陳鐵軍

（益陽醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校，湖南 益陽 413001）

0 引言

常微分方程在科學(xué)和工程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，隨著生產(chǎn)實(shí)踐快速發(fā)展，常微分方程逐漸演變成數(shù)學(xué)學(xué)科中聯(lián)系實(shí)際最為重要的分支。常微分方程最基本問題是確定一個(gè)方程是否存在既定解，針對(duì)既定解的研究可分成三部分，分別初值問題、邊值問題和特征值問題，很多偏微分方程既定解的問題不能使用解析形式進(jìn)行表達(dá)[1]。因此，為了構(gòu)造誤差階差分格式，利用參數(shù)樣條函數(shù)代替未知函數(shù)，通過不同配置條件，引進(jìn)迭代方法求解常微分方程邊值問題。采用傳統(tǒng)方法對(duì)邊值問題進(jìn)行研究，其計(jì)算結(jié)果都是不準(zhǔn)確的，不能較好適應(yīng)線性常微分方程，構(gòu)造差分格式計(jì)算量相對(duì)較大。鑒于此，提出了基于高精度差分法的線性常微分方程邊值問題研究[2]。利用差分法對(duì)微分方程邊值問題進(jìn)行研究時(shí)，其邊界條件處理方式直接影響著差分解的精準(zhǔn)度，針對(duì)處理過程中出現(xiàn)的差分解發(fā)散問題，使用邊界近似方法不僅保證了差分解的收斂，還可使研究結(jié)果具有較高精準(zhǔn)度。

1 線性常微分方程邊值問題研究

1.1 線性常微分方程的邊值問題

線性常微分方程是確定常微分方程是否存在既定解，通常給出一個(gè)常微分方程，當(dāng)需要滿足特定條件時(shí)，就會(huì)得到既定解[3]。針對(duì)線性常微分方程邊值問題的研究，根據(jù)求解條件設(shè)置的不同，對(duì)邊界問題相關(guān)導(dǎo)數(shù)在自變量上取值進(jìn)行限定，即為邊界條件。設(shè)線性常微分方程為：

最為常見的三種邊界條件為：

將公式（1）與第一種邊界條件組合在一起，構(gòu)成第一邊值問題；將公式（1）與第二種邊界條件組合在一起，構(gòu)成第二邊值問題；將公式（1）與第三種邊界條件組合在一起，構(gòu)成第三邊值問題[5]。

1.2 差分格式建立

高精度差分法是利用有限數(shù)量的離散點(diǎn)構(gòu)成網(wǎng)格代替形式，具有連續(xù)性定解區(qū)域[6]。在有限個(gè)離散點(diǎn)中，使用離散函數(shù)近似代替具有定解屬性區(qū)域內(nèi)的連續(xù)變量函數(shù)，根據(jù)函數(shù)計(jì)算結(jié)果構(gòu)成差分方程，該方程的邊界問題解在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上都被視為近似值，即為問題的數(shù)值解[7]。針對(duì)線性常微分方程邊值問題研究，提出了高精度差分法，其使用原理為：通過離散方法，將常微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為各個(gè)離散函數(shù)數(shù)值所構(gòu)成的線性方程，即為差分格式。一般情況下，要求線性方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)角矩陣，差分格式階段誤差是判定差分格式數(shù)值解精準(zhǔn)度標(biāo)識(shí)之一，也為差分格式相容性[8]。

1.3 邊界條件處理

公式（2）中，h表示階段誤差，相比于微分方程的誤差相對(duì)較低。

1.4 高精度差分法求解設(shè)計(jì)

高精度差分法是一種新興的隨機(jī)搜索算法，具有收斂速度快優(yōu)勢(shì)。由于需要求解的優(yōu)化問題并不是一個(gè)簡單變量問題，是由三種邊界條件共同組成的[10]。因此，利用高精度差分法直接利用目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，而具有變量屬性的作為各個(gè)個(gè)體分量，雖然近似函數(shù)是具有多項(xiàng)式的，但是由于線性常微分方程邊值問題比較麻煩，因此利用MAPLE符號(hào)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而提高整體求解效率[11]。

采用大正數(shù)K來將不同變量限制在[-K,K]以內(nèi)，方便求解的快速進(jìn)行，具體求解步驟如下所示：

1）數(shù)據(jù)初始化：初始化數(shù)據(jù)的規(guī)模，其中包括數(shù)據(jù)位置和速度。針對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)的研究都是在允許范圍內(nèi)進(jìn)行的，其隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)具有初始位置和速度[12]。設(shè)隨機(jī)產(chǎn)生的[-K,K]之間大正數(shù)為P，第n個(gè)數(shù)據(jù)的第z維初始位置為：

2）計(jì)算適應(yīng)度值：針對(duì)不同邊界條件，應(yīng)按照構(gòu)建的差分格式構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，由于不同邊界條件所對(duì)應(yīng)的函數(shù)2n-2是一個(gè)變量，并且為最小化問題，因此可直接將該變量代入函數(shù)值之中，即為適應(yīng)度值。

3）獲取最好邊界條件：針對(duì)每個(gè)邊界條件，將其適應(yīng)度值和經(jīng)歷過最好的最優(yōu)值進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)而選出目前最好邊界條件的最優(yōu)解。

4）差分算子：在搜索過程中，利用權(quán)重法對(duì)速度進(jìn)行控制。此時(shí)的速度計(jì)算公式為：

公式（5）中：i表示進(jìn)行第i次迭代；w表示最大迭代次數(shù)；d1,d2為隨機(jī)數(shù)；表示搜索到第i次時(shí)最優(yōu)位置；表示整體搜索到第i次時(shí)最優(yōu)位置。根據(jù)上述公式對(duì)位置進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，并進(jìn)化。

5）終止條件：設(shè)置最大迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大值時(shí)，可結(jié)束進(jìn)化。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)結(jié)果，可得到線性常微分方程邊值最優(yōu)解，由此實(shí)現(xiàn)基于高精度差分法的線性常微分方程邊值問題研究。

2 實(shí)驗(yàn)

針對(duì)基于高精度差分法線性常微分方程邊值問題研究，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證分析。

2.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)，對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析。采用傳統(tǒng)方法受到靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差影響，導(dǎo)致研究結(jié)果精準(zhǔn)度較低，而采用高精度差分法對(duì)線性常微分方程邊值問題進(jìn)行研究，具有收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，不會(huì)受到靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差影響，具有較高精準(zhǔn)度。針對(duì)這兩種方法在靜態(tài)誤差和動(dòng)態(tài)誤差條件下進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如下所示。

2.2.1 靜態(tài)誤差

靜態(tài)誤差是線性常微分方程邊值期望輸出值與實(shí)際輸出值的差值，如果靜態(tài)誤差較小，那么說明邊值問題研究結(jié)果精準(zhǔn)度就越高。以靜態(tài)誤差作為衡量方程邊值問題的標(biāo)準(zhǔn)，將傳統(tǒng)方法與高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如圖1所示。

圖1 兩種方法靜態(tài)誤差研究結(jié)果精準(zhǔn)度對(duì)比

根據(jù)圖1所示對(duì)比結(jié)果可知：當(dāng)計(jì)算時(shí)間為50s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為45%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為91%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為100s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為43%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為90%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為150s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為50%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為85%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為200s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為49%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為90%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為250s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為55%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為95%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為300s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為50%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為98%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為350s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為55%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度最高為90%。由此可知，在靜態(tài)誤差下，采用高精度差分法對(duì)線性常微分方程邊值問題研究結(jié)果精準(zhǔn)度比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度較高。

2.2.2 動(dòng)態(tài)誤差

動(dòng)態(tài)誤差是以研究線性常微分方程邊值的時(shí)間變量為函數(shù)，提供研究相對(duì)穩(wěn)定變化規(guī)律。如果動(dòng)態(tài)誤差較小，那么說明邊值問題研究結(jié)果精準(zhǔn)度就越高。以動(dòng)態(tài)誤差作為衡量方程邊值問題的標(biāo)準(zhǔn)，將傳統(tǒng)方法與高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如圖2所示。

圖2 兩種方法動(dòng)態(tài)誤差研究結(jié)果精準(zhǔn)度對(duì)比

根據(jù)圖2所示對(duì)比結(jié)果可知：當(dāng)計(jì)算時(shí)間為50s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為79%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為72%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為100s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為75%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為74%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為150s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為75%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為75%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為200s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為73%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為77%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為250s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為70%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為78%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為300s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為69%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為72%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為350s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為60%，而采用高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度為72%。由此可知，在動(dòng)態(tài)誤差下，采用高精度差分法對(duì)線性常微分方程邊值問題研究結(jié)果精準(zhǔn)度比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度較高。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，可得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

①靜態(tài)誤差分析結(jié)果：當(dāng)計(jì)算時(shí)間為50s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高46%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為100s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高47%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為150s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高35%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為200s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高41%；；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為250s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高40%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為300s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高48%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為350s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高35%。因此，在靜態(tài)誤差下，高精度差分法對(duì)線性常微分方程邊值問題研究效果較好。

②動(dòng)態(tài)誤差分析結(jié)果：當(dāng)計(jì)算時(shí)間為50s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法比高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高7%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為100s時(shí)，采用傳統(tǒng)方法比高精度差分法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高1%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為150s時(shí)，兩種方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度一致；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為200s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高4%；；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為250s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高8%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為300s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高3%；當(dāng)計(jì)算時(shí)間為350s時(shí)，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結(jié)果精準(zhǔn)度高12%。因此，在動(dòng)態(tài)誤差下，高精度差分法對(duì)線性常微分方程邊值問題研究效果較好。

綜上所述，采用高精度差分法線性常微分方程邊值問題研究是具有合理性的。

3 結(jié)束語

采用高精度差分法是求解線性常微分方程邊值問題最常用的方法之一，利用差分法研究邊值問題，提出了三種邊界條件，根據(jù)邊界條件對(duì)線性常微分方程進(jìn)行求解分析，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法獲取的研究結(jié)果具有較高精準(zhǔn)度。

利用高精度差分法進(jìn)行求解所得誤差比其他方法所獲得誤差較小，但是針對(duì)節(jié)點(diǎn)增加問題，還有待研究，因?yàn)樵谟?jì)算微分方程時(shí)，如果方程誤差不同，那么獲取的最終結(jié)果都是以最小誤差為標(biāo)準(zhǔn)，針對(duì)邊值計(jì)算出現(xiàn)的誤差，會(huì)影響整體計(jì)算結(jié)果，因此，對(duì)于線性常微分方程的穩(wěn)定性需進(jìn)一步研究，為今后其他方程計(jì)算提供支持。