尤 浩,趙久奮,李 朋,宋林浩

(1 火箭軍工程大學(xué), 西安 710025;2 中電科儀器儀表有限公司技術(shù)支持部, 山東青島 266000)

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭的快速發(fā)展,導(dǎo)彈攻擊地面機(jī)動目標(biāo)時,需要導(dǎo)彈以較小脫靶量擊中目標(biāo)同時導(dǎo)彈以指定角度攻擊目標(biāo)[1-2],以提高毀傷效能。

滑模變結(jié)構(gòu)控制理論具有對參數(shù)選取的不敏感性和對外部擾動的強(qiáng)魯棒性[3],因此廣泛應(yīng)用在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[4]針對線性滑模面收斂速度較慢的問題,在滑模面中引入線性函數(shù)以提高收斂速度,但造成了收斂過程中的奇異問題。文獻(xiàn)[5]基于非奇異終端滑模設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的過程中避免了奇異問題的出現(xiàn),但制導(dǎo)律只適用于攻擊靜止或弱機(jī)動目標(biāo)。文獻(xiàn)[6]提出了一種適用于攻擊機(jī)動目標(biāo)的滑模制導(dǎo)律,并設(shè)計(jì)了非線性觀測器對目標(biāo)機(jī)動信息進(jìn)行估計(jì),但需要目標(biāo)機(jī)動上界,而目標(biāo)機(jī)動上界一般很難獲得。文獻(xiàn)[7]提出了一種有限時間收斂的積分滑模面,結(jié)合快速冪次趨近律,設(shè)計(jì)了適用于攻擊機(jī)動目標(biāo)制導(dǎo)律,并對未知機(jī)動目標(biāo)干擾上界進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)。但上述文獻(xiàn)研究的都是一階滑模制導(dǎo)律,而二階滑模制導(dǎo)律具有抑制抖振能力強(qiáng)、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[8],因此基于二階滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)帶落角約束的有限時間收斂制導(dǎo)律具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。

為提高滑模面的收斂速度,并抑制抖振現(xiàn)象,文中基于非奇異快速終端滑模和二階滑模控制理論設(shè)計(jì)了帶落角約束的有限時間滑模制導(dǎo)律,設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的過程中避免了奇異問題的出現(xiàn)。并設(shè)計(jì)了非齊次干擾觀測器對系統(tǒng)中未知目標(biāo)機(jī)動信息帶來的擾動進(jìn)行估計(jì),無需目標(biāo)先驗(yàn)信息,有利于工程應(yīng)用。

1 系統(tǒng)模型建立

1.1 彈目相對運(yùn)動模型

考慮導(dǎo)彈在二維平面中攻擊地面機(jī)動目標(biāo)問題,導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1中,Oxy是地面慣性坐標(biāo)系,M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)。q為彈目視線角,規(guī)定由彈目視線r順時針旋轉(zhuǎn)到水平基準(zhǔn)線時為正,反之為負(fù);θm表示導(dǎo)彈M的彈道傾角,θt表示目標(biāo)T在俯仰方向上的航向角,規(guī)定速度位于水平基準(zhǔn)線上方時為正,反之為負(fù);vm、am、vt和at分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度和法向過載。根據(jù)圖1中彈目相對運(yùn)動關(guān)系,得到導(dǎo)彈末制導(dǎo)數(shù)學(xué)模型為:

(1)

(2)

(3)

(4)

將導(dǎo)彈速度vm在地面慣性坐標(biāo)系Oxy兩個坐標(biāo)軸上分解,得到導(dǎo)彈的運(yùn)動方程為:

(5)

分別對式(1)和式(2)求導(dǎo),并將式(3)和式(4)代入,得到

(6)

(7)

式中:ur、uq表示導(dǎo)彈M在視線方向上和視線法向上的加速度分量;wr、wq表示目標(biāo)T在視線方向上和視線法向上的加速度分量。在末制導(dǎo)段,彈目相對速度在視線方向上的分量遠(yuǎn)小于0,并且彈目相對加速度在視線方向上的分量很小,在只考慮脫靶量和落角約束的情況下,導(dǎo)彈和目標(biāo)加速度在視線方向上的分量ur和wr造成的影響可以忽略不計(jì),因此將ur和wr設(shè)定為0,僅利用式(7)設(shè)計(jì)視線法向上的制導(dǎo)律uq。uq和wq對應(yīng)的表達(dá)式為

uq=amcos(q-θm)

(8)

wq=atcos(q-θt)

(9)

1.2 帶落角約束問題和設(shè)計(jì)目標(biāo)

假設(shè)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時刻,導(dǎo)彈攻角可以近似為0,則導(dǎo)彈攻擊落角可以近似為導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角之差。設(shè)期望落角為σd,則

σd=θmf-θtf

(10)

式中:θmf和θtf為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時刻導(dǎo)彈彈道傾角和目標(biāo)航向角。根據(jù)零化視線角速率思想,導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時刻有

-vtsin(qf-θtf)=vmsin(qf-θmf)

(11)

式中:qf為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時刻的視線角。設(shè)

(12)

求解式(11)并將式(10)和式(12)代入,得到

(13)

若導(dǎo)彈攻擊固定目標(biāo),θtf=0,導(dǎo)彈期望落角為攻擊時間導(dǎo)彈彈道傾角;若導(dǎo)彈攻擊非機(jī)動目標(biāo),θtf可通過θt的初值得到;若導(dǎo)彈攻擊機(jī)動目標(biāo),θtf可通過彈上跟蹤濾波器得到,因此可以假設(shè)θtf為已知。由式(13)可知,對于每一個指定的期望攻擊角度σd,存在一個與之一一對應(yīng)的終端視線角qf,因此導(dǎo)彈攻擊落角約束問題可以轉(zhuǎn)化為視線角的跟蹤問題。

(14)

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

針對系統(tǒng)狀態(tài)方程式(14),選取非奇異快速終端滑模面如下：

s=x1+k1sig(x1)a1+k2sig(x2)a2

(15)

對滑模面式(15)求導(dǎo),并將式(14)代入,得

(16)

為使系統(tǒng)狀態(tài)有限時間內(nèi)收斂到滑模面,并沿著滑模面運(yùn)動,在有限時間內(nèi)收斂到系統(tǒng)期望狀態(tài),針對式(16),設(shè)計(jì)二階滑模制導(dǎo)律如下:

式中：α和β均為大于0的常數(shù),y>2,z1為下文將要設(shè)計(jì)的非齊次干擾觀測器對系統(tǒng)式(16)中擾動dq的估計(jì)值。

對于式(16)中由目標(biāo)機(jī)動信息帶來的擾動dq,設(shè)計(jì)如下非齊次干擾觀測器對dq進(jìn)行估計(jì)。

(18)

證明: 假設(shè)非齊次干擾觀測器式(18)在時間tr收斂到系統(tǒng)干擾的真實(shí)值dq,則當(dāng)t≥tr時,將制導(dǎo)律式(17)代入到式(16),化簡后得

(19)

為方便分析,引入以下狀態(tài)變量:

(20)

(21)

對式(21)求導(dǎo)可得

(22)

容易發(fā)現(xiàn),矩陣A為Hurwitz矩陣,因此對任意矩陣Q=QT,存在對應(yīng)矩陣P=PT>0,滿足如下代數(shù)黎卡提方程:

ATP+PA=-Q

(23)

對系統(tǒng)式(22)選取如下Lyapunov函數(shù):

V1=ρTPρ

(24)

對式(24)求導(dǎo)后將式(22)代入,得到

(25)

(26)

式中:

(27)

(28)

當(dāng)|x2|=0,且tr

(29)

當(dāng)t≥ts,即系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面s=0時,則式(15)變?yōu)?

x1+k1sig(x1)a1+k2sig(x2)a2=0

(30)

對系統(tǒng)式(30),選取Lyapunov函數(shù)如下：

(31)

對式(31)求導(dǎo),并將式(30)代入,得到

(32)

將式(31)代入到式(32),化簡后得到

(33)

式(33)具有同式(26)結(jié)構(gòu),由文獻(xiàn)[10]中引理1可得,x1在有限時間內(nèi)收斂到0,并且由式(30)可得,當(dāng)x1=0時,x2也在有限時間內(nèi)收斂到0。證畢。

3 仿真分析

為驗(yàn)證文中提出的制導(dǎo)律式(17)的有效性,設(shè)置導(dǎo)彈在不同落角約束下攻擊機(jī)動目標(biāo)。仿真參數(shù)設(shè)置為:導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始位置分別為(5 000 m,5 000 m),(10 000 m,0 m);導(dǎo)彈的速度vm=300 m/s,初始彈道傾角為θm0=-20°;設(shè)置目標(biāo)做常值機(jī)動,目標(biāo)初始速度vt=30 m/s,加速度at=0.4gm/s2,初始俯仰方向航向角為θt0=30°。制導(dǎo)律式(17)中的仿真參數(shù)選取如下:a1=3,a2=1.1,k1=k2=1,α=500,β=600,γ=2.1。非奇異干擾觀測器中的仿真參數(shù)設(shè)置為λo=1.1,λ1=1.5,λ2=2,μo=3,μ1=6,μ2=8,L=0.1。

導(dǎo)彈的期望落角分別為σd=-30°,-60°,-90°,制導(dǎo)盲區(qū)設(shè)置為20 m,即導(dǎo)彈進(jìn)入制導(dǎo)盲區(qū)后按進(jìn)入制導(dǎo)盲區(qū)瞬時的加速度飛行。導(dǎo)彈法向過載限制為30g,g=9.81 m/s2,仿真步長設(shè)置為1 ms,得到仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出,在確定目標(biāo)的機(jī)動方式下,文中提出的制導(dǎo)律式(17)能夠擊中目標(biāo)且滿足落角約束。法向加速度在制導(dǎo)末期,收斂到0附近的小鄰域內(nèi),并且收斂過程中光滑無抖振現(xiàn)象出現(xiàn),有利于導(dǎo)彈自動駕駛儀的控制。視線角速率在制導(dǎo)末期均收斂至0,保證了導(dǎo)彈能夠擊中目標(biāo)?；Ｃ嬖谟邢迺r間內(nèi)收斂到0,收斂過程中光滑無抖振現(xiàn)象出現(xiàn)。驗(yàn)證了提出的制導(dǎo)律對抖振現(xiàn)象良好的抑制作用。上述的仿真和分析表明,文中提出的制導(dǎo)律針對強(qiáng)機(jī)動目標(biāo)能夠滿足落角約束的同時以較小脫靶量擊中目標(biāo),加速度保持在合理的范圍內(nèi)并且無抖振現(xiàn)象出現(xiàn),驗(yàn)證了制導(dǎo)律的強(qiáng)魯棒性和工程適用性。

為驗(yàn)證提出制導(dǎo)律的優(yōu)越性,將非奇異快速終端二階滑模制導(dǎo)律記為SO-NFTSMG,與標(biāo)準(zhǔn)非奇異滑模制導(dǎo)律[11](記為NTSMG)進(jìn)行仿真對比,NTSMG的表達(dá)式為：

(34)

式中：K為符號函數(shù)增益,根據(jù)目標(biāo)機(jī)動上界選取,本文仿真中選取K=100,式中其余參數(shù)同制導(dǎo)律式(17)參數(shù)選取。得到仿真結(jié)果如表1和圖3所示。

圖2 3枚導(dǎo)彈攻擊機(jī)動目標(biāo)仿真結(jié)果

從表1可以看出,兩種制導(dǎo)律作用下的導(dǎo)彈落角誤差差別不大,但SO-NFTSMG作用下的導(dǎo)彈脫靶量較NTSMG作用下的脫靶量減小約0.18 m,說明制導(dǎo)律SO-NFTSMG有效提高了制導(dǎo)精度。從圖3(c)、

圖3(d)和圖3(f)中看出,SO-NFTSMG作用下的視線角、視線角速率和滑模面在較短的時間內(nèi)收斂到期望值,驗(yàn)證了制導(dǎo)律SO-NFTSMG快速收斂的優(yōu)點(diǎn)。從表1中看出,NTSMG作用下的導(dǎo)彈飛行時間較SO-NFTSMG減少約0.6 s,這對于飛行時間較短的導(dǎo)彈末制導(dǎo)段而言,在一定程度上增大了突防概率。但從圖3(d)、圖3(e)中看出,NTSMG作用下的視線角速率和法向加速度在收斂過程中出現(xiàn)了不期望的高頻抖振,不利于導(dǎo)彈自動駕駛儀的控制。而SO-NFTSMG作用下的視線角速率和法向加速度在收斂過程中沒有出現(xiàn)高頻抖振,驗(yàn)證了SO-NFTSMG抑制抖振能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。綜合而言,文中提出制導(dǎo)律制導(dǎo)精度高,收斂速度快,對抖振現(xiàn)象的抑制能力強(qiáng),驗(yàn)證了文中提出制導(dǎo)律的優(yōu)越性能。

4 結(jié)論

基于非奇異快速終端滑模和二階滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了帶落角約束有限時間滑模制導(dǎo)律。證明了制導(dǎo)律的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性,設(shè)計(jì)非齊次干擾觀測器對目標(biāo)機(jī)動信息進(jìn)行估計(jì),無需目標(biāo)先驗(yàn)信息。通過與不同制導(dǎo)律的仿真對比,結(jié)果表明:設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律對脫靶量和落角的控制能力強(qiáng),能控制導(dǎo)彈以較小的脫靶量和落角誤差擊中機(jī)動目標(biāo),并且具有制導(dǎo)精度高,收斂速度快,對抖振現(xiàn)象的抑制能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。