王中興，盧余剛

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西南寧530004)

0 引言

平衡投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)，確定各種資產(chǎn)的投資比例是投資組合研究的重要組成部分。MARKOWITZ[1]在1952年使用收益的方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，建立了期望收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小的均值—方差投資組合模型。在此之后，許多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注投資組合的收益度量問(wèn)題。例如SWALM[2]利用半方差衡量風(fēng)險(xiǎn)；KONNO[3]用絕對(duì)方差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)等。以上學(xué)者從風(fēng)險(xiǎn)度量的角度提出了許多經(jīng)典的投資組合模型，如均值—半方差投資組合選擇模型，均值—絕對(duì)方差投資組合選擇模型等。眾所周知，高收益總是伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，那么風(fēng)險(xiǎn)和收益如何抉擇？1966年SHARPE[4]提出了Sharpe比率，Sharpe比率的定義為超出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的收益率與標(biāo)準(zhǔn)差的比值，衡量每個(gè)單位風(fēng)險(xiǎn)所獲得的超額收益。隨后，許多學(xué)者基于Sharpe比率提出了一系列的改進(jìn)，例如SORTINO等[5]利用下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)替換Sharpe比率中的標(biāo)準(zhǔn)差。VINOD等[6]使用原始樣本生成再生樣本，進(jìn)而提出“雙重Sharpe比率”。ZAKAMOULINE等[7]提出了調(diào)整的Sharpe比率等。由于資產(chǎn)收益率存在模糊不確定性，2015年NGUYEN等[8]提出了模糊Sharpe比率，用模糊收益率代替?zhèn)鹘y(tǒng)Sharpe比率中清晰收益率。

在投資的過(guò)程中，由于市場(chǎng)影響因素比較復(fù)雜，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和收益率具有很強(qiáng)的不確定性。因此人們基于ZADEH[9]提出的模糊集概念以及LIU[10]提出的不確定理論來(lái)研究投資組合問(wèn)題。例如ZHANG等[11]把投資組合收益看作模糊隨機(jī)變量，建立了基于可能性均值方差的投資組合模型；王竟竟等[12]提出了具有交易量和交易成本約束的多期模糊投資組合模型。為了描述模糊變量的隨機(jī)不確定性，LI等[13]定義了一種新的模糊熵，在此基礎(chǔ)上BHATTACHARYYA等[14]等提出了一個(gè)新的投資組合模型，該模型使得均值和偏度最大化，方差和交叉熵最小化。DENG等[15]建立了帶有交易成本的模糊投資組合模型，并分析了算法的靈敏度。另外由于投資者投資行為的長(zhǎng)期性，研究多階段投資組合問(wèn)題也具有重要意義。MERTON[16]研究了連續(xù)時(shí)間下的多階段投資組合問(wèn)題，SADJADI[17]在假設(shè)借貸利率不相等的情況下，研究了模糊多階段投資組合問(wèn)題。

本文利用模糊熵度量投資收益的不確定性，模糊夏普比率衡量投資效率，以資產(chǎn)組合收益和投資效率最大、投資風(fēng)險(xiǎn)最小為決策目標(biāo)，構(gòu)建多階段的多目標(biāo)投資決策模型，并采用理想點(diǎn)法將模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型并利用遺傳算法進(jìn)行求解。

1 可信性均值及模糊夏普比率

1.1 可信性均值和模糊熵相關(guān)概念

為了將模糊變量清晰化，文獻(xiàn)[10]在模糊數(shù)的基礎(chǔ)上提出了可能性測(cè)度和必要性測(cè)度，進(jìn)而給出了模糊變量的可信性均值，可信性方差和模糊熵等概念。

(1)

(2)

(3)

即:

(4)

(5)

(6)

(7)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合問(wèn)題，文獻(xiàn)[18]分別定義資產(chǎn)組合的可信性收益，可信性方差和模糊熵如下：

(8)

(9)

(10)

1.2 模糊夏普比率

(11)

(12)

其中Rb表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率。

2 模糊多階段投資組合模型

2.1 模型建立

(13)

第t期投資者的財(cái)富值Wt可以表示為：

(14)

其中t=1,2,…,T。通過(guò)對(duì)式(14)進(jìn)行迭代，第h期(h=1,2,…,T)投資者擁有的總財(cái)富Wh可表示為：

(15)

(16)

(17)

投資目標(biāo)為最終財(cái)富價(jià)值最大化，并且使整個(gè)投資過(guò)程的累積夏普比率最大化，模糊熵最小，則建立基于模糊熵和模糊夏普比的多階段投資組合模型如下:

(18)

模型(18)第一個(gè)約束要求各資產(chǎn)投資比例之和為1。第二約束代表投資比例上下界限制?？梢钥闯觯撃Ｐ偷慕?jīng)濟(jì)意義是指在上述兩個(gè)約束條件下，投資者通過(guò)分配投資比例來(lái)最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，最大化投資效率，實(shí)現(xiàn)財(cái)富最大化。

2.2 模型求解

由于模型(18)為多目標(biāo)投資組合模型，其最優(yōu)解難以求出，通常做法是將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化。本文利用理想點(diǎn)法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，理想點(diǎn)法的基本思想是對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

(19)

先分別求出各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)φi(x)和φj(x)的最優(yōu)值φi,max(x),(i=1,2,…,n)和φj,min(x),(j=1,2,…,m)，將這些由最優(yōu)值構(gòu)成的點(diǎn)稱為理想點(diǎn)，然后根據(jù)實(shí)際點(diǎn)與理想點(diǎn)之間的距離構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)和單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：

(20)

即在多目標(biāo)規(guī)劃的可行域內(nèi)，盡可能的“逼近”理想點(diǎn)。

利用上述理想點(diǎn)法將多目標(biāo)規(guī)劃化模型(18)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)單目標(biāo)規(guī)劃模型：

(21)

3 實(shí)證研究

從上海證券交易所A股抽取了10支股票，這10支股票屬于不同行業(yè)。數(shù)據(jù)選取的時(shí)間區(qū)間為2015年至2018年(數(shù)據(jù)收集自同花順軟件)，計(jì)算此區(qū)間的日收盤價(jià)，以一年為一個(gè)計(jì)算周期，使用文獻(xiàn)[20]提出的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到每支股票的三角模糊收益率，具體數(shù)據(jù)如表1。

表1 股票模糊收益率Tab.1 Stock fuzzy return rate

表2 股票最優(yōu)投資比例及各期財(cái)富Tab.2 Optimal investment ratio of stocks and periodic wealth

由表2可以看出，基于模糊熵和模糊夏普比率的多階段投資組合的模型最優(yōu)解分布性較好，在第一期投資結(jié)束后投資和擁有12 096.45元，在第二期投資結(jié)束后，受市場(chǎng)大盤整體低迷的影響，其資產(chǎn)變?yōu)? 750.59元。在第三期投資結(jié)束后投資者扭虧為盈，總資產(chǎn)變?yōu)?3 532.42元。從上述實(shí)證數(shù)據(jù)說(shuō)明了該模型在中國(guó)證券市場(chǎng)下的實(shí)用性和有效性。

投資組合問(wèn)題一直是許多學(xué)者研究的重點(diǎn)問(wèn)題。本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，利用模糊熵度量投資風(fēng)險(xiǎn)，模糊夏普比率衡量投資績(jī)效，構(gòu)建了多階段投資組合模型。實(shí)證數(shù)據(jù)(表3～表5)表明基于該模型的投資決策可行、有效，投資者可以在實(shí)際投資中參考。

表3 t=1時(shí)股票具體數(shù)據(jù) Tab.3 t=1 Stock specific data

表4 t=2時(shí)股票具體數(shù)據(jù)Tab.4 t=2 Stock specific data

表5 t=3時(shí)股票具體數(shù)據(jù)Tab.5 t=3 Stock specific data