;6月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為132.6 m/s,大風(fēng)天氣下漸進(jìn)波波速為227 m/s,雨天氣下漸進(jìn)波波速為300 m/s;8月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為132.4 m/s,大風(fēng)天氣下漸進(jìn)波波速為228 m/s,雨雪天氣下漸進(jìn)波波速為280 m/s;10月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為133.5 m/s,大風(fēng)天氣漸進(jìn)波波速為228.5 m/s,雨雪天氣漸進(jìn)波波速為288 m/s;12月份,大霧天氣下漸進(jìn)波波速為132.3 m/s,大風(fēng)天氣下漸進(jìn)波波速為250 m/s,雨雪天氣下漸進(jìn)波波速為310 m/s。綜上,雪天氣對(duì)多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速的影響較大。

2.2 結(jié)果與分析

依據(jù)2.1中收集到的季節(jié)因素和天氣因素影響下的數(shù)據(jù),將傳統(tǒng)算法與本文所提的多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法進(jìn)行對(duì)比分析,結(jié)果如下所示。

2.2.1 季節(jié)因素變化條件下 以采集到的不同季節(jié)一天內(nèi)漸進(jìn)波波速和一周內(nèi)漸進(jìn)波波速變化數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),對(duì)比傳統(tǒng)算法與多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度,對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

圖 4 季節(jié)因素影響下2種算法預(yù)估精準(zhǔn)度對(duì)比分析

Fig.4 Comparison and analysis of prediction accuracy of two algorithms under seasonal factors

從圖4可知,當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為1 h時(shí),傳統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.55,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.9;當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為3 h時(shí),傳統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.52,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.87;當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為5 h時(shí),傳統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.5,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.89;當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為7 h時(shí),傳統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.47,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)算法預(yù)估精準(zhǔn)度為0.89。盡管運(yùn)行時(shí)間在不斷增加,但本文算法的預(yù)估精度始終高于傳統(tǒng)算法。

2.2.2 天氣因素變化條件下 以采集到的相同天氣下漸進(jìn)波波速變化數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),對(duì)比傳統(tǒng)算法與多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度,對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表 2 天氣因素影響下兩種算法預(yù)估精準(zhǔn)度對(duì)比

根據(jù)表2,可獲取2種算法預(yù)估精準(zhǔn)度誤差。在天氣為雨雪狀態(tài)下,運(yùn)行時(shí)間為2,4,6 h時(shí),多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)預(yù)估算法比傳統(tǒng)算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度依次高0.52,0.80,0.85;在天氣為大風(fēng)狀態(tài)下,運(yùn)行時(shí)間為4,6,8 h時(shí),多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)預(yù)估算法比傳統(tǒng)算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度依次高0.82，0.78，0.76;在天氣為大霧狀態(tài)下,運(yùn)行時(shí)間為4,6,8 h時(shí),多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)預(yù)估算法比傳統(tǒng)算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度依次高0.54,0.62,0.67。因此,本文所提的多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)預(yù)估算法比傳統(tǒng)算法預(yù)估結(jié)果精準(zhǔn)度較高。所以,多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法設(shè)計(jì)是具有合理性的,且具有較好地預(yù)估效果。

3 結(jié) 論

(1) 多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)具有漸進(jìn)波解,在實(shí)際環(huán)境中,漸進(jìn)波解可較好描述自然界中生物擾動(dòng)以有限速度傳播的現(xiàn)象。在理論應(yīng)用中,漸進(jìn)波解可解釋系統(tǒng)本身具有的性質(zhì),與此同時(shí),在漸進(jìn)波解研究過(guò)程中不斷產(chǎn)生新的思想,這對(duì)生物種群擴(kuò)散起到一定作用。因此,研究能夠反應(yīng)自然現(xiàn)象的多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速是必要的。

(2) 本文將空間因素、種群間相互作用過(guò)程緊密結(jié)合,對(duì)多種群反應(yīng)擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)漸進(jìn)波波速預(yù)估算法進(jìn)行設(shè)計(jì),并通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該算法具有較高的預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度。

(3) 雖然本文設(shè)計(jì)的漸進(jìn)波波速預(yù)估算法具有較高預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度,但預(yù)測(cè)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),且條件分類不足,因此,在今后研究進(jìn)程中,要更多的考慮環(huán)境條件,并對(duì)算法加以改進(jìn)優(yōu)化,使該算法能適用于更廣泛的領(lǐng)域。