曾 璽，凌 鶴

(武漢理工大學 機電工程學院，湖北 武漢 430070)

隨著機械裝備的高精密化，對組成高精密裝備的零件精度要求逐漸提高。金屬條材類零件的直線度要求也越來越高，因此國內外學者圍繞矯直加工方面展開研究[1]。針對矯直理論，Tsai等[2-3]建立懸臂梁的載荷-撓度模型，推導出不同載荷下的梁彎曲曲線；Elsharkway等[4]研究了T型鋼發(fā)生拉伸彎曲變形時的拉彎矯直模型；Kosel[5]分析多次純彎曲時的回彈曲率方程。在國內，翟華等[6]推導出了臺階軸和羅拉軸的矯直行程計算模型；李駿[7]等以矯直過程的3個階段為基礎，建立了軸類零件彎曲時的載荷-撓度模型，并推導出矯直行程計算方程；周磊[8]等以特定使用環(huán)境下的T型導軌為研究對象，推導出兩個方向維度上的矯直行程解析模型，解決了部分異形截面的矯直行程預測問題。在現有的矯直研究中，雖然矯直理論研究較為成熟，但僅僅重復應用單次矯直計算模型，沒有考慮多次矯直過程之間的關系，使得矯直精度無法得到保證，矯直效率低下。實際上單次矯直之間的殘余應力的遺傳和加載應力之間的疊加關系會對矯直結果產生影響[9-11]。筆者以自主研發(fā)的數控精密自動化矯直系統(tǒng)為對象，以單次矯直過程應力變化為依據，以直線圓導軌為研究對象，在彈塑性彎曲的理論基礎上，推導建立多次矯直行程預測迭代模型，并通過試驗對多次矯直行程預測模型進行驗證。

1 矯直方法及理論

選用三點反彎矯直法[12]作為壓力矯直方式。壓力矯直實際是一個彈塑性反彎的過程。

矯直時，選取最大彎曲處為加壓點，并將對稱的兩端作為固定端，使兩端簡支，假設條材中點處的初始彎曲量為δ0，對加壓點處施加相應的集中載荷，工件發(fā)生彈塑性變形產生反向彎曲，反彎量為δw；卸載后，條材部分發(fā)生塑性變形，剩余部分發(fā)生彈性回彈，若此時彈復量與反彎量相等，條材恰好被矯直，即單次矯直的理想狀態(tài)。若單次矯直未能達到理想狀態(tài)，需要多次矯直過程，此時殘余撓度在直線度范圍內則完成矯直，即δc=|δ0-δs|

2 矯直行程模型建立

2.1 單次矯直行程模型

圖1 彎曲應力應變圖

因此，截面上的彎矩為：

當σ=σtz/Ht，ξ=Ht/H，Mt=πR3σt/4，整理可得圓截面上的塑彎比為：

由于第一次矯直時，工件不存在殘余應力和應變，其應力分布如圖2所示。

圖2 應力分布圖

因此其截面上的矯直加載應力分布方程為：

(1)

式中：σ1為第一次矯直時的加載應力；σs為材料的屈服極限；ζ1為第一次矯直時的彈區(qū)比；λ為強化系數，λ=E′/E，E為彈性模量；E′為強化模量的平均值；C1為曲率比，C1=1/ζ1。

殘余應力是由于加載應力和卸載應力的差異引起的，因此殘余應力為：

σc=σ-σ′

(2)

(3)

式中：σc1為第一次矯直卸載后的殘余應力；σH1為第一次矯直的表層應力。

工件的表層發(fā)生塑性變形，導致其表層應力發(fā)生改變，表層和內部的殘余應力方向不同，如圖2(b)所示。

在單次矯直中，彈塑性變形階段中的矯直行程計算過程為：

又因為F=6EI(S-δ)/L3，代入上式可得

(4)

式中：I為截面慣性矩；L為導軌長度；m為塑彎比。

2.2 二次矯直

在反復矯直的過程中，下壓量是逐漸減小的，因此每次矯直過程中所形成的塑性區(qū)域都小于上一次，直到塑性區(qū)不存在，即彈區(qū)比為1，因此彈區(qū)比ζ2>ζ1。

根據應力疊加原理，第二次矯直時的加載應力σp2按線性規(guī)律變化，σp2=zC2σs，那么，第二次的實際彎曲應力為σ2=σc1+σp2。

若矯直后，第二次加載應力方向與第一次相反，此時，截面上應力分布函數為：

(5)

在彈塑性分界處，根據函數連續(xù)性，當z=ζ2時，圓截面上的應力關系應滿足：

σH1z+ζ2C2σs

(6)

式中：ρΣ為總彎曲曲率；ρt為極限彈性曲率，ρΣ2為二次矯直時的總彎曲曲率。

工況彎曲示意圖如圖3所示，根據圖3可知，圓導軌在發(fā)生彎曲變形后，其橫截面仍然保持為平面，且與變形后的軸線垂直[14]，可以得到曲率和撓度之間的關系式：

(ρ-R)2=L2+(ρ-R-δ)2

(7)

彎曲變形中工件回彈撓度與彎矩的關系為：

δf=ML2/3EI

(8)

圖3 工件彎曲示意圖

在矯直中，總撓度變化量為初始撓度δ0與反彎撓度δw之和，其中包括正反向變化，而反彎撓度等于回彈撓度，總撓度變化量即為矯直行程。將前面計算所得關系式代入可得二次矯直的行程S2為：

(9)

2.3 多次矯直

根據上述計算兩次矯直的過程，進行多次矯直迭代計算。

假設第i-1次矯直后，截面上的殘余應力為σc(i-1)，那么第i次矯直時的加載應力為σpi，那么截面上的實際彎曲應力為：

σi=σc(i-1)+σpi

(10)

其中，σpi=zCiσs。

由單次矯直和二次矯直的公式可知，在多次矯直中，分段函數里，第一段和最后一段只與彈區(qū)比有關，其余段和前一次矯直中的首項符號有關，也是前期矯直所產生影響的疊加。且在分段函數中可以觀察出，以中性層為分界面，除了第一段和最后一段，其余部分均是對稱分布，即上下層為相反關系。因此，可推導出通項公式。

因此，當矯直次數i≥2時，截面上的應力分布函數為：

則殘余應力的表達式為:

(11)

根據前面單次矯直和二次矯直的過程，可得在多次矯直中的矯直行程迭代模型為：

(12)

式(12)為隱式推導公式，其精確度由前期實際迭代情況而定，并不斷由迭代過程進行修正。

3 仿真與試驗

3.1 理論計算

根據矯直行程預測模型，并代入材料的各項具體數據，利用MATLAB進行理論計算，針對不同的初始撓度計算出結果，得到不同跨矩下的撓度-矯直行程分布圖，如圖4～圖6所示。

圖4 跨距350 mm撓度-矯直行程分布圖

圖5 跨距500 mm撓度-矯直行程分布圖

圖6 跨距600 mm撓度-矯直行程分布圖

3.2 仿真結果

采用有限單元法[15]，結合彈塑性有限元分析，通過創(chuàng)建有限元模型，設置好模型的各項參數，針對不同撓度的導軌，依據矯直預測模型計算出矯直行程，利用Ansys Workbench對導軌進行模擬加載，并進行各項數據的求解。

設定工件直徑為16 mm，彈性階段選用Isotropic Elasticity模型，塑性階段選擇BKIN模型。選用swept方式對工件進行網格劃分，約束其兩端面的自由度，釋放繞Z軸的轉動和右端面的移動。選用點載荷的方式對導軌進行加載。整個矯直過程分為加載和卸載兩個部分，在不同初始撓度的條件下，設定相應的加載參數，加載完成后隨即卸載，得到不同跨矩下的撓度矯直行程分布圖，如圖7～圖9所示。應力變化情況如圖10所示。

圖7 跨距350 mm撓度-矯直行程分布圖

圖8 跨距500 mm撓度-矯直行程分布圖

圖9 跨距600 mm撓度-矯直行程分布圖

圖10 應力變化圖

由圖10可知，隨著矯直過程的時間增加，工件撓度減小，殘余應力也逐漸減小。

3.3 試驗過程

矯直試驗采用三點反彎矯直的方法進行，利用自主研發(fā)的精密數控矯直機進行在線矯直試驗，采用搭載于矯直機的位移傳感器進行在線測量加載點的撓度值。

選用直徑為16 mm，長度為350、500、600 mm的圓導軌各1根，材料為45號鋼，分為3個實驗組。具體參數如表1所示。

表1 直線導軌參數表

將圓導軌分別標號為1、2、3，按順序依次對3組導軌進行初始撓度的測量，并代入到多次矯直行程模型中，計算出相應的矯直行程，待到應力釋放后測量導軌的殘余撓度；再根據殘余撓度繼續(xù)進行迭代計算，再次得出矯直行程，在直線導軌上完成相應矯直步驟；重復上述過程，直至殘余撓度控制在直線度要求之內。

3.4 試驗結果分析

經過3組試驗，得到試驗結果，如表2所示。

表2 試驗數據

試驗中，矯直樣件采用相同材料的直線導軌，針對多次矯直行程模型進行矯直試驗。對3組對比組試驗結果進行分析可知，在多次矯直過程中殘余撓度值趨于收斂，即直線度誤差逐漸減小，說明了行程預測模型的正確性；在同樣長度和截面參數相同的情況下，影響矯直次數和矯直效果的主要因素是矯直對象的初始撓度。

4 結論

針對直線圓導軌的多次矯直行程預測模型，分析了直線圓導軌在多次彈塑性變形過程中，圓截面上應力變化及撓度變化的規(guī)律，推導出多次彎曲矯直時圓導軌撓度與矯直行程的迭代關系式，并進行了有限元分析。以材料為45號鋼的直線圓導軌為試驗對象，進行模型的理論驗證和試驗驗證，得出以下結論：

(1)直線圓導軌在經歷多次彎曲矯直的過程中，其圓截面上存在疊加的加載應力與殘余應力。將上一次彎曲矯直后所產生的殘余應力作為預應力，得出多次矯直過程的行程預測公式；

(2)通過試驗驗證可知，利用所推導出的行程預測模型，將直線圓導軌進行多次矯直后，得到了較好的矯直結果，更接近導軌的直線度要求，相較于單次矯直結果，證明了多次矯直行程預測模型的正確性。