陳 純 徐永帥 王佳偉 房 舟 魏碧輝

(陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 漢中 723001)

0 引言

與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有精度高、響應(yīng)快、易于控制等優(yōu)點(diǎn)，引起了國內(nèi)外專家、學(xué)者的極大興趣[1-2]。而結(jié)構(gòu)簡單、作業(yè)空間大、動力學(xué)求解簡單、運(yùn)動耦合度小、對機(jī)械零部件加工制造精度要求不高，以及對機(jī)構(gòu)運(yùn)動控制精度要求較低的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)更受到青睞[3-7]，許多學(xué)者對不同類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)分析[8-19]。目前學(xué)者們提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)多以Stewart、Tricept為原形的桿結(jié)構(gòu)類型為主，本文提出一種并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺，運(yùn)用Lagrange法建立平臺動力學(xué)模型并進(jìn)行仿真分析。

1 并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺機(jī)構(gòu)

1.1 機(jī)構(gòu)描述

并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺如圖1所示，平臺主要由底座、滑塊、電機(jī)、驅(qū)動拱、圓弧導(dǎo)軌、銷軸、動平臺、主動齒輪以及支撐板等構(gòu)件組成，圓形動平臺由在空間呈正十字交錯且同心的兩個半圓形外齒輪環(huán)(半徑大小不同，稱之為驅(qū)動拱)支撐，其中大驅(qū)動拱通過銷軸8由轉(zhuǎn)動副與動平臺連接，小驅(qū)動拱通過銷軸11由一種特殊的運(yùn)動副(稱為滑伸副)與動平臺相連；大小驅(qū)動拱分別與半徑不同的圓弧導(dǎo)軌(稱為大、小圓弧導(dǎo)軌)相固聯(lián)并由圓弧導(dǎo)軌副(分別由大圓弧導(dǎo)軌與滑塊2、14，小圓弧導(dǎo)軌與滑塊6、13組成)導(dǎo)向，滑塊固聯(lián)于置于底座1上的呈正十字布置的支撐板上，大、小驅(qū)動拱的偏轉(zhuǎn)分別由主動齒輪16、15驅(qū)動，主動齒輪16、15分別安裝在電機(jī)17、3的主軸上，電機(jī)17、3固定于底座上，從而實(shí)現(xiàn)動平臺繞X、Y軸兩個方向上的大角度偏轉(zhuǎn)。

圖1 并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺模型Fig.1 Parallel bidirectional deflection platform model1.底座 2、6、13、14.滑塊 3、17.電機(jī) 4.大驅(qū)動拱 5.小驅(qū)動拱 7.小圓弧導(dǎo)軌 8、11.銷軸 9.動平臺 10.滑伸副 12.大圓弧導(dǎo)軌 15、16.主動齒輪 18.支撐板

在該平臺中存在一種特殊的運(yùn)動副(滑伸副10)，如圖2所示，該運(yùn)動副在動平臺同時作繞X軸和Y軸運(yùn)動的過程中，與小驅(qū)動拱連接的銷軸11會在與平臺固聯(lián)的U型孔中滑移并伸縮。

圖2 滑伸副Fig.2 Sliding telescopic pair

1.2 自由度分析

在此平臺中，由于大驅(qū)動拱的中心與銷軸11的軸線共線、小驅(qū)動拱的中心與銷軸8的軸線共線，且平臺分別相對于XOZ、YOZ面對稱，可看作該平臺是沿對稱面切分為含有4條支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。由于4條支鏈中對稱面兩邊的兩條支鏈結(jié)構(gòu)完全相同，故該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可認(rèn)為是2-GRR(FR)/GRR運(yùn)動鏈形式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中G為齒輪副、F為平面副、R為轉(zhuǎn)動副，滑伸副(FR)可看作是由平面副F和轉(zhuǎn)動副R組合而成。采用修正的Kutzbach-Grnbler公式[20]計算其自由度

(1)

式中K——機(jī)構(gòu)的自由度

n——包括機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目

g——運(yùn)動副的數(shù)目

fi——第i個運(yùn)動副的自由度

v——多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去除公共約束因素后的冗余約束數(shù)目

ξ——機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度

為了增加并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛性和導(dǎo)向精度，此并聯(lián)機(jī)構(gòu)中大、小圓弧導(dǎo)軌副中分別含有兩個滑塊，因此該機(jī)構(gòu)中含有兩個冗余約束，即v=2；該機(jī)構(gòu)中不含局部自由度，即ξ=0，其余未知量均較易得出，此處不再詳細(xì)分析。

2 運(yùn)動學(xué)逆解

如圖1所示，假定動平臺繞X軸與Y軸偏轉(zhuǎn)角分別為α和β；主動齒輪15、16轉(zhuǎn)動角分別為θ1和θ2；主動齒輪15與小驅(qū)動拱的齒數(shù)分別為z1和z2，模數(shù)為m1；主動齒輪16與大驅(qū)動拱的齒數(shù)分別為z3和z4，模數(shù)為m2。

動平臺在繞X軸方向上位置解為

(2)

動平臺繞Y軸偏轉(zhuǎn)可簡化為圖3所示的幾何關(guān)系，假設(shè)當(dāng)動平臺繞X、Y軸偏轉(zhuǎn)角為α、β，由于滑伸副的存在使得小驅(qū)動拱轉(zhuǎn)角并不等于β，而是β1，其空間關(guān)系如圖3所示。

圖3 動平臺繞Y軸偏轉(zhuǎn)示意圖Fig.3 Schematic of deflection of moving platform around Y axis

由圖3空間幾何關(guān)系可得

(3)

(4)

將式(2)、(4)寫成矩陣的形式

(5)

對式(5)求其對時間的一階導(dǎo)數(shù)即可得平臺速度逆解，即

(6)

則并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺的速度Jacobian矩陣為

(7)

從平臺的運(yùn)動學(xué)方程可以得出，平臺在繞X軸方向的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動不受其繞Y軸方向偏轉(zhuǎn)運(yùn)動的影響；平臺在繞Y軸方向的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動受其繞X軸方向偏轉(zhuǎn)運(yùn)動的影響，存在耦合關(guān)系。

3 平臺動力學(xué)建模

平臺總動能T可表示為

T=∑Ti(i=4,5,7,8,9,11,12,15,16)

(8)

式中i——構(gòu)件編號(圖1)

其中構(gòu)件4、5、7、12的動能可表示為

(9)

構(gòu)件8的動能可表示為

(10)

構(gòu)件11的動能可表示為

(11)

式中I11——構(gòu)件11在自傳回轉(zhuǎn)軸下轉(zhuǎn)動慣量

ωc11——構(gòu)件11在自傳回轉(zhuǎn)軸下角速度

構(gòu)件9的動能可表示為

(12)

構(gòu)件15、16的動能可表示為

(13)

則可得平臺總動能T為

(14)

其中

根據(jù)虛功原理可得

QkΔqk=∑δW′=MΔφ+MkΔqk(k=1,2)

(15)

其中

式中M——動平臺所受的外力矩

Δφ——動平臺的偏轉(zhuǎn)角

Mk——電機(jī)輸出的驅(qū)動力矩

qk——輸入廣義坐標(biāo)

Qk——廣義坐標(biāo)下的廣義力

對式(15)兩邊同時除以Δqk得

(16)

整理式(16)可得

(17)

(18)

Lagrange方程為

(19)

將式(14)代入式(18)得

(20)

(21)

(22)

(23)

將式(20)～(23)代入式(19)得

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(18)得平臺的動力學(xué)模型為

(26)

4 動力學(xué)計算與仿真

依據(jù)所建立的并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺的動力學(xué)模型，給出平臺的參數(shù)以及施加在其上的外載，即可計算、仿真電機(jī)輸出的驅(qū)動力矩。

圖4 空載時M1、M2曲線Fig.4 Curves of M1 and M2 under no load

由圖4可知，驅(qū)動電機(jī)17輸出力矩M1最大為0.009 1 N·m、最小為0.000 6 N·m；驅(qū)動電機(jī)3輸出力矩M2最大為0.014 2 N·m、最小為0.001 1 N·m。

(2)動平臺9受外力矩Mx=4 N·m、My=0，得出驅(qū)動電機(jī)3、17輸出的驅(qū)動力矩M2、M1變化曲線，如圖5所示。

圖5中驅(qū)動電機(jī)17輸出力矩M1最大為25.443 2 N·m、最小為25.431 2 N·m；驅(qū)動電機(jī)3輸出的力矩M2最大為3.426 9 N·m、最小為0.006 7 N·m。

(3)動平臺9受外力矩Mx=0、My=4 N·m，得出驅(qū)動電機(jī)3、17輸出的驅(qū)動力矩M2、M1變化曲線，如圖6所示。

圖6 繞Y軸帶載時M1、M2曲線Fig.6 Curves of M1 and M2 when loading around Y axis

由圖6可知，驅(qū)動電機(jī)17輸出力矩M1最大為0.009 1 N·m、最小為0.000 6 N·m；驅(qū)動電機(jī)3輸出力矩M2最大為13.658 2 N·m、最小為12.802 3 N·m。

(4)動平臺9受外力矩Mx=My=4 N·m，得出驅(qū)動電機(jī)3、17輸出的驅(qū)動力矩M2、M1變化曲線，如圖7所示。

圖7 繞X、Y軸均帶載時M1、M2曲線Fig.7 Curves of M1 and M2 when loading around X and Y axes

圖7中驅(qū)動電機(jī)17輸出力矩M1最大為25.443 2 N·m、最小為25.441 2 N·m；驅(qū)動電機(jī)3輸出力矩M2最大為17.071 1 N·m、最小為12.803 4 N·m。

從圖4可以看出，當(dāng)動平臺上負(fù)載為0時，驅(qū)動電機(jī)17、3的輸出力矩雖小但呈遞增的趨勢，說明隨著動平臺偏轉(zhuǎn)角增加其重力產(chǎn)生的力矩也越大，電機(jī)17、3的輸出力矩主要用來克服動平臺及其相關(guān)組件重力產(chǎn)生的力矩。

當(dāng)動平臺上負(fù)載為0時，驅(qū)動電機(jī)17、3的輸出力矩M1、M2雖呈遞增趨勢，但均很小(幾乎為0)；由圖7可知，當(dāng)動平臺在繞X、Y軸方向上同時施加大小相同的負(fù)載時，驅(qū)動電機(jī)17、3均輸出較大的力矩，且M1>M2，故可知平臺自身重力對驅(qū)動電機(jī)17、3的輸出力矩影響很小，驅(qū)動電機(jī)輸出的力矩主要用來克服外載。

對比圖5、6可知，當(dāng)動平臺在繞X軸方向上施加負(fù)載、繞Y軸方向上為空載時輸入力矩M1、M2均產(chǎn)生較大的變化；反之當(dāng)動平臺在繞X軸方向上為空載而繞Y軸方向上施加負(fù)載時輸入力矩M2產(chǎn)生較大的變化，M1變化很小，故可知平臺在繞X軸方向上的偏轉(zhuǎn)不受其繞Y軸負(fù)載的影響，而在繞Y軸方向上的偏轉(zhuǎn)存在耦合關(guān)系(受平臺繞X軸負(fù)載的影響)，與平臺運(yùn)動學(xué)的結(jié)論一致，驗(yàn)證了平臺動力學(xué)結(jié)論的正確性。

為了驗(yàn)證所設(shè)計平臺的可行性與所建動力學(xué)模型的正確性，分別取t=1、3、5、7、9 s時各外載狀態(tài)下理論計算值與仿真值進(jìn)行比較，結(jié)果如表1、2所示。

表1 繞X、Y軸空載與均帶載時電機(jī)輸出力矩Tab.1 Output torque of motor around X and Y axes under no load and even load N·m

由表1、2可以看出，動平臺9在各種負(fù)載狀態(tài)下驅(qū)動電機(jī)17、3輸出力矩M1、M2的理論值與仿真值偏差很小(Δmax=0.010 4 N·m)，幾乎相等，驗(yàn)證了模型的正確性。

表2 繞X、Y軸分別單獨(dú)帶載時電機(jī)輸出力矩Tab.2 Motor output torque when X and Y axes were loaded separately N·m

5 結(jié)論

(1)所設(shè)計的并聯(lián)驅(qū)動雙向偏轉(zhuǎn)平臺原理可行，動力學(xué)模型正確。

(2)從運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析可知，平臺繞X軸方向上的偏轉(zhuǎn)不受其繞Y軸方向上偏轉(zhuǎn)的影響，而繞Y軸方向上的偏轉(zhuǎn)受其繞X軸方向上偏轉(zhuǎn)的影響，兩者存在耦合關(guān)系。

(3)驅(qū)動電機(jī)輸出的力矩除了克服由于平臺偏轉(zhuǎn)零部件重力所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩外，主要用來克服外載，這與實(shí)際工況相符。