劉 艷，錢 陽，李 雷

(南京工業(yè)大學浦江學院，江蘇 南京 211134)

1 概 述

1.1 壓縮感知理論基礎(chǔ)

在壓縮感知理論[1-3]中，如果一組長度為n的被測信號x∈Rn×1在某正交基Ψ=(ψ1,ψ2,…,ψn)T上是可壓縮的，則可以通過與稀疏變換基不相關(guān)的m×n維(m?n)測量矩陣Φ對稀疏變換向量Θ=ΨTx進行觀測，并通過一系列算法將原始信號x[4]從觀測向量y∈Rm×1中重構(gòu)出來，具體觀測模型如下：

y=Φx=ΦΨΘ

(1)

壓縮感知(CS)主要包括稀疏、觀測和重構(gòu)三個步驟[5]，其中信號的稀疏性是CS的前提，在字典表示下信號的稀疏度決定了重構(gòu)的效果。而測量矩陣Φ的設(shè)計則是壓縮感知理論中至關(guān)重要的一步，Candès和Tao提出，為了準確地將原始信號重構(gòu)出來，測量矩陣Φ需滿足RIP(restricted isometry property)條件[6]。信號重構(gòu)的數(shù)學模型如下：

(2)

其中，λ為正則化參數(shù)。

1.2 核壓縮感知理論

Qi Hanchao等[7]將核技巧與CS理論結(jié)合，提出了核壓縮感知理論(kernel compressed sensing，KCS)，并將該理論運用到人臉圖像的重構(gòu)中，獲得了較好的效果。KCS[8-9]本質(zhì)上是一種非線性稀疏表示下的壓縮感知，不僅能避開迭代的非線性優(yōu)化過程，且與線性稀疏表示相比，能用更少的觀測數(shù)目恢復(fù)信號[10]。

KCS理論中，若在特征空間H中，信號x是d稀疏的，則可以用一組稀疏基的d個原子將投影后的信號線性表示出來，即

(3)

k(x,Φi)=〈φ(x),φ(Φi)〉=

(4)

在特征空間H中，所有測量值可以表示成如式5的矩陣形式，有：

(5)

將式5簡寫為：

Μkernel=Gkernelβ+ε

(6)

假設(shè)存在一組信號{z1,z2,…,zr}與原始信號x比較接近，通過KPCA方法對{z1,z2,…,zr}進行訓練，則基原子υk可以表示成：

(7)

進一步，有：

(8)

結(jié)合式5，從而得到Gkernel的表達式為：

Gkernel=

(9)

(10)

由于任意信號都可以由一組正交基表示，且表示系數(shù)是其與稀疏基的內(nèi)積。因此原始信號x∈Rn可以依據(jù)式11進行重構(gòu)：

1.3 字典學習方法

1.3.1 K-SVD字典學習算法

基于過完備字典的稀疏表示是近年來廣受關(guān)注的信號表示理論。其中，由Aharon M等提出的K-SVD字典學習算法[13]較為典型。此算法主要解決如下的優(yōu)化問題：

(12)

1.3.2 核字典學習方法(Kernel K-SVD，KKSVD)

KKSVD[14]算法的提出是用于實現(xiàn)核字典D的學習，該算法將目標由尋找合適的核字典D轉(zhuǎn)化為尋找合適的字典系數(shù)矩陣C。

命題[15]：

存在一個合適的字典矩陣D*，使得

D*=φ(X)C

(13)

其中，C∈RN×K為字典系數(shù)矩陣。

此時，KKSVD算法求解的優(yōu)化目標函數(shù)變?yōu)椋?/p>

?i=1,2,…,N

(14)

KKSVD算法通過獲得最優(yōu)的C和A對式14進行求解。

2 基于自適應(yīng)核K-SVD字典學習的核壓縮感知算法

(1)稀疏編碼階段。

文中將在KKSVD算法的基礎(chǔ)上對該階段進行改進。首先固定字典系數(shù)矩陣C，在特征空間引用AK-BRP算法[16]的稀疏編碼機制，利用字典的相干性將稀疏約束上限與迭代更新的字典關(guān)聯(lián)，獲得自適應(yīng)的稀疏約束上限，以減少算法運行時間。

設(shè)第j次迭代的稀疏約束上限為Tj，則

(15)

(16)

當μ(D)值很大時，則字典的相干性很大，即字典原子間相似程度很強[18]。

根據(jù)命題，核字典D可表示為D=φ(X)C的形式，此時有：

(17)

其中，K(X,X)=φ(X)Tφ(X)為核矩陣。

使用上述定義的ai代替KKSVD算法中的稀疏約束上界T0，由于式14中懲罰項可以寫為：

(18)

因此，優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為求解如式19所示的N個問題。

T0,?i=1,2,…,N

(19)

則所提AKKSVD算法的稀疏編碼階段可轉(zhuǎn)化為求解如下的優(yōu)化問題：

Tj,?i=1,2,…,N,j=1,2,…,P

(20)

(2)字典更新階段。

此階段中，自適應(yīng)核K-SVD算法采用KKSVD算法的字典更新方式，根據(jù)稀疏表示系數(shù)矩陣A，對字典系數(shù)矩陣C進行迭代更新，字典列的更新結(jié)合稀疏表示的一個更新，使得字典系數(shù)和稀疏系數(shù)同步更新。

綜上，AKKSVD字典學習算法的具體實現(xiàn)流程如下：

算法1：AKKSVD算法。

目標：獲得字典系數(shù)矩陣C

輸出：矩陣C和A

初始化：隨機初始化歸一化字典系數(shù)矩陣C0∈RN×K，通過式15獲得T0，設(shè)置迭代次數(shù)j=1

Forj=1,2,…,P

(1)稀疏編碼階段

固定Cj-1和Tj-1，使用KOMP[14]算法求解式20，獲得稀疏系數(shù)矩陣Aj

(2)字典更新階段

固定Aj，對Cj-1的每一列ck(k=1,2,…,K)逐個更新

獲取更新后的Cj

通過式15計算Tj；j=j+1；

End

(21)

其中，εt為誤差，〈·〉表示內(nèi)積。

通過AKKSVD算法獲得核字典系數(shù)C，則圖像塊在特征空間Η中的稀疏表示如下：

φ(xt)=Dat=φ(X)Cat

(22)

其中，C∈RN×K，at∈RK×1表示第t塊圖像的稀疏表示系數(shù)

根據(jù)KCS理論，所有測量值在特征空間Η中表示成：

(23)

定義

(24)

根據(jù)

ykernel=GkernelCa

(25)

令Bkernel=GkernelC，則

ykernel=Bkernela

(26)

其中，ykernel∈Rm，Bkernel∈Rm×K。

(27)

并將恢復(fù)出的原始空間的圖像塊按照順序合并成整個圖像。

AKKSVD-KCS算法的具體流程如下：

算法2：AKKSVD-KCS算法。

初始化：通過KPCA方法從X中獲得特征空間中的基原子，利用其初始化AKKSVD算法中的字典原子，并通過式15獲得初始化稀疏約束上限T0，設(shè)置迭代次數(shù)j=1

利用AKKSVD算法從X中獲得核字典系數(shù)C=CP

通過式24計算出ykernel及Gkernel

獲得式26的欠定方程組

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為了更直觀地比較AKKSVD-KCS算法與KKSVD-KCS算法重構(gòu)出圖像的視覺效果，圖1給出了采樣率為0.4時這兩種算法重構(gòu)出標準圖像的視覺效果圖。

圖1 標準圖像的視覺效果

圖1中顯示，當采樣率為0.4時，KKSVD-KCS算法和AKKSVD-KCS算法均能將圖像重構(gòu)出來。兩種算法重構(gòu)出的圖像雖然都有分塊邊界，但可以看出，相較于KKSVD-KCS算法，AKKSVD-KCS算法的分塊邊界相對模糊，這表明提出的AKKSVD-KCS算法的重構(gòu)性能更優(yōu)。

為了進一步驗證提出算法的優(yōu)越性，圖2分別給出了KKSVD-KCS算法在不同稀疏度下與AKKSVD-KCS算法在重構(gòu)時間、峰值信噪比以及特征相似度三個方面的性能與采樣率的關(guān)系曲線。為了消除隨機性，PSNR與FSIM值取10次測試結(jié)果的平均值。

由圖2(a)可知，各算法的運行時間均隨著稀疏度的增加而增加，但AKKSVD-KCS算法的運行時間是最少的；圖2(b)、2(c)的結(jié)果表明，AKKSVD-KCS算法的PSNR與FSIM均隨著稀疏度的增加而增加，由PSNR和FSIM越大，重構(gòu)性能越好可知，相較于KKSVD-KCS算法，AKKSVD-KCS算法的性能更優(yōu)，精確度更高。

綜上可知，AKKSVD-KCS算法在每次迭代過程中通過自適應(yīng)地選擇較小的稀疏度以提高運行速度及重構(gòu)精度，進一步驗證了非線性流行下該算法的有效性和高效性。

(a)

(b)

(c)

4 結(jié)束語

文中在核K-SVD字典學習算法的基礎(chǔ)上提出了AKKSVD算法，通過選擇較小的稀疏度以提高運行速度，并結(jié)合核壓縮感知的相關(guān)理論，提出了AKKSVD-KCS算法，實現(xiàn)了對原始空間圖像的重構(gòu)。仿真對比實驗表明，AKKSVD-KCS算法的重構(gòu)性能更優(yōu)。