邱 云 蘭

(廣州工商學(xué)院，廣州 510850)

一、問(wèn)題提出

二重積分的計(jì)算和有關(guān)論證要注重有關(guān)理論的滲透與學(xué)法傳授的針對(duì)性、靈活性、生成性、有效性。陶行知說(shuō)：“教的法子就要根據(jù)學(xué)的法子?！币詫W(xué)的法子來(lái)設(shè)計(jì)教的內(nèi)容和方法，教法的轉(zhuǎn)變，是新一輪課程改革的重要目標(biāo)和核心內(nèi)容，也是課程改革的重點(diǎn)和難點(diǎn)。有的二重積分的計(jì)算或論證比較難，難在算量過(guò)大、情景過(guò)新、內(nèi)容較深、交匯過(guò)強(qiáng)，因此，在課堂教學(xué)中要了解學(xué)情，以學(xué)定教，要靜態(tài)地分析二重積分的概念、性質(zhì)、公式的表述形式及其應(yīng)用。梳理二重積分的知識(shí)體系,達(dá)到提升計(jì)算二重積分的能力。

二、二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算，一般可以利用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、換元法、對(duì)稱性等方法。根據(jù)題型特征選擇解題方法,根據(jù)被積函數(shù)與積分區(qū)域選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)。雖然數(shù)學(xué)課程將不再?gòu)?qiáng)調(diào)是否向?qū)W生提供系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，但“提倡算法多樣化”。即通過(guò)“算法多樣化”，能讓學(xué)生站在系統(tǒng)的高度看問(wèn)題，問(wèn)題在數(shù)學(xué)中有舉足輕重的作用，有問(wèn)題學(xué)習(xí)才有動(dòng)力，學(xué)生才會(huì)參與到整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中去。

1.直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算

數(shù)學(xué)按知識(shí)點(diǎn)變識(shí)，一般有定義形式，命題變式，問(wèn)題變式。在計(jì)算二重積分時(shí)，根據(jù)題型特征，靈活選擇解法。有些要先將其變式，通過(guò)變式，選擇解法利用坐標(biāo)法計(jì)算。

解法1 首先要在直角坐標(biāo)系中畫出積分區(qū)D的圖(圖略)，D是X—型的，D上以這個(gè)x值為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上，這段直線平行以y軸，該段直線上的縱坐標(biāo)從y=0變到y(tǒng)=x。對(duì)y積分時(shí)，將x看作常數(shù)，再對(duì)x積分時(shí)，將y看作常數(shù)，積分區(qū)間D表示為

D={(x,y)│0x1,0yx},

解法2 積分區(qū)D是Y—型的，D上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化范圍是區(qū)間[0,1],在區(qū)間[0,1]上任取一個(gè)y值，則在D上以這個(gè)y值的縱坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上，這段直線平行以x軸，該段直線上的橫坐標(biāo)從y=0變到y(tǒng)=x。對(duì)y積分時(shí)，將x看作常數(shù)，對(duì)x積分時(shí)，將y看作常數(shù)，積分區(qū)間D表示為

先對(duì)x積分時(shí)，將y看作常數(shù)，后對(duì)y積分時(shí)，將x看作常數(shù)。積分區(qū)間D表示為D={(x,y)│0y1,yx1},

2.極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較簡(jiǎn)便，被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量ρ、θ表達(dá)比較簡(jiǎn)單。當(dāng)積分區(qū)域或被積函數(shù)含有x2+y2的項(xiàng)時(shí)，用直角坐標(biāo)計(jì)算不一定能計(jì)算出來(lái)。但是，用極坐標(biāo)計(jì)算可能比較簡(jiǎn)便。極坐標(biāo)系中的二重積分，也可化為二次積分計(jì)算。

計(jì)算是一種實(shí)踐能力，靠長(zhǎng)期訓(xùn)練和積累，才能確保計(jì)算的準(zhǔn)確性和快捷性。

3．利用對(duì)稱性奇偶性計(jì)算二重積分

計(jì)算二重積分時(shí)要充分利用好積分區(qū)間的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，這樣可以減少積分運(yùn)算。但要注意只有當(dāng)積分區(qū)域D的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性滿足時(shí)，才可以利用對(duì)稱性定理。

解 顯然積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，故

三、結(jié)語(yǔ)

計(jì)算二重積分的目的過(guò)程和實(shí)際價(jià)值的體現(xiàn)，在于提高教學(xué)質(zhì)量和效益。二重積分是多元函數(shù)積分的一部分，二重積分的計(jì)算是化成二次積分。利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，要選好積分次序和確定積分限。利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分要看極點(diǎn)是在區(qū)域D的外部還是外部，或邊界,根據(jù)情況選擇積分區(qū)間。一般說(shuō)來(lái)，二次積分的個(gè)數(shù)較少，計(jì)算量就較小。有的二重積分要求交換積分次序計(jì)算二重積分，對(duì)這一類常見(jiàn)題型，關(guān)鍵是正確找出二重積分的區(qū)域D。根據(jù)區(qū)域及有關(guān)解題步驟計(jì)算；有的根據(jù)二重積分對(duì)稱性定理，計(jì)算更簡(jiǎn)化，更簡(jiǎn)單。二重積分的定義、幾何意義、性質(zhì)及其計(jì)算公式等要融會(huì)貫通。教師要成為學(xué)生潛能貫通的合作者、“學(xué)好數(shù)學(xué)”的引路人,就必須“改變‘教師講，學(xué)生聽(tīng)’‘教師問(wèn)，學(xué)生答’‘教師寫，學(xué)生記’的教學(xué)模式”,共同探索解題思路、解題過(guò)程、解題方法、解題規(guī)律,從而，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和教學(xué)質(zhì)量的提升。