周萱影，王正明，李 冬，王炯琦

(1. 國防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長沙 410073； 2. 國防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院， 湖南 長沙 410073；3. 中國人民解放軍91550部隊(duì)， 遼寧 大連 116023)

在遠(yuǎn)程導(dǎo)彈進(jìn)行精確打擊時，慣性器件誤差是影響導(dǎo)彈打擊精度的重要因素之一。在飛行器精度鑒定過程中，由于經(jīng)濟(jì)成本限制，只能進(jìn)行少量特殊彈道的飛行試驗(yàn)，并利用遙測與外測數(shù)據(jù)，分離出特殊彈道的制導(dǎo)系統(tǒng)誤差，將其造成的落點(diǎn)偏差折算到最大射程彈道上，進(jìn)而獲得全程彈道的命中精度[1]。實(shí)際上，對于導(dǎo)彈的落點(diǎn)偏差，制導(dǎo)系統(tǒng)誤差引起的落點(diǎn)偏差是總落點(diǎn)偏差的主要因素之一[2]。

對于陸基導(dǎo)彈來說，制導(dǎo)系統(tǒng)誤差主要為制導(dǎo)工具誤差。然而，對于發(fā)射平臺是?；膽T性導(dǎo)彈來說，除了與陸基導(dǎo)彈共有的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差之外，潛射導(dǎo)彈的系統(tǒng)誤差還包括由移動發(fā)射原點(diǎn)造成的原點(diǎn)定位、定向、定速以及平臺調(diào)平等初始誤差[3]，因此，?；鶎?dǎo)彈的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離問題要比陸基導(dǎo)彈復(fù)雜。提高制導(dǎo)系統(tǒng)誤差分離精度的關(guān)鍵是針對各項(xiàng)誤差源的物理特性，建立誤差模型，設(shè)計合理的參數(shù)估計策略以及合適的參數(shù)估計方法。

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差估計方法的基礎(chǔ)是對速度域上的線性回歸模型[4]進(jìn)行整體估計，主要方法有最小二乘估計方法、Bayes估計方法、主成分估計方法(Principal Component Analysis，PCA)[5-6]、正則化分析方法[7]等；此外，文獻(xiàn)[8]給出了基于動力系統(tǒng)求解的制導(dǎo)誤差分離方法。以上研究均是基于陸基情況下的誤差估計方法，文獻(xiàn)[9]建立了關(guān)于海基導(dǎo)彈初始誤差分離的線性模型，將初始誤差與工具誤差進(jìn)行了線性分離。由于?；鶎?dǎo)彈存在的初始誤差與制導(dǎo)工具誤差相互耦合，使得誤差模型具有較大的病態(tài)性。

為了對比分析?；鶓T性導(dǎo)彈背景下不同制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略的差異，本文從線性模型下陸基制導(dǎo)工具誤差分離方法入手，針對?；茖?dǎo)工具誤差的主要誤差源[3]，分析了Bayes估計、主成分估計以及正則化分析的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了適合于?；茖?dǎo)工具誤差分離的整體、分段以及迭代等分離策略。

1 線性分離模型及參數(shù)估計方法

傳統(tǒng)的制導(dǎo)工具誤差分離線性模型為[4-8]：

(1)

實(shí)際應(yīng)用中，由于待分離的誤差系數(shù)C較多，環(huán)境函數(shù)矩陣Sm×n的復(fù)共線性，傳統(tǒng)最小二乘估計性能較差，通常采用相應(yīng)的改進(jìn)誤差分離方法，包括結(jié)合待分離誤差系數(shù)先驗(yàn)信息的Bayes估計[10-11]、主成分優(yōu)選的主成分估計[5,12-13]，以及結(jié)合誤差分離系數(shù)稀疏約束的正則化估計[7]。

表1 幾種估計方法比較

2 ?；茖?dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略

?；鶎?dǎo)彈的制導(dǎo)誤差包括制導(dǎo)工具誤差、由移動發(fā)射原點(diǎn)引起的初始狀態(tài)誤差。?；鶓T性制導(dǎo)導(dǎo)彈的初始誤差實(shí)際上和工具誤差一樣，與總體系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系是線性的[9]，因此可以將總體系統(tǒng)誤差分成初始誤差與工具誤差兩類進(jìn)行分離，這樣可以降低由初始誤差與工具誤差之間的耦合性引起的模型病態(tài)性，從而提高誤差分離精度。

本文根據(jù)導(dǎo)彈初始誤差與工具誤差的不同性質(zhì)，提出了整體估計、分段估計以及迭代估計的三種誤差估計策略。

將式(1)改寫成如下形式：

ΔW=ΔWinitial+ΔWtool=S0C0+S1C1+ε

(2)

其中：ΔWinitial,ΔWtool∈Rm×1分別為?；鶎?dǎo)彈特有的初始誤差部分以及與陸基相同的制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差部分；C0∈Rn0×1,C1∈Rn1×1為待估計的初始誤差系數(shù)和工具誤差系數(shù)；n0,n1為待估計的初始誤差項(xiàng)數(shù)和工具誤差項(xiàng)數(shù)；S0∈Rm×n0為初始誤差的環(huán)境函數(shù)矩陣，S1∈Rm×n1為工具誤差的環(huán)境函數(shù)矩陣。

2.1 整體估計策略

實(shí)際上，由于制導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型較大，且部分誤差項(xiàng)之間的耦合關(guān)系嚴(yán)重，在3.1節(jié)的仿真部分，其環(huán)境函數(shù)矩陣S的條件數(shù)高達(dá)1035，最小特征值為10-18。而由

(3)

以及參數(shù)估計的相關(guān)理論[14-15]可知，小特征值會引起矩陣的病態(tài)性。當(dāng)矩陣病態(tài)性很強(qiáng)時，參數(shù)估計的結(jié)果會缺少數(shù)值穩(wěn)定性，即輸入數(shù)據(jù)中極小的擾動也會引起輸出結(jié)果很大的變動。因此，除了對參數(shù)估計方法的改進(jìn)以外，還應(yīng)設(shè)法降低環(huán)境函數(shù)矩陣的病態(tài)性。

本文提出通過減少環(huán)境函數(shù)矩陣S維度的方法來減弱模型的病態(tài)性。由此，針對工具誤差以及初始誤差的特性，提出了以下兩種估計策略：分段估計策略以及迭代估計策略。

2.2 分段估計策略

針對?；茖?dǎo)系統(tǒng)誤差含有初始誤差的特性，以及初始誤差與工具誤差之間耦合性而引起的病態(tài)性，分段估計策略給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：初始段測量數(shù)據(jù)ΔW0=ΔWm0×1?ΔWm×1中只含有初始誤差ΔWinitial，即ΔW0=ΔWinitial，且后段中初始誤差的值始終保持不變。

在此假設(shè)下，首先將系統(tǒng)誤差ΔW根據(jù)時間分成前段系統(tǒng)誤差ΔW0∈Rm0×1和后段系統(tǒng)誤差ΔW1∈R(m-m0)×1，其中數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)m0通常根據(jù)實(shí)際背景選取，并根據(jù)相應(yīng)誤差系數(shù)的環(huán)境函數(shù)矩陣S0、S1，分別對C0、C1進(jìn)行估計。

具體的步驟如下：

Step1：設(shè)置初始段與后段數(shù)據(jù)分界點(diǎn)m0；

分段估計策略的合理性在于?；鶎?dǎo)彈發(fā)射初期，由發(fā)射原點(diǎn)造成的初始誤差比重相對制導(dǎo)工具誤差較大，故可以忽略初段數(shù)據(jù)中的制導(dǎo)工具誤差，先對初始誤差進(jìn)行分離；再將后段測量數(shù)據(jù)中的初始誤差扣除后，得到剩余的制導(dǎo)工具誤差；此時，再對工具誤差進(jìn)行估計則能得到更準(zhǔn)確的誤差分離結(jié)果。

2.3 迭代估計策略

分段估計結(jié)果的合理性是建立在假設(shè)1的前提下。但實(shí)際上，在海基導(dǎo)彈的發(fā)射初期存在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差，且移動發(fā)射原點(diǎn)造成的初始誤差并非常值，而是隨時間變化的。因此，迭代估計策略在分段估計的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，通過對測量數(shù)據(jù)中的初始誤差與工具誤差進(jìn)行迭代分離，以此得到收斂后準(zhǔn)確的誤差系數(shù)估計。

具體步驟如下：

Step1：設(shè)置迭代終止條件δ，以及最大迭代次數(shù)N；

3 仿真算例

制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差估計的線性分離方法是在假設(shè)2的前提下，在模型(2)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

3.1 仿真條件

基于對算例中的環(huán)境函數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，在初始誤差中，與過載無關(guān)的三個方向初始平臺角偏差Φ0x、Φ0y、Φ0z與經(jīng)度λ0、緯度B0、高程h0具有很強(qiáng)的耦合性，因此本文主要對21項(xiàng)工具誤差系數(shù)以及包括三個方向的初始速度v0x、v0y、v0z和經(jīng)度λ0、緯度B0、高程h0在內(nèi)的6項(xiàng)?；跏颊`差系數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)建模與仿真估計。

3.2 仿真結(jié)果

本小節(jié)中給出了27項(xiàng)制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差系數(shù)在不同策略下的Bayes估計、主成分分析、正則化分析三種方法的估計結(jié)果，并給出了方差3σ準(zhǔn)則以及彈道差3σ準(zhǔn)則兩種評價標(biāo)準(zhǔn)下的具體估計結(jié)果，這兩種評價標(biāo)準(zhǔn)即是從待估參數(shù)C層面以及待估信號SC層面對誤差分離方法以及誤差分離策略進(jìn)行分析與評定，具體結(jié)果如下。

3.2.1 方差3σ準(zhǔn)則

具體地，表2～4分別給出了整體估計策略、分段估計策略以及迭代估計策略下三種估計方法的全部27項(xiàng)方差結(jié)果，其中，加粗項(xiàng)為3σ標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的對應(yīng)項(xiàng)，第1～21項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差系數(shù)，第22～27項(xiàng)為初始誤差項(xiàng)。

從表2中可以看出，對于整體估計策略，Bayes估計方法共分離出11項(xiàng)誤差，其中5項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，其余6項(xiàng)初始誤差均可估計；而PCA方法共分離出4項(xiàng)系統(tǒng)誤差，全部為初始誤差，正則化方法共分離出6項(xiàng)誤差，其中1項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，其余5項(xiàng)為初始誤差。

從表3中可以看出，對于分段估計策略，Bayes估計方法共可分離27項(xiàng)系統(tǒng)誤差中的26項(xiàng)，其中20項(xiàng)為制導(dǎo)工具誤差，6項(xiàng)初始誤差均可估計；而PCA方法以及正則化方法分別分離出8項(xiàng)系統(tǒng)誤差，且全部方法均能分離出6項(xiàng)初始誤差。

從表4中可以看出，對于迭代估計策略，Bayes估計方法可分離出全部27項(xiàng)誤差，而PCA方法以及正則化估計方法在分段估計策略的誤差分離結(jié)果基礎(chǔ)上，又分離出了第1項(xiàng)以及第9項(xiàng)制導(dǎo)工具誤差。

3.2.2 彈道差3σ準(zhǔn)則

表2 整體估計策略下三種方法的方差結(jié)果

實(shí)際上，在本次仿真背景中，彈道X方向的彈道誤差對于落點(diǎn)偏差來說是最主要的影響因素。因此，在彈道差標(biāo)準(zhǔn)下，本文分別給出了三種估計策略下X方向彈道差。

表3 分段估計策略下三種方法的方差結(jié)果

為了準(zhǔn)確地對三種估計策略的誤差分離效果進(jìn)行評價，圖1～3首先給出了三種方法下的彈道差，其中Bayes、PCA和R分別表示Bayes估計、主成分分析方法以及正則化方法。由圖2、圖3可以看出，在整體估計策略下，三種方法的彈道差

表4 迭代估計策略下三種方法的方差結(jié)果

相差不大，均在30 s左右以后才滿足3σ標(biāo)準(zhǔn)。而在采用分段策略以及迭代策略時，主成分分析與正則化估計方法的彈道誤差均有了明顯的降低，且由于這兩種方法之間的精度差別極小(僅10-7～106m/s)，因此兩者的彈道差曲線在圖示區(qū)域內(nèi)幾乎重疊。

圖1 整體估計下的X方向彈道差Fig.1 Difference value of trajectory of the total strategy at X direction

圖2 分段估計下的X方向彈道差Fig.2 Difference value of trajectory of the piecewise strategy at X direction

圖3 迭代估計下的X方向彈道差Fig.3 Difference value of trajectory of the iteration strategy at X direction

為了更好地觀察并分析仿真結(jié)果，圖4～6單獨(dú)給出了正則化方法下的三種參數(shù)估計策略彈道誤差結(jié)果。可以看到，分段估計策略及迭代估計策略的彈道誤差始終在3σ范圍之內(nèi)，并且迭代估計策略得到的彈道誤差結(jié)果比分段估計策略得到的結(jié)果也有進(jìn)一步的改善。

圖4 整體估計下正則化估計的X方向彈道差Fig.4 Difference value of trajectory of the total strategy at X direction

圖5 分段估計下正則化估計的X方向彈道差Fig.5 Difference value of trajectory of the piecewise strategy at X direction

圖6 迭代估計下正則化估計的X方向彈道差Fig.6 Difference value of trajectory of the iteration strategy at X direction

3.3 結(jié)果分析

通過以上仿真計算的結(jié)果，得到如下結(jié)論。

3.3.1 估計方法評定

1)通過方差3σ準(zhǔn)則的評價結(jié)果，可以看到在三種估計方法中，Bayes估計方法分離出的制導(dǎo)系統(tǒng)誤差系數(shù)是最多的。這說明，在先驗(yàn)信息準(zhǔn)確的情況下，Bayes方法具有最優(yōu)的參數(shù)估計結(jié)果；

2)主成分分析與正則化方法所分離出的誤差系數(shù)結(jié)果差異不明顯，造成這一現(xiàn)象的原因是由于這兩種方法的基本思想原理是一致的，均為廣義嶺估計；

4)雖然在彈道誤差標(biāo)準(zhǔn)下，Bayes方法結(jié)果較差，但由于迭代估計策略逐步將工具誤差與初始誤差分離出來，使得迭代策略下Bayes估計結(jié)果比分段策略下的結(jié)果有了顯著的提高，這也說明了迭代策略在改善模型病態(tài)性上有較強(qiáng)的效果。

3.3.2 估計策略評定

1)通過方差3σ準(zhǔn)則，從表2～4可以看出，整體估計策略下，Bayes方法僅能估計出11項(xiàng)，而分段估計策略下，Bayes方法能估計出27項(xiàng)中的26項(xiàng)，且迭代估計策略下，Bayes估計方法能估計出全部27項(xiàng)誤差系數(shù)，這說明通過減少環(huán)境函數(shù)矩陣間的相關(guān)性，逐步分離出工具誤差與初始誤差，能較大程度上提高估計結(jié)果的精度；

2)從主成分分析方法以及正則化估計方法來看，利用分段估計策略得到的誤差分離項(xiàng)數(shù)結(jié)果相比傳統(tǒng)的整體估計策略，也有顯著的增加，且迭代估計策略也在一定程度上優(yōu)于分段估計；

3)從三種估計策略的彈道殘差圖來看，迭代估計策略與分段估計策略在彈道差上均減小了一個量級，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的整體估計策略；無論在彈道差3σ標(biāo)準(zhǔn)下或是方差3σ標(biāo)準(zhǔn)下，迭代估計的結(jié)果都要優(yōu)于分段估計結(jié)果，這是由于迭代估計策略通過不斷的迭代過程將初始誤差與工具誤差逐步分離，從而能更精確地利用先驗(yàn)信息進(jìn)行參數(shù)估計。

4 結(jié)論

本文以?；鶓T性制導(dǎo)導(dǎo)彈為背景，在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差線性分離模型的基礎(chǔ)上，考慮到誤差模型中環(huán)境函數(shù)矩陣的病態(tài)性，采用了Bayes估計方法、主成分分析方法以及正則化分析方法對誤差系數(shù)進(jìn)行估計；針對海基特有的制導(dǎo)系統(tǒng)初始誤差，提出了整體估計策略、分段估計策略以及迭代估計策略，并進(jìn)行了數(shù)值的仿真計算。結(jié)果表明，在彈道誤差最小的條件下，主成分分析及正則化估計方法結(jié)果較好，并且分段估計策略和迭代估計策略的結(jié)果比傳統(tǒng)的整體估計效果要好，這一結(jié)果證實(shí)了本文針對海態(tài)數(shù)據(jù)特性建立的對制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離策略的合理性與可行性。