【摘要】本文以抽象代數(shù)課程教學(xué)中群的概念的引入為案例，闡述了通過創(chuàng)設(shè)情境和問題為導(dǎo)向的教學(xué)，由一些具體的例子和一個(gè)有趣的游戲活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考，幫助學(xué)生更好地理解這一概念。

【關(guān)鍵詞】抽象代數(shù) ?群 ?探究式教學(xué)

【基金項(xiàng)目】重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJQN201800509），重慶師范大學(xué)基金項(xiàng)目（18XLB001）。

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0119-01

“抽象代數(shù)是一門研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的課程，內(nèi)容非常形式化。這種形式化和公理化的訓(xùn)練是必要的，但這不是最本質(zhì)的。學(xué)生心目中沒有大量的例子，只有關(guān)于群環(huán)域的抽象定義、概念和推理，不能真正理解和鑒賞書上的定理和結(jié)論”[1]。在本文，我們以抽象代數(shù)課程教學(xué)中群的概念的引入為例，說明怎樣通過通過創(chuàng)設(shè)情境，由一個(gè)具體、生動(dòng)的例子，引導(dǎo)學(xué)生探究，幫助學(xué)生更好地理解這一概念。

著名教育學(xué)家杜威最早提出了探究式教學(xué)的概念。探究式教學(xué)，又稱為探索發(fā)現(xiàn)、問題解決式教學(xué)，要求在學(xué)生學(xué)習(xí)概念和原理時(shí)，教師給他們提供一些實(shí)例和問題，讓學(xué)生自己通過觀察、實(shí)驗(yàn)、思考和討論等途徑去獨(dú)立探究，自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)原理和結(jié)論[2]。抽象代數(shù)課程的教學(xué)，不僅僅是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)一些概念和結(jié)論，更重要的是要學(xué)習(xí)思考問題的過程或方法.通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，呈現(xiàn)給學(xué)生有趣的數(shù)學(xué)問題，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、好奇心和求知欲。

眾所周知，三次、四次多項(xiàng)式方程有求解公式。1824-1826年間，阿貝爾證明了高于四次的多項(xiàng)式方程一般不能用根式求解。1832年伽羅瓦對(duì)這個(gè)問題給出更確切的解答，他引入了置換群、正規(guī)子群、群同構(gòu)、數(shù)域的擴(kuò)域等概念。此后，李、克萊因、龐加萊等在微分方程、幾何學(xué)、自守函數(shù)的研究中，都用到了群的概念。從有限置換群的產(chǎn)生到抽象群定義的形成，這一發(fā)展過程是最終引向建立抽象代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要來源。

群的概念，是學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象代數(shù)課程中遇到的第一個(gè)重要概念。群是具有一個(gè)運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。設(shè)G是一個(gè)非空集合。在G上有一個(gè)二元運(yùn)算“·”，使G中任意兩個(gè)元素a、b依照次序聯(lián)結(jié)起來的結(jié)果a·b仍是G中完全確定的元素，并滿足下列三個(gè)條件，即所謂群的公理，則稱G對(duì)于運(yùn)算“·”成為群（[3，4]）：

（1）結(jié)合律：若a、b、c是G中任意三個(gè)元素，則（a·b）·c=a·（b·c）。

（2）存在單位元：在G中有一個(gè)元素e，使得對(duì)G中任意元素a都有e·a=a·e=a。稱e為G的單位元，有時(shí)用1表示單位元。

（3）存在逆元：對(duì)G中任意元素a，都有G中一個(gè)元素b使得a·b=b·a=e。稱b為a的逆元，常用a-1表示。

通常稱G上的二元運(yùn)算·為乘法，稱a·b為a與b的積，并簡寫為ab。若群G對(duì)乘法還適合交換律，即對(duì)G中任意兩個(gè)元素a、b都有ab=ba，則G稱為交換群（或阿貝爾群）。此時(shí)常將運(yùn)算“·”改為“+”，并相應(yīng)地改稱乘法、積、單位元e、逆元a-1為加法、和、零元0、負(fù)元-a。

與多項(xiàng)式、線性方程組等高等代數(shù)課程中的內(nèi)容相比，群的概念更加抽象。為了幫助學(xué)生更好地理解這一概念，我們采取的策略是通過一些具體的、形象的例子，將這個(gè)概念與已有的知識(shí)聯(lián)系起來;通過一個(gè)游戲引導(dǎo)學(xué)生思考群與變換。

（一）通過一些熟知的例子認(rèn)識(shí)群，例如：（1）全體整數(shù)的集合對(duì)于數(shù)的通常的加法“+”是一個(gè)群，而且是交換群，此時(shí)單位元就是數(shù)0，而a的逆元就是-a。全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)、全體復(fù)數(shù)、對(duì)于加法也都是交換群。全體偶數(shù)、全體形如a+bi的數(shù)（a、b為任意整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)）對(duì)于加法也都是交換群。（2）全體非零的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，對(duì)于通常的乘法都是交換群。全體正有理數(shù)、正實(shí)數(shù)對(duì)乘法也都是交換群。（3）全體非零整數(shù)的集合對(duì)乘法不是群。通過上述例子，讓學(xué)生意識(shí)到，從我們學(xué)習(xí)整數(shù)的加法開始就已經(jīng)在用“群”這一抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，也讓學(xué)生思考，所有n階實(shí)矩陣關(guān)于加法、乘法是否構(gòu)成群。

（二）通過一個(gè)數(shù)學(xué)小游戲，引導(dǎo)學(xué)生思考群與變化。

游戲一：我們將一張正方形的紙沿兩邊的中線四等分剪開，分別將四個(gè)小正方形標(biāo)注上字母1、2、3、4。將四個(gè)小正方形任意擺放組成大正方形，如下圖所示：

從左上角開始沿順時(shí)針方向，分別將小正方形的位置標(biāo)記為1、2、3、4。在下面的數(shù)表中，第一行的數(shù)字表示小正方形的位置。我們可以將這一過程記為：

1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 2 ? 3 ? 4？圯1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3.

讓學(xué)生寫出拼成大正方形的所有的可能（共有4！=24種），并定義任意兩種拼法的運(yùn)算（乘法）為它們的合成，例如：

1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3·1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 3 ? 2 ? 1=1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 4 ? 1 ? 2.

可以驗(yàn)證它們作成群。

游戲二：如上將一個(gè)大正方形沿中線折出四個(gè)小正方形，按順時(shí)針方向分別標(biāo)注上1、2、3、4，但是不要剪開。旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)正方形，從左上角開始按順時(shí)針方向可以讀出不同的數(shù)字排列，如將正方形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 3 ? 4 ? 1，這樣不改變正方形形狀的變化共有八種，分別為1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 2 ? 3 ? 4，1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 1 ? 2 ? 3，1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 1 ? 4 ? 3，1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 4 ? 1 ? 2，1 ? 2 ? 3 ? 42 ? 3 ? 4 ? 1，1 ? 2 ? 3 ? 43 ? 2 ? 1 ? 4，1 ? 2 ? 3 ? 41 ? 4 ? 3 ? 2，1 ? 2 ? 3 ? 44 ? 3 ? 2 ? 1可以驗(yàn)證它們關(guān)于上述運(yùn)算也構(gòu)成群。事實(shí)上，游戲一得到的是一個(gè)對(duì)稱群，游戲二得到的是二面體群。

對(duì)于抽象代數(shù)課程如何進(jìn)行教學(xué)，才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生更好的掌握知識(shí)體系和基本方法，促進(jìn)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維能力的發(fā)展是每一位抽象代數(shù)課老師應(yīng)該思考的問題。從我們的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一些有趣的或簡單的問題可以引起學(xué)生很大的學(xué)習(xí)興趣，能更好的激發(fā)學(xué)生的思考，幫助他們形成數(shù)學(xué)概念，提高抽象思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮克勤.高校代數(shù)教學(xué)的一些實(shí)踐與思考[J].高等數(shù)學(xué)研究， 2006（4）：4-7.

[2]荷烈治，哈爾德，卡拉漢等.教學(xué)策略：有效教學(xué)指南[M].牛志奎譯.北京：中國人民大學(xué)出版社， 2011.

[3]M. Artin.代數(shù)（英文版第2版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2012.

[4]姚慕生.抽象代數(shù)學(xué)（第二版）[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， 1998.

作者簡介：

任偉（1983-）， 男，甘肅文縣人，博士，副教授，主要從事代數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究。